数学基础知识-数列

数列

I教学要求

1.了解数列的概念，理解数列的通项公式，了解数列的递归公式.

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差中项的概念.

3.掌握等差数列的前〃项和的公式.

4.会用等差数列的前〃项和的公式或通项公式解决有关实际诃题.

5.理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式，了解等比中项的概念.

6.掌握等比数列的前〃项和的公式.

7.会用等比数列的前〃项和的公式或通项公式解决有关实际句题.

II教材分析

本章内容介绍

数列在整个初等数学中占有很重要的地位，数、式、方程、函数等很多数学知识都与

数列有着非常密切的联系.特别是等差数列与等比数列，在实际生活中，有着较为广泛的

应用.学习数列，可以培养和提高学生综合运用知识分析、解决问题的能力.

研究一个数列中的各个数之间有什么内在规律,就可以把握这个数列（不必列出其中的

每一个数）.这在实际问题中是很有用的.对于一个数列，特别是无穷数列，通项公式或递

归公式对于把握这个数列的结构是关键的.

本章共分4节.

第1节是数列的概念.

教材首先通过“情景导入”创设情景，接着通过几个实例给出了数列的概念以及与数

列有关的一些概念，如：项、首项、项的序号、有穷数列、无穷数列、通项、通项公式、

递增数列、递减数列等.

-1-

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第2节是等差数列.

教材首先通过几个实例给出等差数列的概念，并由等差数列的定义得出了等差数列的

通项公式.然后又由在两数之间插入一个数使这三个数成等差数列，引出等差中项概念和

等差中项公式.最后由求前100个正偶数的和引出如何求一般的等差数列的前〃项和的问

题，并利用逆序相加的方法推出了等差数列的前〃项和公式.

第3节是等比数列.

教材首先通过三个具体例子给出等比数列的概念，并由等比数列的定义利用迭代法，

归纳推导出了等比数列的通项公式.然后又与等差中项相类比，给出了等比中项的概念和

等比中项公式.最后由解决“情景导入”提出的签合同问题引出等比数列的前〃项和的问

题，并利用错位相减法推出了等比数列的前〃项和公式.

第4节是数列的实际应用举例.教材通过4道例题来讲授相关知识，目的是让学生把

所学的数列知识应用到实际生活中去，增强学生对数学学科重要性的认识和理解，提高学

生发现问题、分析问题和运用数学知识解决问题的能力.

理解数列、等差数列和等比数列的概念，特别是理解数列的通项和前〃项和之间的关

系，是学好本章的关键.

本章教学重点

1.等差数列的通项公式、前〃项和公式.

2.等比数列的通项公式、前〃项和公式.

本章教学难点

1.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.

2.等差数列的前〃项和公式.

3.等比数列的前〃项和公式.

4.等差数列与等比数列在实际中的应用.

本章学时安排如下（仅供参考）

6.1数列的概念约2学时

6.2等差数列约3学时

6.3等比数列约3学时

-2-

6.4数列的实际应用举例约1学时

本章小结与复习约1学时

III教学建议和习题答案

6.1数列的概念

1.教材中，通过设置情景，让学生回答问题，为数列的学习做好铺垫.

2.如果知道了一个数列的通项公式，那么可以求出这个数列的任意一项.

3.如果只知道一个数列的前几项，那么无法确定这个数列后面的项是什么.也就是说,

仅仅凭前几项是无法写出通项公式的.因此我们在教材的例3中，是如下叙述题目的：“推

测通项公式即，观察所求前5项的规律，推测数列的通项公式，使它的前5项是所求的

5个数.但是也可能有其他数列的前5项是所求的5个数，我们只要求写出一个数列就可

以了.

4.数列是按照一定次序排成的一列数.学生往往不易理解什么是“一定次序”.实际

上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出两列数:

2,1,15,3,243,23与I,15,23,2,243,3就都是按照“一定次序”排成的一列数,

因比它们都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列.

5.数列与数集是两个不同的概念，数列中的数是有次序的，而数集中的数是无序的；

数列中的数可以重复出现，而数集中的数却是互异的.

6.当给定通项公式时，数列就被唯一确定了，但对于一个给定的数列，其通项公式可能

不唯一，比如数列：1,-1,1,1,-1,1,…，4〃=COS〃兀也是它的一个通项公式.

7.(T)”可以表示项的符号，这一点很重要，教材中根据例1提出的“思考时刻”意

在引起学生对这一点的注意.

8.把给出的几个数作为数列的前几项，写出数列的一个通项公式是个难点，教师应引

导学生注意观察和分析已给项的特点和规律，这有助于培养学生的观察思考和分析归纳等

能力.

课堂练习答案

1.⑴4=5,=10,%=15,q=20,=25;

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(2)%=2,a2=6,Oy=12,a4=20,=30;

(3)q=1,a2=4,a3=9,4=16,a5=25;

(4)a,=—1,4=1,4=—1,a4=l,a5=—1.

2.(1)8,64,an=T;

(2)U4,=(T)〃-

37〃

习题6.1答案

1.(1)q=2,%=°，/=-2,a4=-4;

(2)4=4,/=3,q=2,ci4=1;

⑶4=5,4=25,4=125,a4=625;

(4)a]=6,出=12,Oj=24,a4=48;

1

(5)q生=—4

,625,

(6)ax=1,=16,6^=81,4=256.

2.(1)a,=—,a=—;

“490100

(2)%=63,a©=120;

e_11

⑶%=-，^io=一而；

(4)%=-125,aI0=-1021.

3.(1)an=2n;

⑵勺=3;

c、1

⑶an=-

n(n+I)

八11

(4)。〃=---------7•

nn+1

4.(1)q=1,%=4,q=7,4=10,a5=13;

(2)q=2,4=4,Oj=8,a4=16,%=32;

(3)q=3,a2=6,4=3,%=-3,a5=-6;

-4-

29941

(4)%=1,%=2,%

—10，q5=—290

6.2等差数列

1.等差数列是一类重要的数列.我们在教材中让学生观察三个数列（都是实际例子）的

各项之间有什么关系，由此引出等差数列的的概念.

2.等差数列的通项公式的推导，我们在教材中写出的推导过程是既严谨又简明的.有

的教材用归纳推理得出等差数列的通项公式，那只能得出猜想，还需经过证明.如果把猜想

当作结论，这在思维方式上是不对的.

3.等差数列的通项公式表示首项如、公差小项的序号〃与第〃项〃〃之间的关系.要

想求等差数列的第〃项如，关键是先求出首项m和公差比此时通项公式便被确定.

4.要让学生学会灵活运用等差数列的通项公式解题.

5.让学生了解等差中项的概念，并且知道a与b的等差中项就是。与人的算术平均数.

6.教材从计算前100个正偶数和的方法引出等差数列前〃项和的计算方法，推导出前

〃项和的公式.

7.等差数列前〃项和的公式有两种形式.如果知道首项、末项和项数，则用

S二〃（。；凡）计算如果知道首项可和公差办项数〃，则用来计算.

后者表明对于一个给定的等差数列，前〃项和与项数〃遵从二次函数的关系.即

cd，，d、

Sn=~n+（6一万）几

反之，如果数列｛明｝的前〃项和S”的公式形如

S〃=an2+bn,

那么这个数列是等差数列.证明方法类似于教材中例11的解法.

8.要让学生会灵活运用等差数列的前〃项和的公式解题关健是要会分析.

9.在解题的时候，若三个数成等差数列，则常将这三个数设成是a-d,a,a+d,从例

4可以看到，这样设的好处是这三个数的和正好等于3a,很容易将。求出.若将这三个数

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设成凡a+d,〃+2/计算起来就不如上面那样设简单了.

10.在一个等差数列中，若m,〃，k,I均为正整数，且有加+〃=%+/,那么就一定有

4+a,a现证明如下：由等差数列的通项公式可得

ain+an=q+(m-Y)d+q+[n-\)d

=2q+(/n+n-2)d=2ax+(&+/-2)d

=4+(k_V)d+q+(/-V)d=ak+a,.

等差数列的这条性质，可以让学生了解，不必要求学生掌握.

课堂练习6.2.1答案

1.⑴。4=15,q=27,%=39;

⑵%)=-28.

2.

⑴。〃--3，

7+43〃

(2)4=

7.

3.(1)60;(2)18.

课堂练习6.2.2答案

1.1125750

35

2.(1)510=500;⑵$50=2450;⑶儿=-二；⑷§26=6045

6

习题6.2答案

L&｝是等差数列.由公式+|可知/=|,即从它的第2项起，每一项与它

的前一项的差都等于同一常数.

这个数列的前5项分别为4，1,2,3.

333

c2n-l21

2.=------.a,,=—

55

-6-

3.ai0=48

4.ai0=113

5.d=5,CI2Q=100

6.n=22,d=—

7

7.(1)900,495550(2)128,70336(3)-370

(2)它的前3项分别为8,18,28,通项公式为勺=10〃-2

6.3等比数列

1.等比数列的学习与等差数列的学习是相通的，教材也从三个实际例子引出等比数列

的概念.

2.教材中对于等比数列的通项公式的推导是严谨而且简明的.

3.从等比数列的通项公式可以看出，只要知道首项⑶和公比外就可以求出等比数列

的任意一项.

4.要让学生灵活运用等比数列的通项公式解题，关键在于分析.

5.让学生了解等比中项的概念，并且知道两个正数的等比中项等于这两个正数的几何

平均数或者几何平均数的相反数.

6.等比数列的前〃项和的公式是相当有用的.

7.教材推导等比数列前〃项和的公式时，直接对一般的等比数列推导出前〃项和的公

式，推导过程是严谨而又简明的.

8.等比数列前〃项和的公式有两种形式.常用的是

其中gw1.

9.在解题时，若三个数成等比数列，则将这三个数设成是:兄aq比较好，从例5

可以看到，这样设了以后，这三个数的积正好等于〃3,很容易将。求出.

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10.在等比数列｛凡｝中，若如〃，k,/均为自然数，且有加+〃=4+/,则有等式：

这是因为若设公比为g,则由等比数列的通项公式与机+〃=4+/有

4,4=（4尸）（4尸）=隔""2

=《qZ-2=）=4%.

这是等比数列的一条很重要的性质，利用这条性质会使计算非常简便，比如，如果我

们知道了等比数列的第3项与第10项的乘积，那么也就相当于知道了第1项与第12项的

乘积、第2项与第11项的乘积、第4项与第9项的乘积等等.这条性质教师要理解，可向

学生做些简单介绍，但是不要给学生增加过多的应试内容.

课堂练习6.3.1答案

1.⑴。$=405,al0=-98415(2)%=32,a］。=1024

c、276561411

⑶%=-»%o(4)%=丁，《0=77

IZo~131072416

2.(1)ax=-2916(2)6=5,%=4。

3.第5项是一包.

64

4.(1)±4⑵±8

课堂练习6.3.2答案

1.(1)5=189

6⑵s”暇

93

2.(1)1008(2)—

128

3.a5=162

习题6.3答案

1.｛2｝是等比数列.由勺可得2=3即从第2项起，以后每项与前一项的比都

2-2

等于同一常数.

-8-

这个数列的前5项分别为L-f-f—f—.

524816

D.4=­

34

6.(1)±6

⑵±4痣

7.S8=-85

8.S8=17

811

n9.a,=—,q=一

।26,3

10.S”=/+2向-2

6.4数列的实际应用举例

1.等差数列的前〃项和的公式在计数中起着重要作用.

2.对于实际问题应当首先分析有关的数列是不是等差数列.

3.教材的例2可以不用等差数列