专题28 动点综合问题（共32题）-2023年中考数学真题分项汇编（解析版）

专题28动点综合问题（32题）

1.（2023・四川遂宁•统考中考真题）如图，在45C中，AB=1O,BC=6,AC=8,点尸为线段AB上的动

点,以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动,到达点B时停止.过点P作PMJ.AC于点M、作PN1BC

于点M连接MN,线段MN的长度y与点P的运动时间/（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点

E的坐标为（）

【分析】如图所示，过点C作CDL43于Q,连接CP,先利用勾股定理的逆定理证明一ABC是直角三角形，

即NC=90。，进而利用等面积法求出8=224,则可利用勾股定理求出AD=£32；再证明四边形CMPN是矩

2432

形，得到MN=CP,故当点P与点。重合时，CP最小，即MN最小，此时MN最小值为《，AP=y,

（、

则点E的坐标为［彳32，歹24）

【详解】解：如图所示，过点C作CDL43于D,连接CP,

•.•在ABC中，AB=IO,BC=6,AC=8,

AC2+BC2=62+82=100=102=AB2，

..ABC是直角三角形，upZC=90°,

：.SABC=^ACBC=^ABCD,

.ACBC24

..CD=-----=—,

AB5

.・.AD=>IAC2-CD2=—；

5

VPMVAC.PNLBC,ZC=9O°,

・•・四边形CM/W是矩形,

:.MN=CP,

.,.当MN最小时，即CP最小，

2432

当点P与点D重合时，CP最小，即MN最小，此时MN最小值为y,AP=AD=—,

...点E的坐标为，弓）

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等

等，正确作出辅助线是解题的关键.

2.（2023・广东深圳•统考中考真题）如图1,在RtAABC中，动点尸从A点运动到8点再到C点后停止，

速度为2单位/s,其中BP长与运动时间/（单位：s）的关系如图2,则AC的长为（）

【分析】根据图象可知£=0时，点P与点A重合，得到钻=15,进而求出点尸从点A运动到点8所需的时

间，进而得到点户从点5运动到点C的时间，求出8c的长，再利用勾股定理求出AC即可.

【详解】解：由图象可知：7=0时，点尸与点A重合，

A3=15,

点尸从点A运动到点8所需的时间为15+2=7.5s；

，点户从点5运动到点C的时间为11.5-7.5=4s,

BC=2x4=8；

在RtZVUSC中：AC=y/AB2+BC2=17；

故选：C.

【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理.从函数图象中有效的获取信息，求出A8,8C的长，是解题

的关键.

3.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）如图，在菱形ABC。中，ZA=60°,AB=4,动点〃，N同时从A点

出发，点〃以每秒2个单位长度沿折线A-3-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段4。向终点

。运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为x秒，AMN的面积为V个平方

单位，则下列正确表示丁与x函数关系的图象是（）

【答案】A

【分析】连接BO,过点8作8ELAD于点E,根据已知条件得出△相£>是等边三角形，进而证明

一AWNsABE得出NAMW=NA£3=90。，当0<，<4时，M在AB上，当44/<8时，M在BC上，根据三

角形的面积公式得到函数关系式，

【详解】解：如图所示，连接过点8作8EJ_AZ）于点E，

当0</<4时，M在A8上，

菱形ABC。中，NA=60。，AB=4,

•AB=AD,则AABD是等边二角形，

.AE=ED=^AD=2,BE=-j3AE=2-j3

,AM=2x,AN=x,

AMAB

~AN~~AE=2,又ZA=ZA

._AMN^ABE

.ZANM=ZAEB=90°

•MN=yjAM2-AN2=V3x»

1A62

•y=—xxV3x=——x

22

当44，v8时，M在3c上,

/.y=-ANxBE=-xx2>/3^-j3x,

22

综上所述，0</<4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当43<8时，函数图象是直线的一部分，

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾

股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.（2023•黑龙江齐齐哈尔•统考中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=4,动点M,N分别从点A,B

同时出发，沿射线A8,射线8c的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接ZW,MN,ND.设点M运

动的路程为x（OVkV4）,QMN的面积为S,下列图像中能反映S与x之间函数关系的是（）

N

BC

SASA

86—B

6-\

D.

O4~xO]4^

【答案】A

【分析】先根据S=S正方WB8-5V“OW-SVDCN-SV0,MM，求出s与X之间函数关系式，再判断即可得出结论.

（详解】解：S=S正方形4BCO—SvADM—SvOCN—S\!BMN，

=4x4-gx4x-gx4（4-x）-gx（4-x）,

=—x2-2x+8,

2

=5（x-2）~+6,

故S与x之间函数关系为二次函数，图像开口向上，x=2时，函数有最小值6,

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S与x之间函数关系式，再

判断S与x之间函数类型.

5.（2023・河南•统考中考真题）如图1,点P从等边三角形48c的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一

点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点尸运动的路程为x,^=y＞图2是点尸运动时y随x变化的关

系图象，则等边三角形A8C的边长为（）

依）

图1图2

A.6B.3C.4小D.2邪

【答案】A

【分析】如图，令点尸从顶点AHI发，沿直线运动到三角形内部一点。，再从点。沿直线运动到顶点8.结

合图象可知，当点P在4。上运动时，PB=PC,A0=2石，易知N&4O=NC4O=30。，当点尸在OBE

运动时，可知点P到达点B时的路程为4道，可知AO=O8=2石，过点。作解直角三角形可得

AD=AO-cos3(r=3,进而可求得等边三角形ABC的边长.

【详解】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点。，再从点。沿直线运动到顶点8.

结合图象可知，当点尸在A0上运动时，­=1,

:.PB=PC,A0=26

乂ABC为等边三角形，

ZBAC=60°,AB=AC,

：.AAPB^zMPC(SSS),

ZBAO=ZCAO,

：.NBAO=NC4O=30。，

当点P在。B匕运动时，可知点P到达点8时的路程为4有,

OB=2-J3,即AO=O8=26，

，NBAO=ZABO=30°,

过点。作

AAD=BD,则AO=4O-cos300=3,

AB=AO+BD=6,

即：等边三角形ABC的边长为6,

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件.

6.（2023•四川乐山•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系X。），中，直线y=—x—2与x轴、y轴分别交

于A、8两点，C、。是半径为1的。上两动点，B.CD=&，P为弦C£＞的中点.当C、。两点在圆上运

动时，.以8面积的最大值是（）

【答案】D

【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出。4=03=2,确定AB=2&，再由题意得出当尸。的延长线恰

好垂直A8时，垂足为点E,此时PE即为三角形的最大高，连接。O,利用勾股定理求解即可.

【详解】解：:•直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于4B两点，

.•.当x=0时，尸一2,当y=0时，x=—2,

A（-2,0）,B（0,-2）,

OA=OB=2,

AB=y/o^+OB2=25/2，

•.二BAB的底边AB=20为定值，

，使得底边上的高最大时，面积最大，

点P为C。的中点，当P。的延长线恰好垂直A8时，垂足为点E,此时PE即为三角形的最大高，连接。。,

,:CD=R，。的半径为1,

/.OP=yJOD2-DP2=

"?OEA.AB,

OE=LAB=6,

2

/.PE=OE+OP=^—,

2

故选：D.

【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最

大值是解题关键.

7.（2023•河北・统考中考真题）如图是一种轨道示意图，其中HOC和ABC均为半圆，点M,A,C,N依次

在同一直线上，且A"=CN.现有两个机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，沿着轨道以大小相

同的速度匀速移动，其路线分别为MfAfOfCfN和f若移动时间为x,两个

机器人之间距离为y,则y与x关系的图象大致是（）

【答案】D

【分析】设圆的半径为凡根据机器人移动时最开始的距离为AA/+CN+2R,之后同时到达点A,C,两个

机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿C和C-8-4移动时，此时两个机器人之

间的距离是直径2R,当机器人分别沿CfN和AfM移动时,此时两个机器人之间的距离越来越大.

【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M,N两点同时出发，

设圆的半径为七

，两个机器人最初的距离是AM+CN+2R,

•••两个人机器人速度相同，

二分别同时到达点A,C,

两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A,C；

当两个机器人分别沿AfDfC和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持不变，

当机器人分别沿CfN和4fM移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C,

故选：D.

【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键.

8.（2023•江苏苏州・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9,0）,点C的坐标为（0,3）,

以。A,OC为边作矩形Q4BC.动点分别从点。,8同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿。4,BC向终

点AC移动.当移动时间为4秒时，ACEF的值为（）

A.710B.9>/10C.15D.30

【答案】D

【分析】根据题意，得出E（4,0）,F（5,3）,勾股定理求得EF=加，心?=3加，即可求