鲁教版（五四制）八年级下学期6.1菱形的性质与判定

6.1菱形的性质与判定

选择题

1.如图，要使平行四边形42。变为菱形，需要添加的条件是（

A.AC=BDB.AD=BCC.AB=CDD.AB=BC

2.如图，在平行四边形ABC。中，DE,8尸分别是NAOC和/ABC的平分线，添加一个条

件，仍无法判断四边形3即E为菱形的是（）

A.ZA=60°B.DE=DF

C.EF±BDD.BD是NED/的平分线

3.如图，在菱形A5CD中，E,尸分别是5C和CD的中点，且AELLBC,AFLCD,若AE1

=遮，则菱形ABCQ的周长等于（）

A.4TB.8aC.4D.8

4.将2020个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，使得右侧菱形的顶点

与左侧菱形的对角线交点重合，若这些菱形的边长均为a,则阴影部分的周长总和等于

()

A.2020aB.4038。C.4040〃D.4042〃

5.如图，在菱形A8CD中，P是对角线AC上一动点，过点尸作PEL8c于点E.PFLAB

于点?若菱形48。的周长为20,面积为24,则PE+尸产的值为（）

D

BEC

A.4B.建C.6D.至

55

6.如图，在菱形ABC。中，点A在x轴上，点B的坐标为（8,2）,点。的坐标为（0,2）,

则点C的坐标为（）

A.（2,2）B.（2,4）C.（4,2）D.（4,4）

7.不能判定一个四边形是菱形的条件是（）

A.四边相等

B.对角线互相平分且有一组邻边相等

C.两组对边互相平行，且一组邻边相等

D.对角线互相垂直

8.如图，菱形ABCD的边长为6,ZBA£）=120°,则对角线8。的长是（）

A____________D

XJ

BC

A.6B.3C.673D.3T

9.如图，下列四个条件中,能判定平行四边形ABC。为菱形的是（）

D_________C

A/

AB

A.ZADB=90°B.OA^OBC.OA^OCD.AB=BC

10.某班同学在“为抗疫英雄祈福”的主题班会课上制作象征“平安归来”的黄丝带，如图

所示，丝带重叠部分形成的图形是（）

A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形

11.两张全等的矩形纸片ABCD,AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF,AE=BC.若

AB=1,BC=3,则图中重叠（阴影）部分的面积为（）

A.2B.«C.—D.—

33

12.如图，在菱形A8CD中，AB=AC=1,点E、F分别为边AB、8C上的点，S.AE=BF,

连接CE、交于点H,连接。〃交AC于点。则下列结论：①AABF咨ACAE；②/

FHC=/B；©AADO^AACH；@S^ABCD=^其中正确的结论个数是（）

二.解答题

13.菱形ABC。的边长为6,/£>=60°,点E在边AD上运动.

（1）如图1,当点E为的中点时，求A。：C。的值；

（2）如图2,F是4B上的动点，且满足BP+DE=6,求证：△<?£尸是等边三角形.

EDED

图1

14.如图，四边形ABCD是平行四边形，DE//BF,且分别交对角线AC于点E,F,连接

BE,DF.若BE=DE,求证：四边形班即是菱形.

15.【教材呈现】如图是九年级上册数学教材第79页的部分内容

习题23.4

2.如图，矩形458的对角线月(7、3D相交于点。，E、

尸、G、的用J为4。、BO、C。、D。的中点，求证：

四边形EFGE是矩形.

请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程.

【结论应用】

(1)在图①中，若AB=2,/AOD=120°,则四边形E打汨的面积为.

(2)如图②，在菱形ABC。中，ZBA£>=120°,。是其内部任意一点，连接。与菱形

ABCZ)各顶点，四边形£灯汨的顶点E、F、G、反分别在。4、OB、OC.OD上，EO=

2AE,EF//AB//GH,且EF=GH,若△EFO与△GHO的面积和为城，则菱形A8C。

的周长为.

图①图②

16.四边形ABC。为平行四边形，AC为对角线，EF垂直平分AC交边A。、于点E、F.

(1)如图1,求证：四边形AFCE是菱形;

(2)如图2,若歹是8C的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四

边形AFCE面积相等的所有三角形和四边形(四边形AFCE除外).

图1图2

17.如图，在四边形48CD中，E、/分别为对角线8。上的两点，5.BE=DF.

(1)若四边形AECT是平行四边形，求证：四边形ABC。是平行四边形；

(2)若四边形AECP是菱形，则四边形A8CO是菱形吗？请说明理由？

18.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,CDLAB,垂足为。，AF平分NCA8,交.CD

于点£交CB于点F.

(1)若NB=30°,AC=4,求CE的长；

(2)过点尸作AB的垂线，垂足为G,连接EG,试判断四边形CEGF的形状，并说明

19.一张矩形纸A8CZ),将点8翻折到对角线AC上的点M处，折痕CE交于点E.将

点。翻折到对角线AC上的点X处，折痕AE交。C于点R折叠出四边形AEC?

(1)求证：AF//CE；

(2)当乙BAC=度时，四边形AECF是菱形？说明理由.

参考答案

一.选择题

1.解：因为一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形,

那么可添加的条件是：AB=BC.

故选：D.

2.解：・・,四边形A5CD是平行四边形，

・・・ZADC=ZABC9

又,：DE,5尸分别是NAOC,NA5C的平分线，

・•・ZABF=ZCDE,

9

：CD//ABf

：.ZCDE=ZAED,

：.ZABF=NAED,

J.DE//BF,

,:DE〃BF,DF//BE,

・・・四边形DEBF是平行四边形，

若DE=DF,则四边形BEDE为菱形；

若EFLBD,则四边形BFDE为菱形；

若BD平分/EDF,

ZBDF=NBDE,

'：DF//BE,

：.ZFDB=ZDBE=NBDE,

:.DE=EB,

・・・四边形3尸。丘为菱形；

3.解：连接AC,

垂直平分边BC,

.".AB=AC,

又：四边形ABC。是菱形,

：.AB^BC,

：.AB=AC=BC,

：.AABC是等边三角形，

；./8=60°,

：AE=«,AE±BC,

V3

AB=AE4-sinB=—t=^=2,

返

2

•••菱形的周长为8.

故选：D.

4.解：根据题意知，将2020个形状、大小均相同的菱形按照如图所示的方式排成一列，得

到2019个阴影菱形，且这些阴影菱形的大小完全一致，

如图，由题意知，0A=OC,AB=BC=CD=AD=a,ZBAD=ZEOF,

由菱形的对角线平分一组对角可知

J.OE//AD,

是△AC。的中位线《

；.OE=^AD=^a,

22

•••一个阴影菱形的周长为：laX4=2a,

2

.1.2019个阴影菱形的周长和为：2aX2019=4038a,

故选：B.

5.解：连结BP,如图,

•.•四边形A8CD为菱形，菱形ABC。的周长为20,

.'.BA=BC=5,S^ABC=」S菱形4BCD=12,

2

'/SAABC=S,\PAB+S^PBC>

」X5X尸£+2X5X尸产=12,

22

：.PE+PF=—,

5

故选：B.

:四边形ABC。是菱形，

：.AC±BD,AE=CE=^-AC,BE=DE=^BD,

22

:点8的坐标为（8,2）,点。的坐标为（0,2）,

：.OD=2,BD=8,

；.AE=O£）=2,DE=4,

；.AC=4,

...点C的坐标为：（4,4）；

故选：D.

7.解：A、•.•四边相等的四边形是菱形,

选项A不符合题意；

8、•..对角线互相平分的四边形是平行四边形,

•.•有一组邻边相等，

这个平行四边形是菱形，.•.选项8不符合题意；

c、•.•两组对边互相平行的四边形是平行四边形，

:一组邻边相等，

这个平行四边形是菱形，

，选项8不符合题意；

。、：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，

，选项。符合题意；

故选：D.

8.解：连接AC交3。于。，如图所示：

:菱形A8C。的边长为6,/BAD=120：

：.AB=BC=6,OA=OC,OB=OD,ACLBD,ZABC=180°-ZBA£)=60°,

：.AABC是等边三角形，

：.AC=AB=6,

.-.AO=AAC=3,

2

在RtAAOB中，OB=4皿2_0卜2=J$2-32=317^,

:.BD=2OB=6M；

9.解：A、平行四边形ABC。中，ZADB=90°,

不能判定四边形ABC。为菱形，故选项A不符合题意；

B、•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.OA=OC,OB=OD,

"：OA=OB,

C.AC^BD,

平行四边形ABC。是矩形，不能判定四边形A8CD为菱形，故选项8不符合题意;

C、：四边形A2C。是平行四边形，

：.OA=OC,不能判定四边形ABC。为菱形，故选项C不符合题意;

。、：四边形A8CD是平行四边形，AB=BC,

，平行四边形是菱形；故选项。符合题意；

故选：D.

10.解：过点A作AEL8C于E,AFICD^F,如图：

:黄丝带宽度相同，

：.AB//CD,AD//BC,AE^AF,

四边形ABCD是平行四边形，

SQABCD=BC・AE=CD-AF,

5L'：AE=AF,

：.BC=CD,

四边形ABC。是菱形，

故选：B.

11.解：设8c交AE于G,AD交CF于H,如图所示:

:四边形ABC。、四边形AECF是全等的矩形，

C.AB^CE,/B=/E=90°,AD//BC,AE//CF,

四边形AGCH是平行四边形，

fZB=ZE

在和△CEG中，，ZAGB=ZCGE>

AB=CE

.♦.△ABG沿ACEGCAAS),

；.AG=CG,

四边形AGC”是菱形，

设AG=CG=x,贝!]86=2。-。6=3-方

在RtA4BG中，由勾股定理得：12+（3-X）2=/,

解得：尸5,

3

.•.CG=S,

3

菱形AGC7/的面积=CGXAB=a><l=互,

33

即图中重叠（阴影）部分的面积为$；

3

故选：C.

12.解：：四边形ABC。是菱形,

：.AB=BC,

'：AB=AC,

：.AB=BC^AC,

即△ABC是等边三角形，

：.AB=CA,NEAC=/B=60°,

同理：△ADC是等边三角形

：.ZOAD^60°,

fBF=AE

在和△CAE中，ZB=ZEAC，

AB=CA

AAABF^ACAE(SAS)；

AZBAF^ZACE,EC=AF,

:ZFHC=ZACE+ZFAC=ZBAF+ZFAC=ZBAC=60°,

:.NFHC=NB,

故①正确，②正确；

VZOAD=60°=NEAC#/HAC,

故③△AQO丝ZVICH不正确；

「△ABC是等边三角形，4B=AC=1,

，△ABC的面积=返A)=返,

44_

，菱形ABCD的面积=2zMBC的面积=返，

2

故④不正确；

故选：B.

—.解答题

13.(1)解：：四边形ABC。是菱形，

：.BC^AD=6,AD//BC,

:点E为的中点，

：.AE=^AD=3,

2

'JAD//BC,

：.△NOEsXcOB,

.AO=AE=2=1.

"coBC?y

(2)证明：：四边形ABC。是菱形，

J.AB^BC,AD//BC,/B=/D=60°,

：.ZCAE=ZACB,△ABC是等边三角形，

J.AC^BC,ZACB=60°,

：.ZEAC=60°=ZB,

,：AE+DE=AD=6,BF+DE=6,

：.AE=BF,

在△ACE和△BCF中，

'AE=BF

<ZCAE=ZB-

AC=BC

/.AACE^ABCF(SAS),

：.CE=CF,ZACE=ZBCF,

：.ZACE+ZACF^ZBCF+ZACF=ZACB=60°,

即/ECP=60°,

；.△(?£：〃是等边三角形.

14.证明：：四边形ABC。是平行四边形,

：.AD=CB,AD//CB,

：.ZDAE=ZBCF,

,:DE〃BF,

：./DEF=ZBFE,

：.NAED=/CFB,

在△AOE和△CBE中，

,ZDAE=ZBCF

<NAED=NCFB，

AD=CB

:.LADE丝ACBF(AAS),

：.DE=BF,

又,：DE//BE,

...四边形EBFD是平行四边形,

:BE=DE,

四边形班即为菱形.

15.【教材呈现】

证明：：四边形A8CD是矩形，

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

；.OA=OC=OB=OD,

,：AO,BO,CO,。。的中点E,F,G,H,

：.OE=OF=OG=OH,

...四边形EFGH是平行四边形，EG=FH,

四边形EFG8是矩形.

【结论应用】

解：(1)-：AB=2,

：.EF=^-AB=\,

2

\'ZBAD=90°,

：.ZFEH=90°,

VZAOD=120°,

NEO尸=60°,

...△OEP为等边三角形，

：.ZEFO=60°,

：.EH=M，

四边形EBGH的面积为1X«=«,

故答案为：Vs-

(2)过点G作GNLE尸于点N,

,JEF//GH,且EF=G8,

...四边形EFGH为平行四边形，

：.FG//BC,

VZBAD=120°,

：.ZABC^ZEFG^60°,

设EF=x,则NG=1,

2

•/A£FO与△GH。的面积和为4在,

22

解得：尤=4,

：.EF=4,

,:EF〃AB,

：./\OEF^/\OAB,

.OE=EF

"0AAB

:EO=2AE,

,:EO=2AE,

•.•EF■_2—,

AB3

.\AB=6,

菱形ABC。的周长为24.

故答案为：24.

16.(1)证明：垂直平分AC,

：.AO=OC,AE=CE,AF=CF,

：.ZAEO=ZCEO,ZAFO=ZCFO,

又；四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,

：.ZAEO=ZCFOZAFO,

：.AF=AE,

四边形ABE是菱形；

(2)解：图中与四边形APCE面积相等的所有三角形分别为△ABC、AADC,四边形分

别为四边形4出石、四边形CDER理由如下：

是的中点，

：.BF=CF,

•.•四边形ABC。是平行四边形，四边形ABCE是菱形，

C.AD//BC,AD=BC,△ABC的面积=ZkAZ)C的面积=」平行四边形ABCD的面积，菱

2

形AFCE的面积=工■平行四边形ABC。的面积，AE=CF=BF=』BC=LAD=DE,AE

222

//BF,

...△ABC的面积=Z\ADC的面积=菱形AFCE的面积，四边形A8FE、四边形CD所是

平行四边形，

/.平行四边形ABFE=平行四边形CDEF=菱形AFCE的面积.

17.(1)证明：连接AC交