山西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类

山西省202L2023三年中考数学真题分类汇编・03解答题（提升

题）知识点分类

一.完全平方公式（共1小题）

1.（2023♦山西）（1）计算：|-8|X（3）2-（-3+5）X2~1;

（2）计算：x（x+2）+（x+1）2-4x.

二.二元一次方程组的应用（共1小题）

2.（2023•山西）风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限

重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要

运输若干套某种设备，每套设冬由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运

输.已知1个4部件和2个8部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个8部件的质量

相等.

（1）求1个4部件和1个B部件的质量各是多少；

（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备.

三.二次函数综合题（共3小题）

3.（2021•山西）综合与探究

如图，抛物线丁=尹+公-6与x轴交于A,B两点（点A在点8的左侧），与y轴交于

点C,连接AC,BC.

（1）求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,8C的函数表达式.

（2）点尸是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点尸作的平行线/,交线段AC于

点D.

①试探究：在直线，上是否存在点£使得以点。，C,B,£为顶点的四边形为菱形，若

存在，求出点上的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线/交于点M,与直线AC交于点N.当S"MN=S&u?c时，请

直接写出0M的长.

4.(2023•山西)综合与探究

如图，二次函数y=-7+4x的图象与x轴的正半轴交于点4经过点A的直线与该函数

图象交于点8(1,3),与)，轴交于点C.

(1)求直线4B的函数表达式及点C的坐标；

(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点£与

直线A8交于点。，设点P的横坐标为机.

①当PD—LOC时，求机的值；

2

②当点P在直线A3上方时，连接OP,过点8作8。轴于点。.BQ与OP交于点、F,

如图，二次函数y=-L2+2a+4的图象与％轴交于A,8两点(点A在点8的左侧)，

42

与y轴交于点C点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m,过

点P作直线PD±x轴于点D,作直线BC交PD于点E.

(1)求4,B,C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式；

(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)连接AC,过点尸作直线/〃AC,交y轴于点尸，连接OF.试探究：在点P运动的

过程中，是否存在点P,使得CE="),若存在，请直接写出机的值；若不存在，请说

明理由.

四.三角形综合题（共1小题）

6.（2022•山西）综合与实践

问题情境：在RtZXABC中，NBAC=90°,A8=6,AC=8.直角三角板EDF中NEDF

=90°,将三角板的直角顶点。放在RtZ\4BC斜边8c的中点处，并将三角板绕点。旋

转，三角板的两边OE,。尸分别与边AB,4c交于点M,N.

猜想证明:

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN

的形状，并说明理由;

问题解决:

（2）如图②，在三角板旋转过程中，当/8=/例。8时，求线段CN的长;

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时,直接写出线段AN的

长

DD

图②图③

7.（2023•山西）阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形ABCD中，点E,F,G,”分别是边AB,BC,CD,DA

的中点，顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

（Varingnon,Pierte1654-1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四

边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方

形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接AC,分别交EH,产G于点P,。，过点。作于点M,交

HG于点N.

•・•〃，G分别为A。，的中点，：,HG//AC,HG=^AC.（依据1）

2

...典口.，：DG=GC,:・DN=NM=2DM.

NMGC2

•・•四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，・••〃石〃GR即〃尸〃GQ.

,:HG〃AC,即"G〃PQ,

，四边形HPQG是平行四边形，（依据2）.•・Sa〃PQG=HG・AfN=»^HG・DM・

2

任务：（1）填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

（2）请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABC。及它的瓦里尼翁平行四边形EFG从

使得四边形EFGH为矩形；（要求同时画出四边形ABCD的对角线）

（3）在图1中，分别连接AC,80得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFG”的周长

与对角线AC,80长度的关系，并证明你的结论.

8.（2023•山西）综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,

得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△/）/£：,其中NACB=N。所=90°,NA

=ZD,将AABC和△£）尸E按图2所示方式摆放，其中点B与点尸重合（标记为点B）.当

NA3£=NA时，延长。E交RC于点G,试判断四边形BCGE的形状，并说明理由.

数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；

深入探究：（2）老师将图2中的△OBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部,

并让同学们提出新的问题.

①“善思小组”提出问题：如图3,当NABE=NBAC时，过点A作AM_LBE交BE的延

长线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和8E的数量关系，并加以证明.请

你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4,当NC8E=N84C时，过点A作AH_LO£于点”，

若8C=9,AC=12,求4〃的长.请你思考此问题，直接写出结果.

9.（2021•山西）综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在。ASCD中，BE±AD,垂

足为E,尸为。。的中点，连接ERBF,试猜想E尸与8尸的数量关系，并加以证明.

图①图②图③

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将oABCO沿着B尸（尸为CO的中点）所在直

线折叠，如图②，点C的对应点为C',连接OC'并延长交AB于点G,请判断AG与

BG的数量关系，并加以证明.

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将口A8CO沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对

应点为A'.使A'81。。干点从折痕交人力于点连接A'必，交。力于点M该

小组提出一个问题：若此uABCO的面积为20,边长AB=5,BC=2®求图中阴影部

分（四边形8HNM）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

六.相似三角形的判定与性质（共1小题）

10.（2021•山西）阅读与思考

请阅读下列科普材料，并完成用应的任务.

图算法

图算法也叫诺模图，是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有

刻度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数

式中的未知量.比如想知道10摄氏度相当于多少华氏度，我们可根据摄氏温度与华氏温

度之间的关系：/=@C+32得出，当C=10时，"=50.但是如果你的温度计上有华氏

5

温标刻度，就可以从温度计上直接读出答案，这种利用特制的线条进行计算的方法就是

图算法.

再看一个例子：设有两只电阻，分别为5千欧和7.5千欧，问并联后的电阻值是多少？

我们可以利用公式求得R的值，也可以设计一种图算法直接得出结果：我们

R立R2

先来画出一个120°的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位

长度进行刻度，这样就制好了一张算图.我们只要把角的两边刻着7.5和5的两点连成

一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的电阻值.

图算法得出的数据大多是近似值，但在大多数情况下是够用的，那些需要用同一类公式

进行计算的测昂:制图人员，往往更能体会到它的优越性.

任务：

（1）请根据以上材料简要说明图算法的优越性；

（2）请用以下两种方法验证第二个例子中图算法的正确性：

①用公式令计算：当砧=7.5,及=5时，R的值为多少；

②如图，在△AOB中，NAO3=120。，OC是△AO8的角平分线，04=7.5,08=5,

用你所学的几何知识求线段0C的长.

11.（2023•山西）2023年3月,水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022-2025年）》,

我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选，在推进实施母

亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）.某校“综合与实践”小组的同学把“母

亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了

如下活动报告.请根据活动报告计算和的长度（结果精确到0.1小，参考数据：V3

^1.73,72^141）.

课题母亲河驳岸的调研与计算

调查资料查阅、水利部门走访、实地查看了解

方式

调查功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌成冲刷的构筑物

内容材料所需材料为石料、混凝土等

驳岸时剖面图相关数据及说明：图

中，点八，B,C,D,

E在同一竖直平面

内，AE和CO均与

地面平行，岸墙A8

_LAE于点A,/8C。

=135°,ZEDC=

60°,ED=6m,AE

=CD=3.5m.

计算结果

交诵

展示

A.解直角三角形的应用•仰角俯角问题（共1小题）

12.（2022•山西）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测

量距淡i和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量人以6。两座楼之间的距离.

他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在A8,CO两楼之间上方的点O处，点O

距地面AC的高度为60m,此时观测到楼A3底部点A处的俯角为70°,楼CD上点E

处的俯角为30°,沿水平方向由点。飞行24切到达点凡测得点七处俯角为60°,其

中点A,B,C,D,E,F,。均在同一竖直平面内.请根据以上数据求楼4B与CO之间

的距离4c的长（结果精确到1m.参考数据：sin70°^0.94,cos70°^=0.34,tan70°*

2.75,V3^1.73）.

九.频数（率）分布直方图（共1小题）

13.（2023•山西）为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站,

有20名学生报名参加选拔.报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均

由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影

三项的测试成绩按4：4：2的比例计算出每人的总评成绩.

60708090100总评成绩/分

小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每

组含最小值，不含最大值）如图.

选手测试成绩/分总评成

采访写作摄影绩/分

小悦83728078

小涵8684▲▲

（1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67,72,68,69,74,69,71.这

组数据的中位数是分，众数是分,平均数是分；

（2）请你计算小涵的总评成绩；

（3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者.试分析小悦、小涵能否入选，并说

明理由.

一十.列表法与树状图法（共1小题）

14.（2021•山西）近日，教育部臼发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本

届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教

中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A,

8,C,D）.为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生

中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将

调查结果绘制成统计图和统计表（均不完整）.

“中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷

请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后“I广内打“J”，

非常感谢您的合作.

A.“诵读中国”经典诵读[]

B.“诗教中国”诗词讲解[]

C.“笔墨中国”汉字书写[]

。.“印记中国”印章篆刻[]

人新

占调查人数

类别的百分比

A70%

B30%

Cm

D20%

（1）参与本次问卷调查的总人数为人，统计表中C的百分比m

为：

（2）请补全统计图；

（3）小华想用扇形统计图反映有意向参与各类比赛的人数占被调查总人数的百分比，是

否可行？若可行，求出表示C类比赛的扇形圆心角的度数；若不可行，请说明理由.

（4）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”

四组题目（依次记为C,X,Q,D）,由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题

目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一

组的概率.

山西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编・03解答题(提升

题)知识点分类

参考答案与试题解析

一.完全平方公式(共1小题)

1.(2023•山西)(1)计算：|-8|X([)2-(-3+5)X2-1;

(2)计算：x(工+2)+(x+1)2-4x.

【答案】(1)I;

(2)2r+l.

【解答】解：(1)|-8|X(^-)2-(-3+5)X2-1

=8XA-2X-1

42

=2-1

=1；

(2)x(A+2)+(x+1)2-4X

=X2+2X+X2+2X+1-4x

=2X2+1.

二.二元一次方程组的应用(共1小题)

2.(2023•山西)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限

重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要

运输若干套某种设备，每套设多由1个A部件和3个8部件组成，这种设备必须成套运

输.已知1个A部件和2个8部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个8部件的质量

相等.

(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；

(2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备.

【答案】（1）1个4部件的质量为1.2吨，1个8部件的质量为03吨.

（2）该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.

【解答】解：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个5部件的质量为y吨，

由题意得:（X+2y=2,8,

2x=3y

解得：fx=l.2,

y=0.8

答：1个A部件的质量为1.2吨，1个8部件的质量为0.8吨.

（2）解：设该卡车一次可运输机套这种设备通过此大桥.

根据题意得：（1.2+0.8X3）•6+8W30,

解得：机W至.

9

•・•根为整数，

・・・加取最大值,

••m=6・

答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.

三.二次函数综合题（共3小题）

3.（2021•山西）综合与探究

如图，抛物线y=y+2x-6与x轴交于4,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于

点、C,连接AC,BC.

（1）求4、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,3c的函数表达式.

（2）点尸是直线4c下方抛物线上的一个动点，过点尸作8c的平行线/,交线段4c于

点。.

①试探究：在直线/上是否存在点£使得以点O,C,B,E为顶点的四边形为菱形，若

存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；

②设抛物线的对称轴与直线/交于点M,与直线AC交于点N.当SA°MN=S"OC时，请

直接写出OM的长.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)当)，=0时，X?+2r-6=0,

解得xi=-6,X2=2,

：.A(-6,0),B(2,0),

当x=O时.y=-6.

：.C(0,-6),

VA(-6,0),C(0,-6),

.•.直线AC的函数表达式为丁=7-6,

•:B(2,0),C(0,-6),

・♦・直线BC的函数表达式为y=3x-6；

(2)①存在：设点。的坐标为(m,-m-6),其中-6V，〃V0,

•:B(2,0),C(0,-6),

BD1=Gn-2)2+Cm+6)2.BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6)2=2nr,

'：DE//BC,

，当。时，以点。，C,B,E为顶点的四边形为平行四边形，

分两种情况：

如图，当BD=8C时，四边形8DEC为菱形，

E

:・B0=Bd,

(m-2)2+(m+6)2=40>

解得：〃?l=-4,W2=O（舍去）,

，点D的坐标为（-4,-2）,

•・•点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E,

・••点E的坐标为（-6,-8）；

如图，当C7）=CB时，四边形CBEO为菱形,

:・C0=C*

:.2序=40,

解得：mi=-2V5»旭2=2泥（舍去），

・••点D的坐标为（-点,275-6）,

二•点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E,

・••点E的坐标为（2・2遥，275）;

综上，存在点区使得以点。，C,B,E为顶点的四边形为菱形，点石的坐标为（-6,

-8）或（2-2近，2立）；

②设点。的坐标为（m,其中-6VmV0,

•••A(-6,0),B(2,0),

...抛物线的对称轴为直线x=-2,

•・•直线的函数表达式为y=3x・6,直线/〃8C,

・•・设直线I的解析式为y=3x+人

.・,点。的坐标(m,-m-6)>

:・b=-4fn-6,

：.M(-2,-4m-12),

•••抛物线的对称轴与直线AC交于点N.

：.N(-2,-4),

:.MN=-4in-12+4=-4m-8,

VSADMN=SMOC,

・•・_!(-4m-8)(-2-zn)=-1x6X6,

22

整理得：/储+4,"-5=0,

解得：加1=-5,m=l(舍去)，

，点。的坐标为(-5,-1),

・••点M的坐标为(-2,8),

22

・•・DM=yj(_2+5)+(8+1)=3^10，

答：0M的长为的/元.

4.(2023•山西)综合与探究

如图，二次函数y=-7+4x的图象与x轴的正半轴交于点A,经过点A的直线与该函数

图象交于点8(1,3),与)，轴交于点C

(1)求直线A8的函数表达式及点C的坐标；

(2)点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PELr轴于点日与

直线交于点。，设点P的横坐标为m.

①当PD'OC时，求m的值；

②当点尸在直线A8上方时，连接。尸，过点8作BQ_Lx轴于点。BQ与。尸交于点F,

连接。F.设四边形尸QED的面积为S,求S关于〃［的函数表达式，并求出S的最大值.

【答案】（1）y=-x+4,点。的坐标为（0,4）；

（2）①2或3或左叵；②s=-（nr^）2"，S的最大值为目

【解答】解：（1）由y=-X2+4X得，当y=0时，・/+4x=0,

解得xi=0,X2=4,

•・•点4在x轴正半轴上.

・••点4的坐标为（4,0）.

设直线48的函数表达式为y=kx+b（AW0）.

将4,8两点的坐标（4,0）,（1,3）分别代入y=h+A,

得（曲+吁

k+b=3

解得（k=T,

Ib=4

・•・直线48的函数表达式为y=-x+4.

将x=0代入y=-x+4,得y=4.

・••点。的坐标为（0,4）；

（2）①解：•・•点尸在第一象限内二次函数y=・$+4x的图象上，且PE_Lx轴于点£

与直线48交于点D,其横坐标为日

・••点P,£>的坐标分别为P（用，-/n2+4w）,D（/n,-〃?+4）,

：・PE=-/n2+4/n.DE=-m+4,OE=m,

•・•点。的坐标为（0,4）,

••・OC=4.PD^OO

乙

・・・PO=2.

如图L当点尸在直线AB上方时，PD=PE-DE=-w2+4w-(-w+4)=-w2+5w-4,

-4=2,

解得mi=2.m2=3.

如图2,当点P在直线AB下方时，PD=DE-PE=-加+4-(-m2+4/w)=序-5m+4,

Am2-5m+4=2,

解得m=5土产

VO<m<l,"5-VI7

2

综上所述，加的值为2或3或2叵;

②解：如图3,

图3

由（1）得，OE=m,PE=-nr+4m,DE=-m+4.

・・・8Q_Lx轴于点。交OP于点八点8的坐标为（1,3）,

OQ=1,

•・•点尸在直线AB上方，

,,EQ=tn-1.

VPElx轴于点E,

：・NOQF=/OEP=90°,

：.FQ//DE,4F0Q=/P0E,

:ZOQs/XPOE,

.FQOQ

**PE=OE,

・

••'FQ=1,，

-+4mm

2

・2-m+4m,

,,FQ==-m+4,

m

:・FQ=DE,

・•・四边形FQED为平行四边形，

*：PEA.x轴，

，四边形尸。七。为矩形.

2

.*.S=EQ+FQ=（m-1）（-m+4）,即S=-m+5/n-4=-（m—+^,,

V-1<0,l</n<4,

・・.当机=9时，s的最大值为3；

24

5.（2022•山西）综合与探究

如图，二次函数丁=方+4的图象与x轴交于A,B两点（点A在点5的左侧）,

与y轴交于点C点尸是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点尸的横坐标为m.过

点P作直线P£>_Lx轴于点0,作直然BC交PD于点£

(1)求A,B,C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；

(2)当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)连接AC,过点P作直线/〃AC,交y轴于点F,连接。立试探究：在点P运动的

过程中，是否存在点P,使得CE="),若存在，请直接写出机的值；若不存在，请说

明理由.

【答案】(1)4(-2,0),B(8,0),C(0,4),直线解析式为y=-/+4；

(2)P(4,6)；

(3)存在点尸，使得CE=F£>,〃?=2遥-2或m=4.

【解答】解：(1)在y=-1f+3x+4中，

42

令x=0得y=4,令y=0得x=8或x=-2,

・・・A(-2,0),B(8,0),C(0,4),

设直线BC解析式为y=丘+4,将B(8,0)代入得：

8女+4=0,

解得k=

2

:.直线BC解析式为y=-Xv+4；

(2)过C作CG_LPO于G,如图:

42

：.PD=-工序+当7+4,

42

VZCOD=ZPDO=ZCGD=90°,

・•・四边形COOG是矩形，

：.DG=OC=4,CG=OD=m,

:・PG=PD-DG=-L/+2m+4_4=-当?2+&

4242

YCP=CE,CG1PD,

：.GE=PG=-1-nr+^m,

42

,:/GCE=NOBC,ZCGE=90°=ZBOC,

•••△CGES^BOC,

41n

.CG=GE即m=27

**0B0C，、后

解得机=0(舍去)或〃z=4,

：.P(4,6)；

(3)存在点P,使得CE=FQ,理由如下：

过C作(7"_1_尸。于"，如图：

设P(〃?，-—m2+-^n+4),

42

由A(-2,0),C(0,4)可得直线AC解析式为)，=2x+4,

根据PF〃AC,设直线P尸解析式为y=2x+b,将产(〃?，-氏2十会十如代入得：

-工/+当7+4=2〃?+〃，

42

:・b=~-Xn2-工办+4,

42

・•・直线PF解析式为y=2x-1/n2-Xn+4,

2

令x=0得y=--lzw-_lw+4,

42

：.F(0,-X12-X«+4),

42

/.OF=\-X??2-Xw+4|,

42

同(2)可得四边形CO。”是矩形，

:,CH=OD,

•：CE=FD,

/.RtACH£^RtADOF(HL),

，ZHCE=NFQO,

■:ZHCE=ZCBO,

:・/FDO=NCBO,

tanZFDO=tanZCBO,

^OF=OC,叩—=4

0DOBm8

2

:.--1/W-A/〃+4=-lr〃或-Lp.▲/〃+4=-L??,

422422

解得m=2y[S-2或m=-2遥-2或6=4或m=-4,

•・・P在第一象限，

AZM=2V5-2或m=4.

四.三角形综合题(共1小题)

6.(2022•山西)综合与实践

问题情境：在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板ED尸中NEDF

=90°,将三角板的直角顶点。放在RtZ\ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点。旋

转，三角板的两边OE,。尸分别与边A8,AC交于点M,N.

猜想证明：

(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN

的形状，并说明理由；

问题解决：

(2)如图②，在三角板旋转过程中，当时，求线段CN的长；

(3)如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的

长.

(2)CyV=—；

8

⑶至.

7

【解答】解：(1)四边形是矩形，理由如下:

•・•点。是BC的中点，点M是48的中点，

：.MD//AC,

.•・NA+/AM£>=18(T，

VZBAC=90°,

・・・NAMD=90°,

VZA=ZAMD=AMDN=W,

・•・四边形AMQN是矩形；

(2)如图2,过点N作NG_LC£>于G,

EF

D

图②

•••48=6,4c=8,N84C=90°，

•••8』即2+人,2=10,

•・•点。是3C的中点,

:・BD=CD=5,

■:NMDN=900=ZA,

.../B+NC=90°,NBQM+/l=90°,

AZ1=ZC,

:,DN=CN,

又•：NG1CD,

；・DG=CG=$,

2

CG_AC

VcosC=CN"BC

5_

.78

••"-S19

CN10

・・.CN=至;

8

(3)如图③，连接MN,AD,过点N作HN_LAD于H,

BD

图③

*：AM=AN,NM4N=9O°,

AZAMN=ZANM=45°,

•:NBAC=NEDF=90°,

・••点4,点M,点。，点N四点共圆，

/.ZADN=ZAMN=45°,

♦：NHLAD,

:,NADN=NDNH=45°，

:.DH=HN,

■:BD=CD=5,NB4C=90°.

：.AD=CD=5,

:.乙C=4DAC,

.,.tanC=tanZDAC=I^=^.=X

AHAC4

:・AH=&HN,

3

'：AH+HD=AD=5,

：.DH=HN=^-,A”=型，

77

2=麻萨詹需竿

解法二：如图，延长MD到。使得MZ)=。。连接NT,CT.

设AM=AN=4.证明CT=8M=6-mNM=NT=^2af/NCT=90°,

由N72=CN2+Cf1,

可得(血。)2=(8-«)2+(6・〃)2,解得。=丝.

7

解法三：也可以通过。向4c和AB分别作垂线DQ和DP,通过△OPMS/XOQV相似

来算.

五.四边形综合题（共3小题）

7.（2023•山西）阅读与思考

下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形人BCD中，点、E,F,G,H分别是边人氏BC,CD,DA

的中点，顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFG"是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFG”被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

(Varingnon,Pieite1654-1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四

边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方

形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接AC,分别交尸G于点尸，Q,过点。作。M_LAC于点M,交

HG于点N.

•・•，，G分别为4。，8的中点，・・・〃G〃AC,HG=1AC.(依据1)

2

工也图.,;DG=GC,:,DN=NM=LDM.

NMGC2

•・•四边形£FG”是瓦里尼翁平行四边形，・・・〃E〃GF,即”尸〃GQ.

,:HG〃AC,BPHG//PQ,

；・四边形HPQG是平行四边形，(依据2)

2

任务：(1)填空：材料中的依据1是指：三角形中位线定理

依据2是指：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形ABC。及它的瓦里尼翁平行四边形E尸G”、

使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形A8C。的对角线)

(3)在图1中，分别连接AC,8。得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长

与对角线AC,BO长度的关系，并证明你的结论.

【答案】（1）三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形：

（2）见解析过程

（3）瓦里尼翁平行四边形EFG”的周长等于4C+4Q,理由见解析过程.

【解答】解：（1）证明：如图2,连接AC,分别交E”，产G于点P,Q,过点力作DM

_LAC于点M,交“G于点N.

'：H,G分别为4。，8的中点，

：.HG//AC,HG=1AC,（三角形中位线定理），

2

.DN_DG

••而年

9：DG=GC,

:・DN=NM=±DM,

2

•・•四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，

：.HE//GF,BPHP//GQ.

,:HG〃AC,BPHG//PQ,

・•・四边形"PQG是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），

・•・SoHPQG=HG・MN=AHG-DM,

•••S"QC=LC・OM="G・DM,

2

S。HPQG=工aAOC,

2

同理可得，0P=

2

a=

SHEFG—S网边形ABCD，

2

故答案为：三角形中位线定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

（2）如图，画四边形ABCD,且AC_LB。于O,点E,H,G,尸分别是边AB,BC,CD,

D4的中点，顺次连接上兄FG,GH,则四边形EFG”为所求；

D

理由如下：•・•点E,H,G,尸分别是边AB,BC,CD,D4的中点，

:.EF〃BD,HG//BD,EH//AC,FG//AC,

：.EF//HG,EH//FG,

・•・四边形EFGH是平行四边形，

VAC±BD,EF//BDf

：.ACLEF,

"G〃AC,

：.EFA-FG,

・•・平行四边形EFGH是矩形；

（3）瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+8Q,理由如下：

:四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形，

:.点、E,H,G,尸分别是边4B,BC,CD,0A的中点，

:.EF=LBD,GH=^BD,EH=-1AC,RO=—AC,

2222

.••瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长=EF+GF+GH+EH=2BnA8D+2AC+2AC=

AC+BD.

8.（2023•山西）综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开,

得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△£>「£,其中NACB=NO石尸=90°,NA

=ND,将△ABC和△OFE按图2所示方式摆放，其中点B与点尸重合（标记为点B）.当

N48E=N4时，延长£>E交工。于点G,试判断四边形8CGE的形状，并说明理由.

数学思考：（1）请你解答老师提出的问题；

深入探究：（2）老师将图2中的七绕点5逆时针方向旋转，使点七落在△45C内部,

并让同学们提出新的问题.

①“善思小组”提出问题：如图3,当。时，过点4作4M_LBE交BE的延

长线于点M,BM与AC交于点N.试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明.请

你解答此问题；

②“智慧小组”提出问题：如图4,当NC8E=N8AC时，过点A作Aa_LOE于点H,

若BC=9,AC=12,求4”的长.请你思考此问题，直接写出结果.

【答案】（1）结论：四边形8CGE为正方形.理由见解析部分；

（2）①结论：AM=BE.理由见解析部分；

【解答】解：（1）结论：四边形8CGE为正方形.理由如下:

•；NBED=90°,

・・・N8EG=180°-BED=90°,

,:NABE=NA,

：.AC//BE,

：.ZCGE=ZBED=90°,

VZC=90°,

・•・四边形BCGE为矩形.

,:△ACB9ADEB,

:.BC=BE.

，矩形8CGE为正方形；

(2)①结论：AM=BE.

理由：VZABE=ZBAC,

:,AN=BN,

VZC=90°,

••・BC_LAN,

*：AM±BE,即4M_L8M

:,SAABF4AN-BC=4BN-AM«

"：AN=BN,

：.BC=AM.由(1)得BE=BC,

：.AM=BE.

②解：如图：设48,OE的交点为M,过M作MG_LB。于G,

•・•△AC8丝△。血

:.BE=BC=9,DE=AC=\2,ZA=ZD,/ABC=/DBE,

:.NCBE=NDBM,

“：NCBE=NBAC,

:.ZD=ZBAC,

:・MD=MB,

VMG1-BD,

，点G是8D的中点，

由勾股定理得AB=VAC2+BC2=15>

i15

，,DG畸BD长

•«/_DGDE

,cosZD=DM

:.DM=K^=T^L=75，即BM=DM;谭，

o

AAM