专题34 锐角三角形-2021年中考数学一轮复习精讲+热考题型（解析版）

专题34锐角三角形

【知识要点】

知识点一锐角三角形

锐角三角函数：如下图，在RtZkABC中，NC为直角，则NA的锐角三角函数为（NA可换成NB）

\定义表达式取值范围关系

正.乙4的对边0<sinA<1

sinA=--------sinA=—sinA=cosB

斜边

弦C（NA为锐角）cosA=sinB

余,/A的邻边,b0<cosA<122

cosA=——---cosA=—sinA+cosA=l

弦斜边c（NA为锐角）

正,/A的对边tanA>0

3nA=/A的邻边tanA=—

切b（NA为锐角）

【正弦和余弦注意事项】

LsinA、cosA是在直角三角形中定义的，NA是锐角（注意数形结合，构造直角三角形）。

2.sinA、cosA是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA、cosA的大小只与/A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值（重要）

三角函数30°45°60°

sina]_V2V3

~22F

cosaV2

22~2

V3

tanc1V3

锐角三角函数的关系（互余两角的三角函数关系（A为锐角））：

1、sinA=cos（90°-A），即一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值。

2^cosA=sin（90°-A），即--个锐角的余弦值等于它余角的余正切值。

正弦、余弦的增减性：

当0°WaW90°时，sina随a的增大而增大，cosa随a的增大而减小。

正切的增减性：当0°<a<90。时，tana随a的增大而增大,

知识点二解直角三角形

一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,

求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

直角三角形五元素之间的关系:

1.勾股定理（々2+b2=C2)

2.NA+NB=90°

△A所对的边

3.sinA=--

乙A所邻的边b

4.cosA二-―

△A所对的边a

5.tanA=

--b

【考查题型】

考查题型一利用正弦的相关知识求解

典例1（2020•广西河池市•中考真题）在RSABC中,ZC=90°,BC=5,AC=12,则sinB的值是

()

512512

A.一B.—C.—D.—

1251313

【答案】D

【提示】直接利用勾股定理得出力5的长，再利用锐角三角函数得出答案.

【详解】解：如图所示:

VZC=90°,BC=5,JC=12,

■,­/W=V52+122=13-

故选：D.

变式1-1.（2020•四川雅安市•中考真题）如图,在Rt△力CB中，ZC=90°,sinB=0.5,若式C=6,则

BC的长为（）

A.8B.12C.66D.126

【答案】C

【提示】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.

AC

【详解】解：・・・sinB=—=0.5,

AB

・・・AB=2AC,

VAC=6,

/.AB=12,

/.-AC2=6不，

故选C.

变式1-2.（2020・四川南充市♦中考真题）如图，点A,13,C在正方形网格的格点上，则sin/BAC=

（）

我

D.巫

Ay/2R技「而

6261313

【答案】B

【提示】作BD_LAC于D,根据勾股定理求出AB、AC,利用三角形的面积求出BD,最后在直角AABD

中根据三角函数的意义求解.

【详解】

解：如图，作BDLAC于D,

由勾股定理得，=a,AC=J32+32=30，

SAR「=-ACBD=-x3y/2BD=-xlx3,

ABC222

BD=立,

2

.立广

,,sinZ5AC=—==—'

AB71326

故选：B.

考查题型二利用余弦的相关知识求解

Be

典例2(2020•柳州市中考真题)如图，在RS43C中，ZC=90°,48=4,AC=3则cosB=—=()

：KfAB

cB

34J73

A.-B.-C.-i—D.-

5544

【答案】C

【提示】

、接利用勾股定理得出8C的长，再利用锐角三角函数关系得出答案.

【详解】

•在R3/8C中，ZC=90°,AB=4,AC=2),

BC=JAB?_AC2=V42-32=币,

.•.阳8=生=也

AB4

故选：c.

变式2-1.（2020•湖北荆州市•中考真题）如图，在6x6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,点

A,B,C均在网格交点上，OO是口ABC的外接圆，则cosNBAC的值是（）

B.空

AD

f5-T

【答案】B

【提示】作直径BD,连接CD,根据勾股定理求出BD,根据圆周角定理得到ZBAC=/BDC,根据余弦

的定义解答即可.

【详解】解：如图，作直径BD,连接CD,

由勾股定理得，BD=722+42=>/20=2

—生；2g

在RtABDC中

BD2755

由圆周角定理得，ZBAC=ZBDC,

：.cosZBAC=cosZBDC=.

5

变式2-2.（2020•安徽中考真题）如图，RMA8C中，ZC=90°，点。在AC上，ZDBC=ZA.若

4

AC=4,cosA=-,则3。的长度为（）

AB

91215

A.-B.—C.D.4

454

【答案】C

4

【提示】根据AC=4,=g,求出AB=5,再根据勾股定理求出BC=3,然后根据ZDBC乙4,即

4

可得cosZDBC=cosA=y,即可求出BD.

【详解】；NC=90°,

.•.cosA=^,

AB

4

VAC=4,cosA=—

5

/.AB=5,

根据勾股定理可得BC=7AB2-AC2=3>

■:NDBC=ZA,

4

cosZDBC=cosA=—,

5

BC4|H134

・・cosNDBC=-----=一,Bp------二——

BD5BD5

15

・・・BD=—,

4

故选：C.

考查题型三利用正切的相关知识求解

典例3（2020・四川凉山彝族自治州•中考真题）如图所示，A48C的顶点在正方形网格的格点上,则tanA

的值为（）

B8

D.2^2

2

【答案】A

【提示】如图,取格点E,连接BE,构造直角三角形，利用三角函数解决问题即可;

【详解】如图,取格点E,连接BE,

由题意得：ZAEB=9Q°,BE=y/2>AE=4%+*=2也,

.BE

••tanA-----

AE

故答案选A.

变式3-1.（2020•浙江杭州市•中考真题）如图，在△ABC中，ZC=90°,设N4,NB,NC所对的边分别

为afb,c,则（）

A.c=bsinBB.b=csinBC.a=btanBD.b=ctanB

【答案】B

【提示】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题.

【详解】「RtAABC中，ZC=90°,NA、DB、NC所对的边分别为a、b、c

.•.sin8=—,即6=csin5,则A选项不成立，B选项成立

C

tanB=—,即Z?=atanB,则C、D选项均不成立

a

故选：B.

变式3-2.（2019・贵州安顺市•中考真题）如图，半径为3的。A经过原点O和点C（0,2）,B是y轴左侧

OA优弧上一点，则tan/OBC为（）

D.平

A.-B.272C丘

34

【答案】C

【解析】试题提示:连结CD,可得CD为直径，在RSOCD中，CD=6,OC=2,根据勾股定理求得

OD=4式

所以tan/CDO=15,由圆周角定理得，NOBC=/CDO,则tan/OBC=15,故答案选C.

变式3-3.（2019•广东广州市•中考真题）如图，有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾

2

斜角是NBAC,若tanZBAC=—,则此斜坡的水平距离AC为（）

V

A.75mB.50mC.30mD.12m

【答案】A

【提示】根据BC的长度和tanNR4C的值计算出AC的长度即可解答.

【详解】解：因为tanNBAC=g£=2,又BC=30,所以，—解得：AC=75m,所以，故选

AC5AC5

A.

考查题型四特殊角的三角函数求值

典例4.（2020・四川凉山彝族自治州•中考真题）如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于。0,

则()

A.272:3B.正：GC.73:72D.6：2挺

【答案】B

【提示】过点O作OM_LBC，ON±AD,设圆的半径为r,根据垂径定理可得AOBM与AODN是直角

三角形，根据三角函数值进行求解即可得到结果.

【详解】如图，过点O作_L8C,ONLAD,设圆的半径为r,

.♦.△OBM与AODN是直角三角形，OD=OB=r,

•.,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于0O,

：.40BM=30°、40DN=LD0N=45°,

•••DN=勿Dtan450=—r-BM=如Ctos300=—r«

22

:•AD=2DN=&r,BC=25"=舟，

:.AD:AB=垃r：底=0：6

故答案选B.

变式4-1.（2020•山东泰安市•中考真题）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG=2cm,

底边8C=6cm,ZB=45。，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形，若ZB£：F=30。，则A尸的长为

)

A.1cmB.当cmC.(2>/3-3)cmD.(2-6)cm

【答案】D

［提示］过点F作尸M_L8C,AG=2,N6=45°,可得BG=FM=2,令AF=x,根据NBEF=30°,根

据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果.

【详解】如图所示，过点F作我交BC于点M,

VAG±BC,NB=45。，AG=2,

，BG=FM=2,AF=GM,

令AF=x,

:两个梯形全等，

.♦.AF=GM=EC=x,

又•；ZBEF=3Q°,

FM_2

ME=

tan300下,

3

二ME=25

又：BC=6,

:•BC=BG+GM+ME+EC=2+x+杰'+x=6,

，x=2-G

故答案选D.

变式4-2.（2020•广西玉林市•中考真题）sin45。的值等于（）

A.-B.立C.更D.1

222

【答案】B

【提示】根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】$访45。=涯.故选B.

2

变式4-3.（2020•天津中考真题）2sin45。的值等于（）

A.1B.72c.y/3D.2

【答案】B

【详解】解：2sin45°=2x变=点，故选B

2

考查题型五由三角函数值求锐角

典例5.（2020•辽宁沈阳市•中考真题）如图，在矩形ABCD中,AB=6BC=2,以点A为圆心,

49长为半径画弧交边于点E,连接AE,则的长为（）

【答案】C

【提示】先根据矩形的性质可得AO=5C=2,N&M>=ZB=90。，再根据圆的性质可得

AE=AD=2,然后利用余弦三角函数可得ZR4E=3O。，从而可得ZDAE=60°,最后利用弧长公式即

可得.

【详解】•.•四边形ABCD是矩形，AB=5BC=2

：.AD=BC=2,ABAD=NB=90°

由圆的性质得：AE=AO=2

在及AABE中，cosZBAE=—=^-

AE2

：.ZBAE=30°

：.ZDAE=ZBAD-NBAE=60°

则诧的长为丝萨2万

I80T

故选：c.

变式5-1.（2020・湖北黄冈市•中考真题）若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为（）

A.4:1B.5：1C.6：1D.7:1

【答案】B

【提示】如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2,利用菱形的性质得到AB=4,利用正弦的定义得到NB

=30。，则NC=150。，从而得到NC：NB的比值.

【详解】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH=2,

••,菱形的周长为16,

.\AB=4,

4»AH21

在RtAABH中，smB=---=—=—，

A542

/.ZB=30°,

VAB//CD,

.,.ZC=150°,

/.ZC：ZB=5：1.

故选：B.

变式5-2.（2020•山东日照市・中考真题）如图，是。。的直径，8为。。的弦，于点E,若

CD=66，4E=9,则阴影部分的面积为（）

AB

A.6TC-173B.12K-9^C.3兀-D.9小

【答案】A

【提示】根据垂径定理得出CE=DE=：CD=36,再利用勾股定理求得半径，根据锐角三角函数关系得

出/EOD=60。，进而结合扇形面积求出答案.

【详解】解：是。。的直径，8为。O的弦，4BLCD于点E,

：.CE=DE=~CD=3邪.

设。O的半径为r,

在直角△OEO中，OD2=OE2+DE2,即/=(9—r)?+(3石产，

解得，尸=6,

：・0E=3,

：.ZEOD=60°,

**,S扇形so。=X"*36=6乃，SRTOED=-x3x3>^=-,

根据圆的对称性可得：

'S阴影=6万一"l有，

故选：A.

变式5-3.(2019•湖南怀化市•中考真题)已知Na为锐角，且sinc=」，则/。=()

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【提示】根据特殊角的三角函数值解答.

【详解】为锐角，旦sina=！,

2

Na=30°.

故选A.

考查题型六解直角三角形

典例6.（2020•辽宁大连市•中考真题）如图，小明在一条东西走向公路的。处，测得图书馆4在他的北偏

东60°方向，且与他相距200m,则图书馆“到公路的距离48为（）

A.100mB.lOO^mC.100鬲D.

【答案】A

【提示】根据题意可得^OAB为直角三角形，ZAOB=30%OA=200m,根据三角函数定义即可求得AB的

长.

【详解】解：由已知得，ZAOB=90o-60°=30°,OA=200m.

则AB=—OA=100m.

2

故选：A.

变式6-1.（2020・吉林长春市•中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设塔顶中心

点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为NA,过点8向垂直中心线AC引垂线，垂足为点

D.通过测量可得A3、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算NA的三角函数值，进而可求N4

的大小.下列关系式正确的是（）

C

A.3必=处,AB“A。D.sinA*

B.cosA=-----C.tanA.=-----

ABADBDAB

【答案】A

【提示】确定NA所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解:

【详解】由题可知，4ABD是直角三角形，ZBDA=90°,

BDcosA=^,tanABD

sinA

ABAB~AD

选项B、C、D都是错误的,

故答案选A.

4

变式6-2.（2020•广东广州市•中考真题）如图，R/A48C中，ZC=90°,AB=5,cosA=-,以点3

为圆心，r为半径作口8,当r=3时，口8与AC的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】B

4

【提示】根据中，ZC=90°,cosA=1，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC的值，比

较BC与半径r的大小，即可得出口5与AC的位置关系.

【详解】

4

解：：放反5。中，ZC=90°,cosA=-

AC4

/.cosA=-----=—

AB5

・・・A5=5,

AAC=4

22

:.BC=ylBc-AC=3

当r=3时，口5与AC的位置关系是：相切

故选：B

变式6-3.（2020■黑龙江牡丹江市•朝鲜族学校中考真题）如图，在AABC中，sinB=1,tanC=2,AB=3,

3

则AC的长为()

A

BC

A.72B.亭C.75D.2

【答案】B

【提示】过A点作AH_LBC于H点，先由sin/B及AB=3算出AH的长，再由tanNC算出CH的长，最

后在RtAACH中由勾股定理即可算出AC的长.

【详解】

解：过A点作AHLBC于H点，如下图所示：

AH1

由sin/8=---=-,且AB=3可知，AH-1,

AB3

AH1

由tan/C=---=2,=l可知，CH——,

CH2

...在RrA4C”中，由勾股定理有：AC=>JAH2+CH2=^l2+(1)2=.

故选：B.

变式6-4.(2020•江苏苏州市•中考真题)如图，小明想要测量学校操场上旗杆A3的高度，他作了如下操

作：(1)在点。处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角NACE=a；(2)量得测角仪的高度CO=a；(3)量

得测角仪到旗杆的水平距离。8=6.利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为

()

bb

A.a+btanaB.a+/?sinaC.a+D.aH---------

tanasina

【答案】A

【提示】

延长CE交AB于F,得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b,FB=CD=a,在直角三角形ACF中，利用CF

的长和己知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.

【详解】

延长CE交AB于F,如图，

根据题意得，四边形CDBF为矩形，

.\CF=DB=b,FB=CD=a,

在RtZkACF中，ZACF=a,CF=b,

tanZACF=-^-

CF

/.AF=CFtanZACF=tana,

AB=AF+BF=a+btana,

故选：A.

考查题型七利用解直角三角形解决实际问题

典例7.（2020•西藏中考真题）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF,卓玛同学为了探究信号塔EF的高

度，从建筑物一层A点沿直线AD出发，到达C点时刚好能看到信号塔的最高点F,测得仰角ZACF=

60。，AC长7米.接着卓玛再从C点出发，继续沿AD方向走了8米后到达B点，此时刚好能看到信号塔

的最低点E,测得仰角/B=30。.（不计卓玛同学的身高）求信号塔EF的高度（结果保留根号）.

【答案】2#米

【提示】

在R/A/C尸中，根据三角函数的定义得到/尸=/。560。=7力米，在&MBE中，根据三角函数的定义

得到AE=AB-tan300=15^米,进而得到结论.

【详解】

解：在心ZUC厂中，VZACF=60°,4C=7米,

二，尸=/C”a〃60°=76米,

：8C=8米，

,48=15米，

在用Zi/BE中，VZ5=30°,

AE=AB9tan300=15x

:.EF=AF-AE=1G-5+=2石（米），

答：信号塔E尸的高度为2万米.

变式7-1.（2020•甘肃兰州市•中考真题）如图，斜坡BE,坡顶B到水平地面的距离AB为3米，坡底AE

为18米，在B处，E处分别测得CD顶部点D的仰角为30。，60。，求CD的高度.（结果保留根号）

【答案】CD的高度是

【提示】

作BFLCD于点F,设DF=x米，在直角DDBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角E1DCE中

表示出CE的长，然后根据BF—CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长.

【详解】

如图，作BFJ_CD于点F,设DF=x米,

在RtDDBF中，tan^DBF=—

BF

DFx

则BF==币x,

tan/DBFtan30"

在直角DDCE中，DC=x+CF=3+x（米），

在直角匚ABF中，tan/DEC=—,则EC=———-

ECtan^DECtan60°

vBF-CE-AE,即④x—在卜+3）=18,

解得：x=96+

2

则CD=9石+3+3=9/+2（米），

22

变式7-2.（2020•辽宁葫芦岛市•中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高

度AB,在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为30。，测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14。,

观测点与大桥主架的水平距离CM为60米，且A8垂直于桥面.（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度AM；（结果保留根号）

（2）求大桥主架在水面以上的高度AB.（结果精确到1米）

（参考数据sinl4°»0.24,cos14°®0.97,tan14°®0.25,73«1.73）

【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度AM为20石米；（2）大桥1=架在水面以上的高度AB约为50

米.

【提示】

（1）在R3ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度.

（2）在R3BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可.

【详解】

解：（1）QA8垂直于桥面

：.ZAMC=ZBMC=9C）

在RtZ^AMC中，CM=60,NACM=30°

AM

,/tanZACM

~CM

：.AMtan30°-CM=60x冬2M（米）

答：大桥主架在桥面以上的高度AM为206米.

B水面

（2）在中，CM=60,ZBCM=14°

MB

,/tanZBCM

~CM

：.MB=tan14°-OW=60x0.25»15

vAB=AM+MB

AB®15+2073®50（米）

答：大桥主架在水面以上的高度AB约为50米.

变式7-3.（2020•江苏镇江市•中考真题）如图，点E与树的根部点/、建筑物CD的底部点C在一条

直线上，/C=10"?.小明站在点E处观测树顶8的仰角为30。，他从点E出发沿EC方向前进6,“到点G

时，观测树顶8的仰角为45。，此时恰好看不到建筑物CZ）的顶部。QH、B、。三点在一条直线上）.已知

小明的眼睛离地面1.6机，求建筑物CQ的高度（结果精确到0.1机）.（参考数据：戊=1.41,^-1.73.）

【提示】

延长"7,交C。于点交AB干点、N,求CD,只需求出即可，即只要求出"N就可以，在

BN

RtASNF中，域,BN=NH=x,则根据tan/8E/V=不二就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质

NF

和线段的和可求得CD的长.

【详解】

解：如图，延长FH,交CD于煎M,交.AB于点、N,

\D

CAGE

,?NBHN=45。,BALMH,

则BN=NH,

设BN=NH=x,

「BNBN

"：HF=6,NBFN=30°,RtanZBFN=——=---------

NFNH+HF

x

tan30°=-------,

x+6

解得x=8.22,

根据题意可知：

DM=MH=MN+NH,

"：MN=AC=IO,

则£>A/=10+8.22=18.22,

二CZ)=£)A/+A/C=Z)A/+£F=18.22+1.6=19.82-19.8(/n).

答：建筑物CD的高度约为19.8m

变式7-4.（2020•内蒙古呼伦贝尔市•中考真题）A8两地间有一段笔直的高速铁路，长度为100km.某

时发生的地震对地面上以点。为圆心，30km为半径的圆形区域内的建筑物有影响.分别从A8两地处测

得点C的方位角如图所示，tana=1.776,tan4=1.224.高速铁路是否会受到地震的影响.请通过计算

说明理由.

北北

【答案】会受到影响，理由见解析

【提示】

首先过C作CD_LAB与D,由题意得AD=CD-tana,BD=CDtanp,继而可得CD-tana+CD-tanp=AB,

则可求得CD的长，再进行比较，即可得出高速公路是否穿过地震区.

【详解】

解：如图，过C作CDLAB于D,

；.NACD=a,ZBCD=p,

ADBD

tanZACD=tana=-----，tanZBCD=tanB=------,

CDCD

AD=CDtana,BD=CDtanp,

由AD+BD=AB,得CDtana+CDtanp=AB=100,

“AB100100

贝i]CD=------------------=--------------------=------>30,

tana+tan/71.776+1.2243

...高速公路会受到地震影响.

变式7-5.（2020・江苏宿迁市•中考真题）如图，在一笔直的海岸线上有A,B两个观测站，A在B的正西

方向，AB=2km,从观测站A测得船C在北偏东45。的方向，从观测站B测得船C在北偏西30。的方

向.求船C离观测站A的距离.

【答案】（3五km

【提示】

如图，过点C作CDLAB于点D,从而把斜三角形转化为两个直角三角形，然后在两个直角三