《反比例函数》考点例析与拓展

《反比例函数》

考点例析与拓展一、反比例函数的意义【例1】函数是反比例函数时，则m的值是多少？解析如果函数是反比例函数，则其形式必须满足（k为常数，）或（k为常数，）.此题中应满足：.答案因为函数是反比例函数，所以解得：因此当函数是反比例函数时，则m的取值是-2.归纳拓展根据反比例函数的一般式（k为常数，），也可写成（k为常数，）.所以函数为反比例函数必须具备两个条件：（1）x的次数为-1，（2）系数不能为0.两者缺一不可.解决此类问题一定要深刻理解反比例函数的定义，对两种表达式的系数和次数都怎么要求的要搞清楚.【变式训练1】判断下列函数哪些是反比例函数：（1）（2）（3）（4）（k为常数，）（5）（6）答案（3）（4）（5）二、反比例函数的图象和性质【例2】如图，在反比例函数的图象上任取一点P，过P点作x轴和y轴的垂线，垂足分别是N、M，那么四边形ONPM的面积是多少？yxOPMN答案矩形的面积等于长乘以宽，PN、PM就是矩形的长和宽.设P（x，y），则PN=、PM=，所以归纳拓展反比例函数的（k为常数，）的比例常数k，不仅决定了函数图象的位置，同时在图象上还有它的几何意义，即过双曲线上任意一点做x轴和y轴的垂线，两垂线与两坐标轴所得的矩形的面积为.同时过双曲线上任意一点作其中一个坐标轴的垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积等于.【变式训练2】如图，的顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点，轴于B，且yxOBCAD（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和的面积.答案（1）设A点的坐标为（x，y），点A在第四象限内，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为（2）联立方程组解得所以A点坐标为（1，-3），C点坐标为（-3,1），设直线AC与y轴交于点D，则Ｄ点坐标为（０，-２），三、反比例函数的应用【例3】舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天，或由黑夜变白昼，这样的效果是通过改变电阻控制电流的变化实现的.当电流I较小时，灯光较暗，反之，灯光较亮.在某一电路保持电压不变，电流Ｉ（安培）与电阻Ｒ（欧姆）成反比例，当电阻Ｒ＝２０欧姆时，电流I=11安培.（1）求I与R的函数关系式.（2）当电流I=8时，电阻R的值.解析解决问题的关键是明白当电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例，结合我们的物理知识可设解析式为.求出U来确定解析式，进一步的求问题（2）.答案（1）根据题意可设I与R的函数关系式：，把R=20，I=11代入，解得U=220.所以I与R的函数关系式：（2）把I=8代入，得到R=27.5.所以当电流I=8时，电阻R的值为27.5欧姆.归纳拓展能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题的转化的能力.在解决这些实际问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识.【变式训练3】某水库蓄水160万立方米，由于连降大雨，水库的水量达到了190万立方米，为了保证安全，该区地防洪部门决定开闸放水，使水库蓄水量回到160万立方米.（1）写出放水时间t（天）与放水量a（万立方米/天）之间的函数关系.（2）如果每天放水6万立方米，几天可以使水库的蓄水量回到160万立方米？答案（1）水库蓄水量达到160万立方米，就必须放水30万立方米.由题意可得at=30，即.放水时间t（天）与放水量a（万立方米/天）之间的函数关系为.（2）将a=6代入，得t=5.即每天放水6万立方米，5天可以回到160万立方米.四、数形结合的思想【例4】如图，一定质量的氧气，其体积V（）是密度的反比例函数，请根据图中的信息，写出函数表达式

，并求出时，氧气的体积是

.VOA51.8解析设反比例函数的表达式为，由图象可知当.代入，解得k=9.所以体积V（）与密度的函数表达式为当，代入得到答案；归纳拓展在此章的题目中利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在.已知点在图象上，那么点一定满足这个函数的解析式，反过来，如果这个点满足函数的解析式，那么这个点一定在函数的图象上.还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小.将数与形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法.【变式训练4】如图，已知A（-4,2）、B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.yxOBA（1）求两函数的解析式；（2）根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的x的取值范围.解析观察图象A、B两点都在反比例函数上，代入解析式，可以求出n，k，b.也就确定了两个函数的解析式.利用图象，看看什么时候哪个函数在上面，此时那个的函数值就大，然后找到相应的自变量的值.答案（1）因为点A（-4,2）、B（n，-4）都在反比例函数的图象上，所以解得：m=-8，n=2.所以点B的坐标为（2，-4）.又因为点A（