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高等数学（第二版）一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理中值定理微分中值定理及导数的应用三、柯西中值定理罗尔定理一、罗尔定理设函数在闭区间上有定义，且满足（1） 闭区间上连续；（2） 开区间内可导；（3） ；则至少存在一点，使得。由定理的假设在闭区间上连续，在开区间

内可导。说明在平面上是以为端点的连续且处处有切线的曲线段。由可知，线段平行于轴,说明在曲线段上必有一点（其横坐标为），在该点处的切线平行于轴。即。即曲线段上至少存在一点，在该点处有水平切线。注意：定理中的三个条件如果不能同时满足，则定理的结论也可能不成立。下面三个图象表明，函数的图象没有水平切线二、拉格朗日中值定理如函数在闭区间上有定义，且满足则至少存在一点，使得（1） 闭区间上连续；（2） 开区间内可导；或拉格朗日中值定理我们借助几何图形来分析定理的结论。条件中连续与可导的条件与罗尔定理证明相同，仅仅少了该函数在两端点的函数值相等的条件，而弦的方程为，所以正是弦的斜率说明至少存在一点，使曲线在该点的切线与弦平行。于是或定理的其他形式：（1）由于是介于与之间，因此可将表示成其中于是有（2）若令，，则有其中显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理当时的特殊情形。（介于与之间）物理解释：把数设想为在上的平均变化率而是在的瞬时变化率。中值定理表明：在某个内点处的瞬时变化率一定等于整个区间上的平均率。推论1如果函数在区间内的任意点处的导数恒等于零，则在区间内是一个常数。推论2如果函数与在区间内每一点的导数与都相等，则这两个函数在此区间内至多相差一个常数。例1

函数，在闭区间上验证拉格朗日定理的正确性。解：显然在上连续，在内可导，又由拉格朗日中值定理，至少存在，使成立。解得故可取，使成立。例2证明不等式证：设在满足拉格朗日定理的条件，因此有因为，所以可得如果我们把描述拉格朗日中值定理的几何意义的曲线用下面参数方程表示则对应的坐标为，的坐标为，而弦的斜率为三、柯西中值定理可知，点处的切线斜率等于弦的斜率，即设在曲线上点处的切线平行于弦。由参数方程在点的导数柯西中值定理设函数与在闭区间上有定义，且满足（1） 闭区间上连续；（2） 开区间内可导，且在内；不难看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，由于当

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