2024-2025学年高考数学一轮复习专题5.4三角恒等变换知识点讲解含解析

专题5.4三角恒等变换【考纲解读与核心素养】1.驾驭两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，驾驭正弦、余弦、正切二倍角的公式.2.驾驭简洁的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.3.本节涉及全部的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.4.高考预料：（1）和（差）角公式；（2）二倍角公式；（3）和差倍半的三角函数公式的综合应用.（4）对于三角恒等变换，高考命题主要以公式的基本运用（正用、逆用、变用）、计算为主，其中多以与角的范围、三角函数的性质、三角形等学问结合考查.5.备考重点：(1)驾驭和差倍半的三角函数公式；(2)驾驭三角函数恒等变换的常用技巧.【学问清单】学问点1．两角和与差的三角函数公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sin_αsinβ；S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cosαsinβ；T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)；T(α－β)：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).变形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；.函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．学问点2．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式：S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).变形公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2【典例剖析】高频考点一两角和与差的正弦函数、余弦函数公式的应用【典例1】（2024·湖南娄星�娄底一中高一期末）已知为锐角，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵cos（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，故选B．【典例2】（2024·山东聊城�高一期末）角的终边与单位圆的交点坐标为，将的终边绕原点顺时针旋转，得到角，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由角的终边经过点，得，因为角的终边是由角的终边顺时针旋转得到的，所以，故选：.【典例3】（2024·广东高一期末）已知函数f（x）＝sin（ωx+）﹣cos（ωx+）（0＜ω＜6）的图象关于直线x＝1对称，则满意条件的ω的值为（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】因为，由，，因为，所以，，由题意可得，，得，，因为，所以或.故选：BC.【规律方法】1.三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.2.三角公式化简求值的策略(1)运用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号改变规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)运用公式求值，应留意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)运用公式求值，应留意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．3.给值求角问题，解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小；(2)依据(1)所得范围来确定求tanα、sinα、cosα中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．【变式探究】1.（2024·北京高考模拟（文））如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，.若，则的值是()A． B．C． D．【答案】C【解析】依题意，有：，，，，＝.故答案为：C.2.（2024·江西高考模拟（文））如图，点A为单位圆上一点，点A沿单位圆逆时针方向旋转角到点B(-，)则cos=()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得：故选A3.（2024·河南鹤壁中学高考模拟（文））平面直角坐标系中，点是单位圆在第一象限内的点，，若，则为_____．【答案】【解析】由题意知：，，由，得，，故答案为：.【总结提升】(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．高频考点二两角和与差的正切公式的应用【典例4】（2024·山西应县一中高一期中（理））若,则______,应用此结论求的值为______.【答案】【解析】，即故答案为：；【典例5】（2024年全国卷II文）已知，则__________．【答案】.【解析】，解方程得.【规律方法】1．运用两角和与差的三角函数公式时，不但要娴熟，精确，而且要熟识公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．2．应熟识公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往简洁被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培育从正向思维向逆向思维转化的实力，只有熟识了公式的逆用和变形应用后，才能真正驾驭公式的应用．提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，可利用诱导公式化简．【变式探究】1.（2024·黑龙江哈尔滨三中高考模拟（理））已知是其次象限角，且，则的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得.因为是其次象限角，所以...故选C.2.（2024·四川高考模拟（理））已知，，则()A． B．7C． D．【答案】C【解析】∴则故选：C．【总结提升】1.“1”的代换：在Tα±β中假如分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z，则有(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2．3．若化简的式子里出现了“tanα±tanβ”及“tanαtanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．高频考点三二倍（半）角公式的应用【典例6】（2024·全国高考真题（文））若，则__________．【答案】【解析】.故答案为：.【典例7】（2024·浙江高一期末）已知，若，则__；__.【答案】7【解析】因为，若，故可得sin，cos.则tan；.故答案为：7；.【典例8】(2024年高考全国Ⅰ卷文)函数的最小值为___________．【答案】【解析】，，当时，，故函数的最小值为．【总结提升】1.转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清晰已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．留意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时肯定要留意公式成立的条件和角之间的关系．(2)留意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，肯定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2.已知θ的某个三角函数值，求eq\f(θ,2)的三角函数值的步骤是：(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；(2)代入半角公式计算即可【变式探究】1.（2024·海南枫叶国际学校高一期中）若，则的值为()A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，，，因为，所以，所以，所以，两边平方得，所以，故选：C2.（2024·河南林州一中高一月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）由题意得：原式（Ⅱ），=．【特殊提示】1.倍角的含义：对于“二倍角”应当有广义的理解，如2α是α的二倍角，4α是2α的二倍角，8α是4α的二倍角，α是eq\f(α,2)的二倍角……这里的蓄含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．2．公式的适用条件：在S2α，C2α中，α∈R，在T2α中，α≠eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,4)且α≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，当α＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，tanα不存在，求tan2α的值可采纳诱导公式．高频考点四简洁的三角恒等变换---化简与证明

【典例9】（2024·浙江吴兴�湖州中学高三其他）已知，，，则_______；__.【答案】3【解析】因为，，所以，所以，因为所以，所以，故答案为：3；.【典例10】求证：.【答案】见解析【解析】左边＝eq\f(sinα,cosα)＋＝右边．故原式得证．【总结提升】1.三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般须要升次，去掉根号．2．三角函数式的化简遵循的三个原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的变换，从而正确运用公式．(2)二看“名”，看函数名称之间的差异，从而确定运用的公式，常见的有“切化弦”或“弦化切”．(3)三看“形”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”“遇到平方要降幂”等．3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较困难的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提示：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要依据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，依据角的范围确定三角函数的符号．【变式探究】1.（2025届河南省郑州外国语学校高三第十五次调研）已知，满意，则的最大值为______.【答案】.【解析】由，得化为，，，的最大值为，故答案为.2.将下列三角函数解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式．(1)f(x)＝2coseq\f(x,2)(eq\r(3)sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2))－1；(2)f(x)＝2eq\r(2)cos(x＋eq\f(π,4))cos(x－eq\f(π,4))＋2eq\r(2)sinxcosx．【答案】见解析【解析】思路分析：先将f(x)利用三角恒等变换化为asinx＋bcosx的形式，再利用协助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式详解：(1)f(x)＝2eq\r(3)sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)＋2cos2eq\f(x,2)－1＝eq\r(3)sinx＋cosx＝2(sinxcoseq\f(π,6)＋cosxsineq\f(π,6))＝2sin(x＋eq\f(π,6))．(2)f(x)＝2eq\r(2)(cosxcoseq\f(π,4)－sinxsineq\f(π,4))·(cosxcoseq\f(π,4)＋sinxsineq\f(π,4))＋eq\r(2)sin2x＝eq\r(2)(cosx－sinx)(c