2024-2025学年新教材高中数学课后素养落实一1.1.1空间向量及其运算含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(一)空间向量及其运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4．则a与b的夹角〈a，b〉＝()A．30° B．45°C．60° D．以上都不对D[∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2ab＝|c|2，∴a·b＝eq\f(3,2)，∴cos〈a·b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,4)．]2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论中正确的是()A．eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OD,\s\up9(→))与eq\o(OB1,\s\up9(→))＋eq\o(OC1,\s\up9(→))是一对相等向量B．eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OC,\s\up9(→))与eq\o(OA1,\s\up9(→))－eq\o(OD1,\s\up9(→))是一对相反向量C．eq\o(OA1,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))与eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OC1,\s\up9(→))是一对相等向量D．eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))＋eq\o(OD,\s\up9(→))与eq\o(OA1,\s\up9(→))＋eq\o(OB1,\s\up9(→))＋eq\o(OC1,\s\up9(→))＋eq\o(OD1,\s\up9(→))是一对相反向量D[A中是一对相反向量；B中是一对相等向量；C中是一对相反向量；D中是一对相反向量，故D正确．]3．设三棱锥O­ABC中，eq\o(OA,\s\up9(→))＝a，eq\o(OB,\s\up9(→))＝b，eq\o(OC,\s\up9(→))＝c，G是△ABC的重心，则eq\o(OG,\s\up9(→))等于()A．a＋b－c B．a＋b＋cC．eq\f(1,2)(a＋b＋c) D．eq\f(1,3)(a＋b＋c)D[如图所示，eq\o(OG,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(AG,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)．]4．如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，F，G分别是AD，DC的中点，则eq\o(FG,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＝()A．eq\f(\r(3),4) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)B[由题意可得eq\o(FG,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up9(→))，∴eq\o(FG,\s\up9(→))·eq\o(AB,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)×1×1×cos60°＝eq\f(1,4)．]5．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))〉的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．0D[如图所示，∵eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))·(eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→)))＝eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))＝|OA|·eq\o(|OC,\s\up9(→))|·cos∠AOC－eq\o(|OA,\s\up9(→))|·|OB|·cos∠AOB＝0，∴eq\o(OA,\s\up9(→))⊥eq\o(BC,\s\up9(→))，∴〈eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))〉＝eq\f(π,2)，cos〈eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(BC,\s\up9(→))〉＝0．]二、填空题6．化简：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))＝________．eq\f(23,6)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(11,6)c[原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c＝eq\f(23,6)a－eq\f(3,2)b＋eq\f(11,6)c．]7．已知|a|＝3eq\r(2)，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ＝________．－eq\f(3,2)[由m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋(λ＋1)a·b＋λ|b|2＝0，得18＋(λ＋1)×3eq\r(2)×4×cos135°＋16λ＝0，解得λ＝－eq\f(3,2)．]8．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________．eq\r(3)[∵|a－2b＋c|2＝a2＋4b2＋c2－4a·b－4b·c＋2a·c＝1＋4＋1－4×cos60°－4×cos60°＋2×cos60°＝3，∴|a－2b＋c|＝eq\r(3)．]三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(AB,\s\up9(→))＝a，eq\o(AD,\s\up9(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up9(→))＝c，M是C1D1的中点，点N是CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1．用a，b，c表示以下向量：(1)eq\o(AM,\s\up9(→))；(2)eq\o(AN,\s\up9(→))．[解](1)eq\o(AM,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC1,\s\up9(→))＋eq\o(AD1,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)[(eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→)))＋(eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→)))]＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up9(→))＋2eq\o(AD,\s\up9(→))＋2eq\o(AA1,\s\up9(→)))＝eq\f(1,2)a＋b＋c．(2)eq\o(AN,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CN,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)(eq\o(AA1,\s\up9(→))－eq\o(AC,\s\up9(→)))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(4,5)eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(1,5)b＋eq\f(4,5)c．10．四棱柱ABCD­A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求点B与点D1两点间的距离．[解]四棱柱ABCD­A1B1C1D1各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，∴eq\o(BD1,\s\up9(→))＝eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))，∴eq\o(BD1,\s\up9(→))2＝(eq\o(BA,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→)))2＝eq\o(BA,\s\up9(→))2＋eq\o(AD,\s\up9(→))2＋eq\o(DD1,\s\up9(→))2＋2eq\o(BA,\s\up9(→))·eq\o(AD,\s\up9(→))＋2eq\o(BA,\s\up9(→))·eq\o(DD1,\s\up9(→))＋2eq\o(AD,\s\up9(→))·eq\o(DD1,\s\up9(→))＝1＋1＋1＋2×1×1×cos120°＋2×1×1×cos120°＋2×1×1×cos60°＝2，∴|eq\o(BD1,\s\up9(→))|＝eq\r(2)，∴点B与点D1两点间的距离为eq\r(2)．1．(多选题)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是()A．(eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(A1D1,\s\up9(→))＋eq\o(A1B1,\s\up9(→)))2＝3eq\o(A1B1,\s\up9(→))2B．eq\o(A1C,\s\up9(→))·(eq\o(A1B1,\s\up9(→))－eq\o(A1A,\s\up9(→)))＝0C．向量eq\o(AD1,\s\up9(→))与向量eq\o(A1B,\s\up9(→))的夹角为60°D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为|eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AA1,\s\up9(→))·eq\o(AD,\s\up9(→))|AB[A中，由eq\o(AA1,\s\up9(→))⊥eq\o(A1D1,\s\up9(→))，eq\o(AA1,\s\up9(→))⊥eq\o(A1B1,\s\up9(→))，eq\o(A1D1,\s\up9(→))⊥eq\o(A1B1,\s\up9(→))，得(eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(A1D1,\s\up9(→))＋eq\o(A1B1,\s\up9(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up9(→))2＋eq\o(A1D1,\s\up9(→))2＋eq\o(A1B1,\s\up9(→))2＝3eq\o(A1B1,\s\up9(→))2，故A正确．B中，连接AB1(图略)，则eq\o(A1B1,\s\up9(→))－eq\o(A1A,\s\up9(→))＝eq\o(AB1,\s\up9(→))，由于eq\o(AB1,\s\up9(→))⊥eq\o(A1C,\s\up9(→))，故B正确．C中，异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但向量夹角为120°，故C不正确．D中，|eq\o(AB,\s\up9(→))·eq\o(AA1,\s\up9(→))·eq\o(AD,\s\up9(→))|＝0，该正方体的体积应为|eq\o(AB,\s\up9(→))|·|eq\o(AA1,\s\up9(→))||eq\o(AD,\s\up9(→))|，故D不正确．]2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是()A．60°B．120°C．30°D．90°B[a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝eeq\o\al(2,1)－e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝1－1×1×eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)．|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e1－2e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)－4e1·e2＋4e\o\al(2,2))＝eq\r(1－2＋4)＝eq\r(3)．∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－\f(3,2),3)＝－eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝120°．]3．已知空间向量a，b，c满意a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．－13[∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，∴a·b＋b·c＋c·a＝－eq\f(32＋12＋42,2)＝－13．]4．如图，四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F分别为棱AB，AD的中点，则|eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))|＝_____________，|eq\o(BC,\s\up9(→))－eq\o(EF,\s\up9(→))|＝______．2eq\r(3)[|eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))|＝|eq\o(AC,\s\up9(→))|＝2，eq\o(EF,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up9(→))，eq\o(BD,\s\up9(→))·eq\o(BC,\s\up9(→))＝2×2×cos60°＝2，故|eq\o(BC,\s\up9(→))－eq\o(EF,\s\up9(→))|2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC，\s\up9(→))－\f(1,2)\o(BD,\s\up9(→))))eq\s\up12(2)＝eq\o(BC,\s\up9(→))2－eq\o(BC,\s\up9(→))·eq\o(BD,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BD,\s\up9(→))2＝4－2＋eq\f(1,4)×4＝3，故|eq\o(BC,\s\up9(→))－eq\o(EF,\s\up9(→))|＝eq\r(3)．]如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M．(1)求证：eq\o(AO,\s\up9(→))⊥eq\o(BO,\s\up9(→))；(2)求〈eq\o(DM,\s\up9(→))，eq\o(AO,\s\up9(→))〉．[解](1)证明：设eq\o(VA,\s\up9(→))＝a，eq\o(VB,\s\up9(→))＝b，eq\o(VC,\s\up9(→))＝c，正四面体的棱长为1，则a·b＝a·c＝b·c＝eq\f(1,2)，eq\o(VD,\s\up9(→))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)，eq\o(AO,\s\up9(→))＝eq\o(VO,\s\up9(→))－eq\o(VA,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(VD,\s\up9(→))－eq\o(VA,\s\up9(→))＝eq\f(1,6)(b＋c－5a)，eq\o(BO,\s\up9(→))＝eq\o(VO,\s\up9(→))－eq\o(VB,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(VD,\s\up9(→))－eq\o(VB,\s\up9(→))＝eq\f(1,6)(a＋c－5b)．所以eq\o(AO,\s\up9(→))·eq\o(BO,\s\up9(→))＝eq\f(1,36)(b＋c－5a)·(