考场仿真卷01-2021年高考数学（文）模拟考场仿真演练卷（全国Ⅲ卷）（全解全析）

2021年高考数学模拟考场仿真演练卷（全国ni卷）01

文科数学•全解全析

123456789101112

ADDCAABCAACD

1.已知集合4={尤|：<2"<8},8={x||<log2x<l},则是xeA的（）。

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

【答案】A

2X3

【解析】；A={X|2-<2<2}={X|-2<X<3},B={x|log272<log2x<log22}={x|72<x<2},

3^A,3是A的充分不必要条件，故选A。

2.已知平面向量Z=（m,-4）,刃=（-1,根+3）,若存在实数入<0,使得]=焉，则实数机的值为（）。

A、-4

□12

B、---

5

C、-1

D、1

【答案】D

~k―IZZZ―入）

【解析】•:a=Xb,；.（祖,一4）=九（一1,）+3）,则，解得入=4或入=—1,

[-4=Mm+3）

又九<0,...入=—1,...m=1,故选D。

3.新冠肺炎肆虐全，疫情波及200多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……

新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转。这场全球公共卫

生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张

圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，

还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位

代表的座位顺序应为（）。

A、甲乙丙丁戊

B、甲丁丙乙戊

C、甲丙丁戊乙

D、甲丙戊乙丁

【答案】D

【解析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流,

则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，故选D。

4.已知函数/(x)=x・lnx,a=/(V2)>b-/(In>c=/(log23),则a、b、c的大小关系为()。

A、a>c>b

B、b>c>a

C、c>a>b

D、c>b>a

【答案】C

【解析】由jT(x)=lnx+l=O得x=工，则/(九)在(1,+8)上单调递增，

ee

31]

lo§23>lo§2A/S——>A/Z>1>In——>一，

22e

/(log23)>/(V2)>/(InVe),即c>a>b,故选C。

x-y<Q

5.已知实数x、y满足约束条件的-yWO,其中m<-1,若目标函数y=的最大值为2,则〃?=()。

x-m

x+y<l

A、-2

、3

B、一2或——

2

C、-2或工

2

D、--

2

【答案】A

【解析】表示区域为如图阴影部分，A(',5-)

m+1m+1

目标函数z=3^的几何意义是可行域内的点(x,y)与P(机,0)所连直线的斜率最大,

x-m

m

故有♦.=:"I=2,即2/+3租一2=0,解得m=—2或乙舍)，故选A。

------m2

m+1

6.某城镇重点打造运动体闲小镇品牌，修建了休闲运动广场，广场内设置了一些石凳供大家体息，这些石

凳可看作是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图，若被截正方体的棱长是50皿，则每个石凳的

表面积为()。

A、2500(3+V3)cm2

B、17500c/«2

C、7500氐/

D、5000(3+扬的2

【答案】A

【解析】由题意知每个石凳有6个正方形表面，每个正方形的面积为（25&）2cm2,

有8个正三角形表面，每个正三角形的面积为Jx（25行'）2

4

每个石凳的表面积S=6x（25扬?+8x立x（25扬2=2500（3+扬an

2,故选A。

4

7.已知函数/（X）=d+sinx,若ae[0,n],Pe[—^，-^],且-a）=/（20）,则cosg+|3）=（7

,V2

A、----

3

D、--

3

Ca

2

D、近

2

【答案】B

【解析】/单调递增，（二―[—工二],Pe则/（尤）在[―二,々上递增，

2222222

则1一（1=2d，cosC-^+P）=cos,故选B。

8.已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体

外接球的体积为（）。

D、n

【答案】C

【解析】原三视图可还原成三棱锥P-A5C,

可把三棱锥P-ABC还原成正方体如图，棱长为1,

则三棱锥尸-ABC的外接球的半径为此正方体的半径R=工豆

2

则丫=3兀&=4兀.£|=叵，故选C。

3382

9.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，如下的程序框图所示用秦九韶

5432

算法求5次多项式/(x)=a5x+a4x+a3x+a2x+axx+,当%二与(/£R)时的值的过程，若输入

=2,《=—5,a2=6,%=—4,%=7,a5=2,x0=3,则输出的v的值为()。

A、984

B、985

C、986

D、987

【答案】A

【解析】执行程序框图,

输入。0=2,〃]=—5,必=6，%=—4,4=7,%=2，曲=3,

经过第1次循环得v=13,n=2,

经过第2次循环得v=35,〃=3,

经过第3次循环得v=111,及=4,

经过第4次循环得□=328,n=5,

经过第5次循环得v=986，n=6,

退出循环，故输出的u的值为986,故选C。

10.如图所示，已知耳和尸2分别是双曲线c：=l(a>0,6>0)的左、右焦点，圆(x+cf+y2=4c2

ab

与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点,如果乙取丹=120°,则的余弦值为

()o

V3-1

B、

2

1_

C、

2

V3

D、

T

【答案】A

【解析】连接A%、BF],取伍的中点C,9'2的中点。，连接片C、KD,

由已知及双曲线的定义得|旬|=|班|=|不外|=2c,|伍|=2a+2c,1351=20—2。,

VZAF^=120°,，RAC石居中，sinNC丹后=sin60°=,

_l-£

又0<a<c,—=V3-1,cosZBFjF,=''=-~—=-----=1-立，故选A。

c21|“12c22

11.如图所示，正方体ASCD-44CiQD的棱长为1,线段耳2上有两个动点E、F,且=则下

2

列结论中错误的是（）。

A、ACLBE

B、E尸〃平面ABCD

C、AAEF的面积与ABEF的面积相等

D、三棱锥A-跳F的体积为定值

【答案】C

【解析】在正方体ABCD-ABIGDID中，E、/是线段归口上的两个动点，

AC±BD且AC±BB],：.AC±平面BB[DDX,

：=平面班|D£>],ACLBE,A对，

平面A[BiGD]〃平面ABCDS.E/a平面A{BXCXDX,：.EFU平面ABCD,B对，

3到百Q的距离为BB]=1,A到gR的距离大于上下底面中心的连线，即大于1,

AAEF的面积大于ABE尸的面积，C错，

A到平面DBBQi的距离即是A到BD的距离为，7?=*是定值，

底面5.尸='4乂1=」是定值，，三棱锥4—3所的体积也为定值，D对,

ABEF224

故选C。

12.已知函数/l(x)=a・/(aeR)的图像经过P(2,l),若函数g(x)="(x)-21nx|+/有四个零点，则实数f的

取值范围为()o

A、(―oo,l—21n2)

B、(—8,1—2In2]

C、[l-21n2,0)

D、(1-2In2,0)

【答案】D

【解析】由已知可得/(2)=〃•/=1,解得〃=',故/⑴，/.g(x)—21nxi+方,

eee

易知函数g(x)的零点个数即函数y=|4■，-21nxi的图像与直线y=T的交点个数，

e

112

设/i(%)=丁产一21nx，定义域为(0,+oo),则hf(x)=^z-ex—，

eex

i?12

设皿x)=—7e*——，加(x)，则加(1)>0恒成立，，皿工)在(。,+°°)内单调递增,

exex

又根(2)=0,则当0<%<2时根(x)<0,BPhf(x)<0,当尤>2时根(%)>0,即/z'(x)>0,

・・・/%)在％=2处取得极小值也是最大值，则"(2)=1-2In2v0,

又当xf。+时h(x)>0,当％f+oo时h(x)>0，

21nx|的图像如图所示，

e

由图像可知，0<T<21n2—l,即l—21n2</<0时，

函数,=|4炉-21nxi的图像与直线y=T有四个交点,

e

即函数g(%)=|/(%)-21nx|+T有四个零点，故选D。

13.利用计算机产生0〜1之间的均匀随机数。，则事件“4a-IvO”发生的概率为

【答案】-

4

【角军析】由题意知又4。一1<0得0<〃<!，

4

£

根据几何概型公式可得，事件“4。-1<0”发生的概率为P=^-=-o

1-04

14.已知|z+75/|+|z-V^i|=6,则复数z在复平面内所对应点尸(九,y)的轨迹方程为

22

【答案】匕+工=1

94

【解析】设Z对应的点尸(x,y),则|z+7^|+|z_V^|=Jx2+(y+7^)2石)2=6

设点A(0,右)、B(0,-6,则|B4|+|PB|=6>|AB|,

22

•••点P在以A、3为焦点的椭圆上，轨迹方程为匕+±=1。

94

15.设函数/(©="一1，XVI,则满足/Q—1)</(2。的f的取值范围是________。

1,X>1

【答案】(—1,2)

【解析】当xVl时，函数=是增函数,则/(x)V/(l)=l,

作出了(x)的大致图像如图所示，

结合图像可知，要使/(?-1)</(20,

r-l<lt-l<l

则需<2t<l或<2t>l，角军得-l<t<—^—<t<2,

22

t—1<2t

即-1<，<2,故看的取值范围是(-1,2)。

、回一1

16.在AABC中，角A、5、C的对边为Q、b、c,若a=2,NA=60°,则b+——c的取值范围是

2

【答案】(6-1,20]

【解析】・・・〃=2,NA=60°,・,•由正弦定理得：nbLhc2=4名,

sinAsinBsinCsin60°V3

V3-1473-1

:.b+椅-------sinC)=-^[sin(120°-C)+-------sinC]

22V32

立二•sinC)：

cosC+—sinC)

222

=2(cosC+sinC)=141sin(C+45°),

V0°<C<120°,A45°<C+45°<165°,sin165°=-———,

4

<sin(C+45°)<1,.\73-1<&+^—!-c<2V2o

42

17.(12分)已知数列｛许｝满足：%_]-2%+a“+i=0(〃eN+,〃22)且q=2、%=4，数列｛4｝的前“项

和为5“=22-1(女乂)。

(1)求数列｛许｝、出“｝的通项公式；

(2)符号印表示不超过实数x的最大整数，记的=[1(峪2(。0-1)],T“为数列｛g｝的前〃项和，求耳。

【解析】(1)•.,数列｛许｝满足4“_1-2%+4,+1=0("€乂，n>2),

数列｛许｝是等差数列，设其公差为d，

・；%=2、%=4,:.d=-^1-=1,an=n+l,2分

,/数列｛bn｝的前n项和为S“=2包—1(“e乂)，

.♦.当”=1时，1=4=2伪—1,解得4=1,

当〃N2时,d=6“—2_1=(26"—1)—(26-—1),化简得:bn=2bn_x,

数列｛2｝是首项为1、公比为2的等比数列，：.bn=2"-'；4分

(2)由(1)知%=[log2，“，当/WvvZEi时，[log2??]=)t,左wZ,5分

Hn

二T2„=[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+---+[log2(2-2)]+[log?(2"-1)]+[log22]

=0+1+1+2H--F(〃一1)+(〃一1)十〃

=lx21+2x22+3x23+---+(M-2)x2,i-2+(n-l)x2,,-1+77.,8分

234,,-1,,

2T2„=lx2+2x2+3x2+---+(M-2)x2+(n-l)x2+2n,9分

上式减下式得：

12341,,H

-Tv,=2+2+2+2+---+2"--(n-l)x2-77=-2-(n-2)x2-77,11分

4=(〃—2)X2"+〃+2。12分

18.(12分)已知函数/(x)=，g(x)=办2+2x-l。

(1)求曲线y=/(x)在(0,7(0))处的切线方程；

(2)当xVO时，若aN—2,求证：/(x)+g(x)>0»

【解析】(1)：〃为="2"/(x)的定义域为R,r(x)=_2e2,1分

/./(0)=-2,又7(0)=1,...切线方程为y—1=—2(x—0),即2x+y—1=0；3分

(2)证明：要证/(x)+g(x)20,

只证依2+2x-l+"2x20,即证(ox?+2x-l)-e2x+120,4分

4F(x)=(ax2+2x-l)-e2x+l,

xV0,aN_2,e">0,QX^2—2x?,即(JX~+2x—IN—2x?+2尤一1,6分

：.(ax2+2x-l)-e2x+l>(-2x2+2x-l)-e2x+1,

即/。)2(-2—+2彳-1)"*+1,7分

令6(*)=(-2_?+2%-1)/£+1,

则G'(x)=(~4x+2)-e2x+2x(~2x2+2x-1)•e2x=-4x2-e2x<0,9分

G(x)在(一8,0]上单调递减，又G(0)=0,，x<0时G(xR0,11分

F(x)>0,即f(x)+g(x)>0o12分

19.(12分)某海产品经销商调查发现，该海产品每售出1f可获利0.4万元，每积压1f则亏损0.3万元。根

据往年的数据，得到年需求量的频率分布直方图如图3所示，将频率视为概率。

(1)请补齐[90,100]上的频率分布直方图，并依据该图估计年需求量的平均数；

(2)今年该经销商欲进货100f,以x(单位：t,xe[60,110])表示今年的年需求量，以y(单位：万元)表

示今年销售的利润，试将y表示为尤的函数解析式；并求今年的年利润不少于27.4万元的概率。

频率

组距

0.050

0.045

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

。60708090100110年需求量/t

【解析】(1)由题意可知，［90,100］上的频率为0.1—0.005—0.015—0.050—0.010=0.02,1分

补全频率分布直方图如图所示,2分

设年需求量的平均数为尤，

则1=65x0.05+75x0.15+85x0.5+95x0.2+105x0.1=86.5,4分

(2)设今年的年需求量为x吨，今年的年利润为y万元，

当OWxWlOO时，y=0.4x-0.3x(100-x)=0.7x-30,5分

当x>100时，y=40,6分

,,fO.7x-3O,6O<x<100

故y，7分

［40,100<x<110

设0.7x—30N27.4,解得x282,

90-824

P(82<^<90)=^^xP(80<x<90)=-x0.5=0.4,8分

P(90<x<100)=0.2,9分

P(100<%<110)=0.1,10分

贝。尸(xA82)=尸(82Vx<90)+尸(90Vx<100)+尸(100WxV110)

=04+0.2+0.1=0.7,11分

今年的年利润不少于27.4万元的概率为0.7。12分

20.(12分)如图所示，等腰AABC的底边AB=6后，高8=3,点E是线段3。上异于点3、。的动点。

点尸在3c边上，且所，A6。现沿所将A6E/折起到APE厂的位置,

(1)证明E尸，平面

(2)记BE=x,V(x)表示四棱锥P—AC产E的体积，求V(x)的最值。

【解答】(1)证明：：EFLAB,：.NBEF=NPEF=90°，,EFLPE,2分

又=平面PAE；4分

(2)解：VPELAE.PELEF,又•.•他口防=石，PEL平面A3C,5分

即PE为四棱锥尸—ACRE的高，由高线CD及E厂，A3得所〃CD,...匹=竺，

BDCD

由题意知d==空，，。=逅*，7分

3V636

2

•'•SACFE=S"BC一S2EF=-X6A/6X3--X-^-X=946--^-X2,

22o12

而PE=EB=x,.,.y(x)=LsACFE，PE=3瓜-逅马0<%<3新)，9分

336

V,(x)=3V6-—x2,令U(x)=0,解得x=6,

12

...当0<x<6时V'(x)>0,则V(x)在(0,6)单调递增，

当6cx<3后时V'(x)<0,则V(x)在(6,3后)单调递减，11分

...当x=6时V。)取得极大值也是最大值，V(x)max=V(6)=12V6o12分

21.（12分）已知点"（1,1）是抛物线C：/=2加（°>0）上一定点，过点M作射线MA、MB,分别交抛

物线C于点A、B,S.MA±MBo

（1）求证：直线AB过定点；

（2）若直线AB的斜率为：，试在抛物线上A点与3点之间的弓形弧上求一点。，使A0AB的面积最大,

并求其最大值。

【解析】（1）,•,点在抛物线C：V=2p无（°〉。）上，二代入得l=2p,；.〃=；,

•••抛物线C的方程为产=苫，1分

由题意可知直线AB的斜率不为0,设直线的方程为x=7肛+.,2分

[x=my+a。

联立《得：yo-my-a=0,A=m2+>0,

设A（孙％）、B（X2,为），则乂+%=加，3分

又则忘•赢=0,即（%—1）（々一1）+（乂一1）（%—1）=0，

即玉72—（玉+々）+%，%一（%+%）+2=0，又>：=画、yf=x29

***>：,y；—（%+为）2+3%,%—（%+为）+2=0，代入得力—根2_3a—zu+2=0,

（a2—m1）—2（〃+m）—{a—m—2）={a+m）（a—m———m—

={a+m—1）（〃一加―2）=0,5分

角牟得a=—m+1或〃=根+2,

当〃=一相+1时光=冲一根+1,必过点（1,1）,不符合题意，舍去，

当”=m+2时》=冲+7找+2,必过点(2,-1),符合题意，取,

综上，直线AB必过点(2,-1)；7分

(2)由(1)知，直线AB必过点(2,-1),

•..直线AB的斜率为g,.•.直线A3的方程为x-2y-4=0,

8分

x-2y-4=00

联立得y—2y—4=0,则%+%=2,M,%=—4,9分

2

I|=+—J(%+%)2-4yly2=10，设点。到直线AB的距禺为2,

则5整胴=^dx\AB\=5d,当d最大时AQAB的面积最大,

10分

由题意可知点。一定在第一象限，则此时y=6,y=

当过点Q(x°,为)的直线为抛物线/=X的切线且斜率为;时，d最大,

此时。(%％)为切点，••.y'bx。一--，解得/。=1,%=1，

2H2

11-2-41

即。(1,1),与。(1,1)重合,此时SA°AB=5X=5x—j==5^l~5o12分

V5

22.(10分)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相

,V3

x=