中考数学《反比例函数》专题含解析 (二)

反比例函数

一、选择题（共8小题）

1.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点0与原点重合，顶点A、C分别在x轴、

y轴上，反比例函数尸K（kWO,x>0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、

X

N,ND_Lx轴，垂足为D,连接。M、ON、MN.下列结论：

©△OCN^AOAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若NMON=45。,

MN=2,则点C的坐标为（0,&+1）.

其中正确结论的个数是（）

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以

AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线尸巴（kWO）上.将正方形沿x轴负

X

方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（）

产处在第一象限内的图象经过

3.如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线

OB边的中点C,则点B的坐标是（）

个单位长度后，与y轴交于点C,与双曲线y=k(k>0,x>0)交于点B,若0A=3BC,

X

则k的值为()

犷

仁

QQ

A.3B.6C.4D.4

42

5.如图，点A(a,1)、B(-1,b)都在双曲线y=-3(x<0)上，点P、Q分别是x

X

轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时,PQ所在直线的解析式是()

A.y=xB.y=x+lC.y=x+2D.y=x+3

如图，已知第一象限内的点在反比例函数的图象上,

6.Ay=2第二象限内的点B在反

X

比例函数己的图象上，且。AMB,8sA哼则k的值为

()

D.-273

7-如图’在平面直角坐标系中，NA0B=9。。，N0AB=3。。，反比例函数y葺的图象经

的图象经过点B,则下列关于m,n的关系正确的是()

C.m=-退nD.m=^n

33

8.如图，A、B、C是反比例函数丫=更(k<0)图象上三点，作直线I,使A、B、C至U直

X

线I的距离之比为3：1：1,则满足条件的直线I共有()

A.4条B.3条C.2条D.1条

二、填空题

9.如图，点P是反比例函数y=K(kVO)图象上的点，PA垂直x轴于点A(-1,0),

X

点C的坐标为(1,0),PC交y轴于点B,连结AB,已知AB=遥.

(1)k的值是；

(2)若M(a,b)是该反比例函数图象上的点，且满足NMBAVNABC,则a的取值范

围是•

10.如图，点Pl（XI,yi）,点P2（X2，V2），…，点Pn（Xn，Vn）在函数户2（X>0）

X

的图象上,△P1OA1,△P2A1A2，Z\P3A2A3,…，△PnAn”An都是等腰直角三角形，斜边

0A1，A1A2、A2A3，AnuAn都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐

（用含n的式子表示）.

11.如图,已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB.A,B两点的坐标分别是（-1,

0),(0,2）,C,D两点在反比例函数y=K（k<0）的图象上，则k等于—.

X

12-在平面直角坐标系x°y中,已知第一象限内的点A在反比例函数"的图象上,第

二象限内的点B在反比例函数尸四的图象上，连接OA、OB,若OA_LOB,OB=监，

OA,

xd

则k=.

13.如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，ZBCA=90°,AC=BC=2«,反比例函

数y=W（x>0）的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDEsz^BCA时，点

E的坐标为

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线I：y=-x-1,双曲线丫=工，在I上取一

X

点Ai，过Ai作x轴的垂线交双曲线于点Bi，过Bi作y轴的垂线交I于点A2,请继续操

作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过Bz作y轴的垂线交I于点A3,…，这

样依次得到I上的点Al,A2,A3,…，An,...记点An的横坐标为an,若讥=2,则a2=，

a=；若要将上述操作无限次地进行下去，则%不可能取的值是

15.如图，菱形。ABC的顶点。是坐标原点，顶点A在x轴的正半轴上，顶点B、C均

在第一象限，0A=2,ZAOC=60°.点D在边AB上，将四边形OABC沿直线0D翻折，使

点B和点C分别落在这个坐标平面的点B，和U处，且/CDB，=60。.若某反比例函数的图

象经过点夕，则这个反比例函数的解析式为.

三、解答题(共15小题)

16.如图，正方形AOCB在平面直角坐标系xOy中，点。为原点，点B在反比例函数产工

X

(x>0)图象上，Z^BOC的面积为8.

（1）求反比例函数a四的关系式；

X

（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位的速度运动，同时动点F从B开始沿

BC向C以每秒2个单位的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停

止运动.若运动时间用t表示，4BEF的面积用S表示，求出S关于t的函数关系式，

并求出当运动时间t取何值时，^BEF的面积最大？

（3）当运动时间为1•秒时，在坐标轴上是否存在点P,使4PEF的周长最小？若存在,

请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

17.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2,3）.双

曲线y=K（x>0）的图象经过BC的中点D,且与AB交于点E,连接DE.

X

（1）求k的值及点E的坐标；

（2）若点F是。C边上一点，且△FBCsaDEB,求直线FB的解析式.

18.通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x-l的

图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数

y=*（k六0）的图象是由反比例函数尸土8卢0）的图象向左平移2个单位长度得到.灵

活运用这一知识解决问题.如图，已知反比例函数尸❷的图象C与正比例函数y=ax（a

X

#0）的图象I相交于点A（2,2）和点B.

（1）写出点B的坐标，并求a的值；

(2)将函数打9的图象和直线AB同时向右平移n(n>0)个单位长度，得到的图象分

X

别记为C和匕已知图象C经过点M(2,4).

①求n的值；

②分别写出平移后的两个图象C和I，对应的函数关系式；

19.如图，一次函数y=kx+2的图形与反比例函数y=@的图象交于点P,点P在第一象限，

X

PA_Lx轴于点A,一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D,且548口=1，.

(1)求点D的坐标；

(2)求一次函数与反比例函数的解析式；

(3)根据图象直接写出当x>0时，一次函数值大于反比例函数的值的x的取值范围.

20.如图，在平面直角坐标系xOy中，AABC的边AC在x轴上，边BC_Lx轴，双曲线

y=K(x>0)与边BC交于点D(4,m),与边AB交于点E(2,n).

X

(1)求n关于m的函数关系式；

(2)若BD=2,tanNBAC=5,求k的值和点B的坐标.

21.如图，平面直角坐标系中，直线舄x总与x轴交于点A,与双曲线行《在第一象

限内交于点B,BC_l_x轴于点C,0C=2A0.求双曲线的解析式.

22.如图①，。为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin

ZA0B=4.反比例函数y=K（k>0）在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.

（1）若OA=10,求反比例函数解析式；

（2）若点F为BC的中点，且AACIF的面积S=12,求0A的长和点C的坐标；

（3）在（2）中的条件下，过点F作EF〃OB,交。A于点E（如图②），点P为直线EF

上的一个动点，连接PA,P0.是否存在这样的点P,使以P、0、A为顶点的三角形是

直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.

23.如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，P是反比例函数丫=丝（x>0）图象

X

上任意一点，以P为圆心，P。为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B.

（1）求证：线段AB为。P的直径；

（2）求AAOB的面积；

（3）如图2,Q是反比例函数丫=丝（x>0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心,

X

Q0为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D.求证：DO・OC=BO・OA.

24.在平面直角坐标系中，点A（-3,4）关于y轴的对称点为点B,连接AB,反比例

函数y=k（x>0）的图象经过点B,过点B作BC，x轴于点C,点P是该反比例函数图

X

象上任意一点，过点P作PD_Lx轴于点D,点Q是线段AB上任意一点，连接。Q、CQ.

（1）求k的值；

（2）判断△QOC与APOD的面积是否相等，并说明理由.

25.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k（x>0）的图象和矩形ABCD在第一

X

象限，AD平行于x轴，且AB=2,AD=4,点A的坐标为（2,6）.

（1）直接写出B、C、D三点的坐标；

（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这

是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式.

r

26.如图，已知直线y=4-x与反比例函数丫=皿（m>0,x>0）的图象交于A,B两点,

X

与x轴，y轴分别相交于C,D两点.

（1）如果点A的横坐标为1,利用函数图象求关于x的不等式4-XV皿的解集；

X

（2）是否存在以AB为直径的圆经过点P（1,0）?若存在，求出m的值；若不存在,

请说明理由.

27.如图1,直线AB过点A（m,0）,B（0,n）,且m+n=20（其中m>0,n>0）.

（1）m为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？

（2）如图2,在（1）的条件下，函数行上&>0）的图象与直线AB相交于C、D两点，

X

若^AOCA3^AOCD，求k的值，

（3）在（2）的条件下，将△OCD以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向平移，如图3,

设它与AOAB的重叠部分面积为S,请求出S与运动时间t（秒）的函数关系式（0<t

28.如图，已知双曲线y=k经过点D（6,1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C

X

作CA_Lx轴，过D作DBj_y轴，垂足分别为A,B,连接AB,BC.

（1）求k的值；

（2）若4BCD的面积为12,求直线CD的解析式;

（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由.

29.如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上

的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数丫=且（k>0,x>0）与0A边交于

X

点E,过点F作FC_Lx轴于点C,连结EF、OF.

（1）若SMCF=«，求反比例函数的解析式;

（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并

说明理由;

（3）AB边上是否存在点F,使得EFLAE?若存在，请求出BF：FA的值；若不存在,

请说明理由.

AV

5二

30.如图1所示，已知y=@（x>0）图象上一点P,PA_Lx轴于点A（a,0）,点B坐

X

标为（0,b）（b>0）,动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上,

过点B作AB的垂线，交射线AP于点D,交直线MN于点Q连接AQ,取AQ的中点为

C.

(1)如图2,连接BP,求4PAB的面积；

(2)当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2«,求此时P点的坐标；

(3)当点Q在射线BD上时，且a=3,b=l,若以点B,C,N,Q为顶点的四边形是平

行四边形，求这个平行四边形的周长.

反比例函数

参考答案与试题解析

一、选择题

1.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点。与原点重合，顶点A、C分别在x轴、

y轴上，反比例函数y=k（kWO,x>0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点M、

X

N,NDJ_x轴，垂足为D,连接OM、ON、MN.下列结论：

①△OCN四△OAM；②ON=MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若NMON=45。,

MN=2,则点C的坐标为（0,72+1）.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点】反比例函数综合题.

【专题】压轴题；探究型.

【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义得到SAONC=SAOAM=2k,B[j|oC.NC=1

OA*AM,而OC=OA,则NC=AM,在根据"SAS”可判断△OCN之△OAM；根据全等的性质

得至IJON=OM,由于k的值不能确定，则NMON的值不能确定，无法确定△ONM为等

边三角形，则ONWMN；根据SoND=SoAM=-^-k和SAQND+S

AA四边形DAMN=S/^OAM+S^OMN，即可

得到s语DAMN=SAOMN;作NE1OM于E点，则AONE为等腰直角三角形，设NE=x,则

OM=ON=J5<,EM=V2X-X=（V2-1）X,在RtANEM中，利用勾股定理可求出总=2班,

所以ON2=（V2X）2=4+2M，易得aBIVIN为等腰直角三角形，得至UBN=^MN=«,设

正方形ABCO的边长为a,在RtaOCN中，利用勾股定理可求出a的值为0+1,从而得

到C点坐标为（0,V2+1）.

【解答】解：•.•点M、N都在y=K的图象上,

X

=="

/•SA0NCSA0AM^-k,B[J-^-OC*NC=-^-OA,AM,

•.•四边形ABCO为正方形，

.•.OC=OA,ZOCN=ZOAM=90°,

/.NC=AM,

...△OCN且△OAM,所以①正确;

，ON=OM,

•••k的值不能确定,

AZMON的值不能确定,

...△ONM只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形,

.•.ONWMN,所以②错误;

SAOND=SAOAM='^k,

而S^OND+SDAMN=SAOAM+SAOMN>

四边形DAMN与△MON面积相等，所以③正确;

作NELOM于E点，如图,

VZMON=45",

•••△ONE为等腰直角三角形，

，NE=OE,

设NE=x,贝ON=«x,

EM=«x-x=(V2_1)x,

在RtZ\NEM中，MN=2,

VMN2=NE2+EM2,即22=x2+[(b-1)x]2,

.".X2=2+y[2,

0N2=(A/^X)2=4+2、技,

"：CN=AM,CB=AB,

；.BN=BM,

.•.△BMN为等腰直角三角形,

，BN=与MN=V^,

设正方形ABCO的边长为a,则OC=a,CN=a-

在RtAOCN中，VOC2+CN2=ON2,

/.a2+（a-5/2^2=4+2j^,解得ai=J^+l,a2=~1（舍去），

：.OC=y/2+l,

.♦•C点坐标为（0,M+1），所以④正确.

故选c.

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、比例

系数的几何意义和正方形的性质；熟练运用勾股定理和等腰直角三角形的性质进行几何

计算.

2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以

AB为边在第一象限作正方形ABCD,点D在双曲线L四（kWO）上.将正方形沿x轴负

X

方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是（）

【考点】反比例函数综合题.

【分析】作CE_Ly轴于点E,交双曲线于点G.作DF_Lx轴于点F,易证△OAB^^FDA

四△BEC,求得A、B的坐标，根据全等三角形的性质可以求得C、D的坐标，从而利用

待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得G的坐标，则a的值即可求解.

【解答】解：作CE_Ly轴于点E,交双曲线于点G.作DF_Lx轴于点F.

在y=-3x+3中，令x=0,解得：y=3,即B的坐标是（0,3）.

令y=0，解得：x=l,即A的坐标是（1,0）.

则OB=3,OA=1.

VZBAD=90°,

.,.ZBAO+ZDAF=90°,

又,直角△ABO中，ZBAO+ZOBA=90",

/.ZDAF=ZOBA,

♦在△OAB和4FDA中，

"ZDAF=Z0BA

,NB0A=NAFD，

AB=AD

/.△OAB^AFDA（AAS）,

同理，△OAB^^FDA❷△BEC,

.*.AF=0B=EC=3,DF=OA=BE=1,

故D的坐标是（4,1）,C的坐标是（3,4）.代入y=K得：k=4,则函数的解析式是:

X

AOE=4,

则C的纵坐标是4,把y=4代入y=邑得：x=l.即G的坐标是（1,4）,

X

.\CG=2.

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解

析式，正确求得C、D的坐标是关键.

亚在第一象限内的图象经过

3.如图，等边三角形OAB的一边0A在x轴上，双曲线尸

X

0B边的中点C,则点B的坐标是()

A.(1,V3)B.(«,1)C.(2,273)D.(2/2)

【考点】反比例函数综合题.

【分析】过点B作BDJ_X轴，垂足为D,设点B的坐标为(a,b)(a>0),再求出b

和a的关系和C点的坐标，由点C在双曲线厂返上，求出a的值，进而求出B点坐标.

X

【解答】解：过点B作BDLx轴，垂足为D,设点B的坐标为(a,b)(a>0),

•.•三角形OAB是等边三角形，

/.ZBOA=60o,

在RtABOD中，12060。=丝=k,

ODa

••b二9

♦・•点C是0B的中点，

...点c坐标为(•1，孕)，

•.•点c在双曲线产返上，

X

a=2,

.•.点B的坐标是(2,273)，

故选C.

【点评】本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是求出点B的坐标，此题

难度不大.

4.如图，直线丫寺与双曲线yg(k>0,x>0)交于点A,将直线y=,x向上平移4

个单位长度后，与y轴交于点C,与双曲线y=K(k>0,x>0)交于点B,若0A=3BC,

则k的值为()

【考点】反比例函数综合题.

【专题】压轴题；探究型.

【分析】先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD

“轴，BELx轴，CFLBE于点F,再设A(3x,-1x),由于0A=3BC,故可得出B(x,

-j-x+4),再根据反比例函数中k=xy为定值求出x

【解答】解：•••将直线y=5x向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C,

...平移后直线的解析式为y=1x+4,

分别过点A、B作ADLx轴，BE，x轴，CFLBE于点F,设A(3x,-1x),

0A=3BC,BC〃OA,CF〃x轴,

△BCF^AAOD,

,.CF《OD,

.♦点B在直线y=,x+4上，

B(x,yx+4),

.•点A、B在双曲线y=K上，

X

,.3X・£X=X・(yx+4),解得x=l,

39

\k=3Xlx4xi=4，

22

【点评】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐

标，再根据k=xy的特点求出k的值即可.

5.如图，点A(a,1)、B(-1,b)都在双曲线y=-W(x<0)上，点P、Q分别是x

X

轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是()

【考点】反比例函数综合题.

【专题】综合题；压轴题.

［分析］先把A点坐标和B点坐标代入反比例函数进行中可确定点A的坐标为（-3,1）、

B点坐标为（-1,3）,再作A点关于x轴的对称点C,B点关于y轴的对称点D,根据

对称的性质得到C点坐标为（-3,-1）,D点坐标为（1,3）,CD分别交x轴、y轴

于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形PABQ的周长最小，然后利用待定

系数法确定PQ的解析式.

【解答】解：分别把点A（a,1）>B（-1,b）代入双曲线y=-W（x〈O）得a=-3,

X

b=3,则点A的坐标为（-3,1）、B点坐标为（-1,3）,

作A点关于x轴的对称点C,B点关于y轴的对称点D,所以C点坐标为（-3,-1）,

D点坐标为（1,3）,

连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，

设直线CD的解析式为y=kx+b,

把C（-3,-1）,D（1,3）分别代入

lk+b=3

解得尸,

lb=2

所以直线CD的解析式为y=x+2.

故选C.

【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定

系数法求一次函数的解析式；熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形局长最短的

问题.

6.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=2的图象上，第二象限内的点B在反

X

比例函数y=K的图象上，且OALOB,cosAdg,则k的值为（）

x3

A.-3B.-4C.--\/3D.-

【考点】反比例函数综合题.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】过A作AE，x轴，过B作BF，x轴，由0A与0B垂直，再利用邻补角定义得

到一对角互余，再由直角三角形BOF中的两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角

相等，又一对直角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形BOF与三角形

OEA相似，在直角三角形AOB中，由锐角三角函数定义，根据cos/BAO的值，设出AB

与0A,利用勾股定理表示出0B,求出0B与0A的比值，即为相似比，根据面积之比

等于相似比的平方，求出两三角形面积之比，由A在反比例函数y=2上，利用反比例函

X

数比例系数的几何意义求出三角形AOE的面积，进而确定出BOF的面积，再利用k的

集合意义即可求出k的值.

【解答】解：过A作AE_Lx轴，过B作BFJ_X轴，

VOA±OB,

，NAOB=90。，

.,.ZBOF+ZEOA=90°,

VZBOF+ZFBO=90°,

/.ZEOA=ZFBO,

VZBFO=ZOEA=90°,

.,.△BFO^AOEA,

在Rt^AOB中，cosZBAO-=^,

AB3

设AB=«,则OA=1,根据勾股定理得：BO=g,

/.OB：OA=V2：1，

SABFO：SAOEA=2：1,

•••A在反比例函数y=2上，

X

••SAOEA=1>

SABFO=2,

则k=-4.

故选:B.

【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，锐角

三角函数定义，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定

与性质是解本题的关键.

7.如图，在平面直角坐标系中，NAOB=90。，ZOAB=30°,反比例函数门』的图象经

1X

过点A,反比例函数丫2三的图象经过点B，则下列关于m,n的关系正确的是()

D.m=­n

3

【考点】反比例函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】过点B作BE_Lx轴于点E,过点A作AF_Lx轴于点F,设点B坐标为(a,—),

a

点A的坐标为(b,，证明△BOEsaOAF,利用对应边成比例可求出m、n的关系.

b

【解答】解：过点B作BE±x轴于点E,过点A作AF_Lx轴于点F,

・，.0A=A/^OB,

设点B坐标为（a,△），点A的坐标为（b,罕），

ab

贝UOE=-a,BE=—,OF=b,AF=1，

ab

VZBOE+ZOBE=90°,ZAOF+ZBOE=90°,

AZOBE=ZAOF,

XVZBEO=ZOFA=90",

.♦.△BOEs△OAF,

-an]

嚼喘啮，即MW而

bb

ab

解得：m=-J^ab,F

故可得：m=-3n.

故选A.

【点评】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是结合解析式设出点A、B的

坐标，得出OE、BE、OF、AF的长度表达式，利用相似三角形的性质建立m、n之间的

关系式，难度较大.

8.如图，A、B、C是反比例函数丫=三(k<0)图象上三点，作直线I,使A、B、C至U直

X

线I的距离之比为3：1：1,则满足条件的直线I共有()

A.4条B.3条C.2条D.1条

【考点】反比例函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条

件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条,

如图中的直线c、d.

【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，

故选：A.

【点评】本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学

思想.解题时注意全面考虑，避免漏解.

二、填空题

9.如图，点P是反比例函数y=K(kVO)图象上的点，PA垂直x轴于点A(-1,0),

X

点C的坐标为(1,0),PC交y轴于点B,连结AB,已知AB=J^.

(1)k的值是-4；

(2)若M(a,b)是该反比例函数图象上的点，且满足NMBAVNABC,则a的取值范

n

围是0Va＜2或11二遂＜a＜「+运.

--------2----21

【考点】反比例函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】(1)设P(-1,t).根据题意知，A(-1,0),B(0,2),C(1,0),

由此易求直线BC的解析式y=-2x+2.把点P的坐标代入直线BC的解析式可以求得点P

的坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征即可求得k的值；

(2)如图，延长线段BC交抛物线于点M,由图可知，当xVa时，NMBAVNABC；作

C关于直线AB的对称点C,连接BC并延长BU交双曲线于点M，，当xVa时，ZMBA

<ZABC.

【解答】解：(1)如图，PA垂直x轴于点A(-1,0),

AOA=1,可设P(-1,t).

XVAB=V5>

OB=JAB2-032="/5T=2,

AB(0,2).

又：点C的坐标为(1,0),

二直线BC的解析式是：y=-2x+2.

•.•点P在直线BC±,

，t=2+2=4

.•.点P的坐标是(-1,4),

/.k=-4.

故答案为：-4；

解法二：用相似三角形

由题意易得4CPA〜CBO,

.CO_Ch

•而下

.1.2

，AP=4,

，k=-4.

(2)分类讨论

①如图1,延长线段BC交双曲线于点M.

由(1)知，直线BC的解析式是y=-2x+2,反比例函数的解析式是丫=-

X

<y=-2x+2

则，4.

y=­

X

解得，［厂2或卜二1(不合题意，舍去).

ly=-2Iy=4

根据图示知，当0Va<2时，NMBAVNABC；

②如图，作C关于直线AB的对称点U,连接BC并延长交双曲线于点M，.

VA(-1,0),B(0,2),

直线AB的解析式为:y=2x+2.

直线CC是与直线AB垂直的，

根据两条直线垂直，两直线的斜率互为负倒数，即：kl・k2=-l

可设CC'解析式为：y=-1x+b,

VC(1,0),

/.b=1，

2

CC，解析式为：y=-•^■x+方，

•.•AC=AC'=2,

...设C点横坐标为：x,则纵坐标为：-3x+5,

/.(-x-AO)2+(-&+5)2=(AC)2,

22

解得：x-x=l(不合题意舍去)，

1=52

.,.C（-圣，！■）,则易求直线BU的解析式为：y=&x+2,

5511

’2

,尸1丁+2

••，

4

y=一

X

解得：Xii而,X2=T1-恒

22_

则根据图示知，当二n一巡VaV「n+q^■时,NMBAVNABC.

22_

综合①②知，当0<aV2或"I；逐-VaC二"I'叵时,ZMBA<ZABC.

故答案是：0VaV2或1l-mtva〈R+遂.

22

八y

【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标

特征以及分式方程组的解法.解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解.另外，解

题的过程中，利用了"数形结合”的数学思想.

10.如图，点Pl（X1，yi）,点P2（X2，丫2），…，点Pn（Xn，yn）在函数产［（x>0）

X

的图象上,△P1OA1,AP2A1A2,AP3A2A3,△PnAn-lAn都是等腰直角三角形,斜边

OA1、A1A2、A2A3,…，An.iAn都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐

标是_（E+后，遥-而;点Pn的坐标是_LVntVrr42_VrL.Vrr42_（用含n

【考点】反比例函数综合题.

【专题】综合题；压轴题.

【分析】过点Pi作PiE_Lx轴于点E,过点Pz作PzF_Lx轴于点F,过点P3作P3GJ_x轴于

点G,根据△P10A1，△P2A1A2,AP3A2A3都是等腰直角三角形，可求出Pi，P2,P3的坐

标，从而总结出一般规律得出点Pn的坐标.

【解答】解：过点P1作P]E_Lx轴于点E,过点P2作P2F_Lx轴于点F,过点P3作p3GJ_x

轴于点G,

•.•△PiOAi是等腰直角三角形，

.*.PIE=OE=AIE=TTOAI,

设点PI的坐标为（a,a）,（a>0）,

将点Pi（a,a）代入丫=工，可得a=l,

X

故点Pl的坐标为（1,1）,

则0Ai=2,

设点P2的坐标为（b+2,b）,将点P2（b+2,b）代入丫=工，可得b=«-l,

故点P2的坐标为（b+1,亚-1）,

则AIF=A2F=V2-1,OA2=OAI+AIA2=2V2，

设点P3的坐标为（c+2&,c）,将点P3（c+2&,c）代入丫=工，可得c=«-0,

X

故点P3的坐标为（M+M，«-加），

综上可得：P1的坐标为（1,1）,P2的坐标为（正+1，1），P3的坐标为（M+近，

«-&）,

总结规律可得：Pn坐标为：（4+G，4-4W）.

故答案为：+近，V3-42），（4+4n-l，Vn-Vn-1）-

【点评】本题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答本题的关键

是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出Pl，P2,P3的坐标，从而总结出一

般规律，难度较大.

11.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BC=2AB.A,B两点的坐标分别是（-1,

0）,（0,2）,C,D两点在反比例函数y=K（k<0）的图象上，则k等于-12.

【考点】反比例函数综合题.

【分析】设点C坐标为（a,工），根据AC与BD的中点坐标相同，可得出点D的坐标，

a

将点D的坐标代入函数解析式可得出k关于a的表达式，再由BC=2AB=2&,可求出a

的值，继而得出k的值.

【解答】解：设点C坐标为（a,上），（k<0）,点D的坐标为（x,y）,

a

•.•四边形ABCD是平行四边形，

...AC与BD的中点坐标相同,

/.（限与）=（冬型），

22a22

贝Ux=a-1,y=k一

a

代入y=K,可得：k=2a-2a2①；

在Rt/XAOB中，AB=VOA2+OB2=V5»

，BC=2AB=2心

故BC2=（0-a）2+（--2）2=（2娓）2,

a

整理得：a4+k2-4ka=16a2,

将①k=2a-2a2,代入后化简可得：a2=4,

Va<0,

a=-2,

：.k=-4-8=-12.

故答案为：-12.

方法二：

因为ABCD是平行四边形，所以点C、D是点A、B分别向左平移a,向上平移b得到的.

故设点C坐标是（-a,2+b）,点D坐标是（-l-a,b）,（a>0,b>0）

根据K的几何意义，|-a|x|2+b|=|-l-a|x|b|,

整理得2a+ab=b+ab,

解得b=2a.

过点D作x轴垂线，交x轴于H点，在直角三角形ADH中，

由已知易得AD=2&,AH=a,DH=b=2a.

AD2=AH2+DH2,即20=a2+4a2,

得a=2.

所以D坐标是（-3,4）

所以|K|=12,由函数图象在第二象限，

【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了平行四边形的性质、中点的坐标及解

方程的知识，解答本题有两个点需要注意：①设出点C坐标，表示出点D坐标，代入反

比例函数解析式；②根据BC=2AB=2泥，得出方程，难度较大，注意仔细运算.

12.在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数产工的图象上，第

X

二象限内的点B在反比例函数尸号的图象上，连接OA、0B,若OA_LOB,OB=*OA,

则k=.

----2-

【考点】反比例函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】过点A作AE_Lx轴于点E,过点B作BF±x轴于点F,设点A的坐标为（a,—）,

a

点B的坐标为（b,4），判断出△0BFS/\A0E,利用对应边成比例可求出k的值.

b

【解答】解：过点A作AE_Lx轴于点E,过点B作BF_Lx轴于点F,

设点A的坐标为（a,工），点B的坐标为（b,苫），

ab

VZAOE+ZBOF=90°,ZOBF+ZBOF=90°,

/.ZAOE=ZOBF,

XVZBFO=ZOEA=90°,

.'.△OBF^AAOE,

.•43善,即

OFBFOB今告J2

-bb

则工=-^b①，②，

ab

①X②可得：-2k=l,

解得：k=-1.

故答案为：-

【点评】本题考查了反比例函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质，反比例函

数图象上点的坐标的特点，解答本题要求同学们能将点的坐标转化为线段的长度.

13.如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，ZBCA=90°,AC=BC=2«,反比例函

数y=3（x>0）的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当aBDEsaBCA时，点

X

E的坐标为（尚~、历，«）.

【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】首先设点D的坐标是（m,工），点E的坐标是（n,之），应用待定系数法求

mn

出直线AB的解析式是多少；然后根据△BDES^BCA,可得NBDE=NBCA=90。，推得直

线y=x与直线DE垂直，再根据点D、E