山东专用2025届高考数学二轮专题闯关导练四热点问题专练热点十四新定义新背景新情境含解析

PAGE热点(十四)新定义，新背景，新情境1．定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则A*B＝()A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}D．{1,3,4,5}2．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2<3，则k的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)D．(0,2)3．设数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(Sn,S2n)为常数，则称数列{an}为“祥瑞数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“祥瑞数列”，则数列{bn}的通项公式为()A．bn＝n－1B．bn＝2n－1C．bn＝n＋1D．bn＝2n＋14．2024年东京夏季奥运会将设置4×100米男女混合泳接力这一新的竞赛项目，竞赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员竞赛，依据仰泳→蛙泳→蝶泳→自由泳的接力依次，每种泳姿100米且由一名运动员完成，每个运动员都要出场．现在中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能担当仰泳或者自由泳，男运动员乙只能担当蝶泳或自由泳，剩下的男女各一名运动员则四种泳姿都可以上，那么中国队的布阵方式共有()A．6种B．12种C．24种D．144种5．定义一种运算：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc.已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sinxsin\f(π,3),cosxcos\f(π,3)))，为了得到函数y＝sinx的图象，只须要把函数y＝f(x)的图象上全部的点()A．向左平移eq\f(π,3)个单位长度B．向右平移eq\f(π,3)个单位长度C．向上平移eq\f(π,3)个单位长度D．向下平移eq\f(π,3)个单位长度6．[2024·湖南长郡中学模拟]已知向量a与b的夹角为θ，定义a×b为a与b的向量积，且a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ.若u＝(2,0)，u－v＝(1，－eq\r(3))，则|u×(u＋v)|＝()A．4eq\r(3)B.eq\r(3)C．6D．2eq\r(3)7．定义eq\f(n,\i\su(i＝1,n,u)i)为n个正数u1，u2，u3，…，un的“欢乐数”．若已知数列{an}的前n项的“欢乐数”为eq\f(1,3n＋1)，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019项和为()A.eq\f(2018,2019)B.eq\f(2019,2020)C.eq\f(2019,2018)D.eq\f(2019,1010)8．定义一种运算：(a1，a2)⊗(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(eq\r(3)，2sinx)⊗(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,4)C.eq\f(5π,12)D.eq\f(π,3)9．(多选题)设函数f(x)的定义域为D，假如对随意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”．下列为“H函数”的是()A．y＝sinxcosxB．y＝lnx＋exC．y＝2xD．y＝x2－2x10．(多选题)若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f(x)为“t函数”．下列函数中可以称为“2函数”的是()A．y＝x－x3B．y＝x＋exC．y＝xlnxD．y＝x＋cosx11．(多选题)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜θ＜π，且θ≠\f(π,2)))，若空间向量a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系O­xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题正确的是()A．已知a＝(1,3，－2)θ，b＝(4,0,2)θ，则a·b＝0B．已知a＝，b＝，其中x，y，z均为正数，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θD．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,1,0)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0,0,1)，则三棱锥O­ABC的表面积S＝eq\r(2)12．(多选题)[2024·新高考Ⅰ卷]信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X全部可能的取值为1,2，…，n，且P(X＝i)＝pi>0(i＝1,2，…，n)，eq\i\su(i＝1,n,p)i＝1，定义X的信息熵H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi.()A．若n＝1，则H(X)＝0B．若n＝2，则H(X)随着p1的增大而增大C．若pi＝eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)，则H(X)随着n的增大而增大D．若n＝2m，随机变量Y全部可能的取值为1,2，…，m，且P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)，则H(X)≤H(13．甲、乙两人玩猜数字嬉戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现随意找两人玩这个嬉戏，则他们“心有灵犀”的概率为________．14．已知函数f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，若函数f(x)满意∀x∈I(其中I为函数f(x)的定义域)，当x≠x0时，[f(x)－g(x)](x－x0)＞0恒成立，则称x0为函数f(x)的“转折点”．已知函数f(x)＝ex－eq\f(1,2)ax2－2x在区间[0,1]上存在一个“转折点”，则a的取值范围是________．15．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq\f(2x＋3,1＋2x＋1)，则函数y＝[f(x)]的值域为________．16．在实数集R中定义一种运算“*”，具有如下性质：(1)对随意a，b∈R，a*b＝b*a；(2)对随意a∈R，a*0＝a；(3)对随意a，b∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－5c则对于函数f(x)＝x*eq\f(1,x)(x＞0)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝____________，函数f(x)的最小值为____________．热点(十四)新定义，新背景，新情境1．答案：B解析：当x1＝1时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝2或3；当x1＝2时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝3或4；当x1＝3时，x2可以取1或2，则x1＋x2＝4或5.∴A*B＝{2,3,4,5}．故选B.2．答案：A解析：因为定义a⊙b＝eq\r(ab)＋a＋b(a，b为正实数)，1⊙k2<3，所以eq\r(k2)＋1＋k2<3，化为(|k|＋2)(|k|－1)<0，所以|k|<1，所以－1<k<1.故选A.3．答案：B解析：设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因为b1＝1，则n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对随意的正整数n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.故选B.4．答案：A解析：依据题意，若甲选择仰泳，乙可以选择蝶泳或自由泳，剩余两人随意选择剩下的两种泳姿，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝2×2＝4种选法，若甲选择自由泳，则乙只能选择蝶泳，剩余两人随意选择剩下两种泳姿，有Aeq\o\al(2,2)＝2种选法，因此一共有4＋2＝6种选法，故选A.5．答案：A解析：由题设知，f(x)＝sinxcoseq\f(π,3)－cosxsineq\f(π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，所以为了得到函数y＝sinx的图象，只须要把函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上全部的点向左平移eq\f(π,3)个单位长度．故选A.6．答案：D解析：通解易知v＝(1，eq\r(3))，u＋v＝(3，eq\r(3))，设向量u与u＋v的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以sinθ＝eq\f(1,2)，又|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝2×2eq\r(3)×eq\f(1,2)＝2eq\r(3).优解设向量u与u＋v的夹角为θ，因为u＋v＝(3，eq\r(3))，|u＋v|＝2eq\r(3)，|u|＝2，所以|u×(u＋v)|＝|u||u＋v|sinθ＝|u||u＋v|·eq\r(1－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(u·u＋v,|u||u＋v|)))2)＝eq\r(|u|2|u＋v|2－[u·u＋v]2)＝eq\r(4×12－36)＝2eq\r(3).故选D.7．答案：B解析：由题意得数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(n,\f(1,3n＋1))＝3n2＋n，易知an＝6n－2.于是，eq\f(36,an＋2an＋1＋2)＝eq\f(36,6n×6n＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(36,an＋2an＋1＋2)))的前2019项和为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2019)－\f(1,2020)))＝1－eq\f(1,2020)＝eq\f(2019,2020).故选B.8．答案：C解析：由新运算可知f(x)＝eq\r(3)cos2x－sin2x＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以将函数f(x)的图象向左平移eq\f(5π,12)个单位长度后，得到函数y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))＋\f(π,6)))的图象，即y＝－2cos2x的图象，明显该函数为偶函数．经检验知选项A，B，D错误，选C.9．答案：AB解析：由题意，得“H函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域关于原点对称，故A是“H函数”；B中，函数y＝lnx＋ex的值域为R，故B是“H函数”；C中，因为y＝2x＞0，故C不是“H函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“H函数”．综上所述，A，B是“H函数”，故选AB.10．答案：CD解析：设切点的横坐标分别为x1，x2，对于A，y′＝1－3x2，所以两条切线的斜率之和为2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))，由于x1，x2不能同时为零，所以2－3(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＜2，不符合题意；对于B，y′＝1＋ex，所以两条切线的斜率之和为2＋＋＞2，不符合题意；对于C，y′＝lnx＋1，所以两条切线的斜率之和为2＋lnx1＋lnx2＝2＋ln(x1x2)，当x1，x2互为倒数时，两切线的斜率之和为2，符合题意；对于D，y′＝1－sinx，所以两条切线的斜率之和为2－sinx1－sinx2，当sinx1＋sinx2＝0，即x1＝2kπ－x2或x1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(1,2)))π＋x2(k∈Z)时，两条切线的斜率之和为2，符合题意．综上所述，故选CD.11．答案：BC解析：对于A，由题可知a·b＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4i2＋12i·j－8i·k＋2i·k＋6j·k－4k2＝4＋12cosθ－6cosθ＋6cosθ－4＝12cosθ.由于θ≠eq\f(π,2)，所以a·b≠0，故该命题不正确；对于B，由题可知a＝xi＋yj，b＝zk，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)x＋yz,\r(x2＋y2＋xy)·z)＝eq\f(1,2)eq\r(1＋\f(xy,x2＋y2＋xy))，由基本不等式可知当且仅当x＝y时，cos〈a，b〉取最大值，即两向量夹角取得最小值，故该命题正确；对于C，由题可知a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故该命题正确；对于D，由题可知三棱锥O­ABC是棱长为1的正四面体，其表面积S＝4×eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，故该命题不正确．综上，故选BC.12．答案：AC解析：对于选项A，若n＝1，则p1＝1，log21＝0，∴H(X)＝－p1log2p1＝－log21＝0，A正确；对于选项B，当p1＝eq\f(1,4)时，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)log2\f(1,4)＋\f(3,4)log2\f(3,4)))，当p1＝eq\f(3,4)时，H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－(p1log2p1＋p2log2p2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)log2\f(3,4)＋\f(1,4)log2\f(1,4)))，由此可得，当p1＝eq\f(1,4)与p1＝eq\f(3,4)时，信息熵相等，∴B错误；对于选项C，若pi＝eq\f(1,n)，则H(X)＝－eq\i\su(i＝1,n,p)ilog2pi＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)log2\f(1,n)＋…＋\f(1,n)log2\f(1,n)))＝n×eq\f(log2n,n)＝log2n，∴H(X)随着n的增大而增大，C正确；对于选项D，若n＝2m，随机变量Y的可能取值为1,2，…，m，由P(Y＝j)＝pj＋p2m＋1－j(j＝1,2，…，m)知，P(Y＝1)＝p1＋p2m；P(Y＝2)＝p2＋p2m－1；P(Y＝3)＝p3＋p2m－2；…；P(Y＝m)＝pm＋pm＋1.H(X)＝－[(p1log2p1＋p2mlog2p2m)＋(p2log2p2＋p2m－1log2p2m－1)＋…＋(pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1)]，H(Y)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋(p2＋p2m－1)log2(p2＋p2m－1)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]，H(Y)－H(X)＝－[(p1＋p2m)log2(p1＋p2m)＋…＋(pm＋pm＋1)log2(pm＋pm＋1)]＋p1log2p1＋p2mlog2p2m＋…＋pmlog2pm＋pm＋1log2pm＋1＝p1·log2eq\f(p1,p1＋p2m)＋…＋p2m·log2eq\f(p2m,p1＋p2m).易知0<eq\f(p1,p1＋p2m)<1，…，0<eq\f(p2m,p1＋p2m)<1，∴log2eq\f(p1,p1＋p2m)<0，…，log2eq\f(p2m,p1＋p2m)<0，∴H(Y)<H(X)，故D错误．13．答案：eq\f(13,25)解析：随意两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本领件有