一元函数微分学及其应用(课件)

一元函数微分学及其应用目录导数的运算2函数的微分3导数的概念14导数的应用第一节

导数的概念一、导数的定义【引例1】

设某物体沿直线运动，其运动方程为（1）求物体在这段时间内的平均速度。（2）求物体在时刻的瞬时速度。解

（1）物体做匀速运动，且，在这段时间内，物体所经过的路程这段时间内的平均速度为第一节

导数的概念一、导数的定义（2）在时刻附近取一个新的时刻如图3-1所示由（1）可知，物体在这段时间的平均速度为从理论上来说，当时间间隔无限接近于0时，平均速度将无限接近于时刻的瞬时速度。第一节

导数的概念下面取

，从0.1开始逐渐趋向于0，则物体在这段时间内的平均速度的部分数值结果如表3-1所示。

从表3-1可以看出，时间间隔越小，平均速度越接近于20。时刻的瞬时速度

事实上，利用极限思想，物体在可以表示为

从表3-1可以看出，时间间隔越小，平均速度越接近于20。第一节

导数的概念定义3.1

设函数

在点的某个邻域内有定义，且极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数，记作或或或也称函数在点处可导。若极限不存在，则称函数在点处不可导。第一节

导数的概念求函数在点处的导数可归纳为以下3步（1）求函数值改变量：（2）计算比值：（3）求极限：第一节

导数的概念【例1】

设函数

，求

及解

（1）求函数值改变量：（2）计算比值：（3）求极限：即，进一步将代入得对于每一个确定的，导数也是唯一确定的，因而这些导数值就构成了关于自变量的一个新函数，称为函数的导函数。第一节

导数的概念定义3.2

设函数在区间内的每一点都可导，则称函数在区间内可导。函数在可导区间内的任意点处的导数称为函数的导函数，记作

或或或即对于例1，有，更一般的有(为实常数)。第一节

导数的概念【例2】

求函数

的导数解

（1）求函数值改变量：（2）计算比值：

（3）求极限：令

，可得因为所以更一般的有，第一节

导数的概念【引例2】

已知抛物线

，

和是抛物线上的两点。（1）求过M和N两点的直线（也称为抛物线的割线）方程；（2）求抛物线在点M处的切线方程。解

（1）过M和N两点的直线斜率所以直线方程为整理得第一节

导数的概念（2）在点M附近任取一点

，则当点沿曲线趋向于点，即

时，割线MP的极限即抛物线在点M处的切线，如图3-2所示。因为所以因此抛物线在点M处的切线方程为第一节

导数的概念由引例2可知，光滑曲线在某一点的切线问题是函数值改变量与自变量改变量之比的极限问题，由此可得导数的几何意义为：函数在点处的导数就是函数所表示的曲线在点处的切线斜率。若导数存在，则曲线在点处的切线方程为若导数，则曲线在点处的法线（过切点且垂直于切线）方程为第一节

导数的概念在点【例3】

求曲线处的切线方程和法线方程。解

由于，故曲线在点处的切线斜率为所求的切线方程为法线方程为

，即第一节

导数的概念三、可导与连续的关系定理3.1若函数在点处可导，则在该点处连续。注意：函数在点处连续，却不一定在点处可导。【例5】

讨论函数在点处的连续性和可导性。解

因为，故在点处的连续性。又，从而即，极限不存在。函数在点处的不可导。1目录导数的概念函数的微分3导数的应用4导数的运算2第二节

导数的运算一、常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数是导数运算的基础，表3-2所示的16个常用导数公式需要熟练掌握。第二节

导数的运算二、导数的四则运算法则定理3.2设函数在点处可导，则函数、在点

处也可导，且有（1）（2）（3）特别地，第二节

导数的运算【例6】

设，求解>>symsx;>>y=sqrt(x)+5*cos(x)-log(2);>>diff(y,x)%求导数程序运行结果为：ans=1/(2*x^(1/2))-5*sin(x)MATLAB求解代码如下：第二节

导数的运算【例7】

设，求解>>syms

x;>>y

=

x^3*log(x);>>diff(y,x)程序运行结果为：

ans

=

3*x^2*log(x)

+

x^2MATLAB求解代码如下：第二节

导数的运算【例8】

设，求解第二节

导数的运算【例9】

已知某物体做直线运动，运动方程为，求物体在时刻的瞬时速度。解

利用MATLAB求解，代码如下：>>clc;clearall;closeall;>>symst;>>s=(t^2+1)*(t+1);>>dydx=diff(s,t);>>value=subs(dydx,3)%在t=3时的函数值程序运行结果为：value=34从而可知物体在时刻的瞬时速度为34m/s。第二节

导数的运算三、复合函数求导法则引例3已知

，求解这里不能直接用公式求导，但可用求导法则求：第二节

导数的运算定理3.3（复合函数的求导法则）如果函数

在点处可导，而函数在对应点处也可导，则复合函数在点处可导，且有或复合函数对自变量的导数，等于复合函数对中间变量的导数乘中间变量对自变量的导数。若都可导，则复合函数也可导，第二节

导数的运算【例10】

设，求解函数是由

复合而成的，因此如果希望利用MATLAB求复合函数的导数，通常有下面两种方法。方法一：先分解复合函数，再求导。>>syms

x

u;>>u=

3*x+1;>>y

=u^5;>>diff(y,x)方法二：直接对复合函数求导。>>syms

x;>>y

=

(3*x+1)^5;>>diff(y,x)第二节

导数的运算【例11】

设，求解函数是由

复合而成的，因此例11的MATLAB求解代码如下：>>syms

x

u;>>u=

cos(x);>>y

=u^2；>>diff(y,x)程序运行结果为：ans

=-2*cos(x)*sin(x)第二节

导数的运算【例12】

设

，求解

先用积的求导法则，得运用复合函数的求导法则，于是得第二节

导数的运算【例13】

设

，求解利用MATLAB求解的代码如下：>>syms

x;>>y

=

log(x+sqrt(x^2+1));>>a

=

diff(y,x);>>simplify(a)

%化简结果程序运行结果为：ans

=

1/(x^2

+

1)^(1/2)即第二节

导数的运算四、高阶导数定义3.3如果函数的导数仍是的可导函数，则称的导数为函数的二阶导数，记作或或二阶导数的导数称为三阶导数，记作四阶或四阶以上的导数分别记作二阶或二阶以上的导数称为高阶导数。第二节

导数的运算【例14】

设

，求解本例的MATLAB求解的代码如下：>>syms

x>>y

=

2*x^3+4*x^2+1;>>diff(y,x,1)%一阶导数>>diff(y,x,2)%二阶导数>>diff(y,x,3)%三阶导数第二节

导数的运算【例15】

设

，求解本例的MATLAB求解的代码如下：>>syms

x;>>y

=

x*log(x);>>diff(y,x,2)程序运行结果为：ans

=1/x第二节

导数的运算五、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数1．隐函数的导数函数

称为显函数，而由方程所确定的函数称为隐函数。如

都是显函数；所确定的函数是隐函数。

隐函数很多时候不能被转化为显函数，但可以利用复合函数的求导法则求出隐函数的导数。

设方程

确定了

对的函数，并且可导，将方程两边同时对

求导，并将

看成关于的函数，便可得到隐函数的导数。第二节

导数的运算【例17】

求由方程

所确定的函数

的导数。解

将方程两边同时对

求导，并注意

是关于

的函数，得解出

，可得函数的导数为：第二节

导数的运算2．由参数方程所确定的函数的导数设

为参数，如果参数方程其中则称函数

为由上述参数方程所确定的函数。参数方程所确定的函数的导数计算公式为第二节

导数的运算【例18】

设参数方程

确定了函数，求解

由于，所以有MATLAB求参数方程所确定的函数的导数的代码如下：>>clc;close

all;clear

all;>>syms

t;

>>x

=

t^2-1;

>>y

=

t-t^3;>>disp('参数方程的一阶导数为')>>dydx=diff(y,t)/diff(x,t)程序运行结果为：参数方程的一阶导数为dydx

=-(3*t^2

-

1)/(2*t)目录1导数的运算导数的概念2导数的应用4导数的微分3第三节

微分

在实际问题中，知道一个函数在某点处的函数值很容易，但通常难以计算在点附近的点的函数值，即那么能否找到一个计算

的近似方法，使计算变得简便且精度较高呢？一、微分的概念引例4设边长为

的正方形金属薄片，因受温度变化的影响，边长由

增加到

，问此薄片的面积

改变了多少？第三节

微分解如图所示，面积的改变量

为被分成两部分，第一部分

是

的线性函数，第二部分是如果

很小，则定义

3.4设函数

在点处可导，则称为函数

在点处的微分，记作

，即

，也称函数

在点处可微。

第三节

微分函数

在任意点

处的微分称为函数的微分，记作【例19】

求函数

的微分。解

函数的导数为所以函数的微分为第三节

微分【例20】

求函数

的微分。解

函数的导数为所以函数的微分为第三节

微分二、微分公式与微分的运算法则1．微分公式第三节

微分二、微分公式与微分的运算法则2．微分的四则运算法则设函数

都可微，则3．复合函数的微分法则如果函数

在点

处可微，而函数

在对应点则复合函数

在点处可微，且处也可微，第三节

微分【例22】

在等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立。解

（1）因为

，于是得所以（2）因为

，于是得所以第三节

微分三、微分在近似计算中的应用【例25】

半径为15cm的金属球，遇热后半径变长了2mm，那么球的体积约增大了多少？解

球的体积公式为所以将代入上式，得体积约增大了第三节

微分【例26】

求

的近似值。解

选取函数，则，取可得即目录1导数的运算导数的概念2函数的微分3导数的应用4第四节导数的应用一、洛必达法则如，是型未定式，是型未定式，

未定式的极限是不能直接利用极限运算法则来求的，那么如何计算未定式的极限呢？第四节导数的应用定理3.4设函数

在点的某个去心邻域内可导，且

，如果（1）（2）存在（或无穷大），那么这种在一定条件下通过分子、分母分别求导数再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达（L’Hospital）法则。说明：（1）如果将定理中

改成自变量的其他变化过程（如，定理结论仍然成立。（2）若运用一次洛必达法则后，问题尚未解决，而函数

仍满足定理条件，则可继续使用洛必达法则。第四节导数的应用【例27】

求解

这是

型未定式，由洛必达法则，有上式仍然是型未定式，可继续使用洛必达法则，有第四节导数的应用【例28】

求解

这是

型未定式，由洛必达法则，有【例29】

求解

这是

型未定式，由洛必达法则，有第四节导数的应用在求极限的过程中，会碰到求诸如

等未定式的极限的问题。

此时，可以将其转化为

或型未定式，再利用洛必达法则求解。例如，第四节导数的应用【例30】

求解

这是

型未定式，可将其转化为

型未定式【例31】

求解

这是

型未定式，可将其转化为

型未定式第四节导数的应用【例32】

求解

这是

型未定式，因为，又，所以第四节导数的应用二、函数单调性的判定方法

若函数在其定义域内的某个区间内是单调的，则称该区间为函数的单调区间。函数的单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质，因此在讨论函数单调性时需指明单调区间。定理3.5设函数

在区间

内可导（1）若在区间

内，则函数

在区间

内单调递增（2）若在区间

内，则函数

在区间

内单调递减注意：若函数在区间内

，且

的点只有有限个，则函数

在区间

内仍然单调递增。第四节导数的应用【例34】

判定函数

在区间

上的单调性。解

因为

，无不可导点，令

得即

是函数

的驻点。因为驻点两侧的导数值并未发生改变，因此此驻点不是函数单调区间的分界点。又因为在内，于是函数

在区间上单调递增。第四节导数的应用【例35】

利用MATLAB绘制函数

的图像并讨论函数的单调性。解MATLAB实现程序如下：>>syms

x

>>f

=

2*x^3-3*x^2-36*x+16;>>f1

=

diff(f,x);>>x_answer

=

solve(f1)

%解方程求驻点%绘制图像>>x

=

-10:0.01:10;>>y

=

2*x.^3-3*x.^2-36*x+16;>>figure('color','w')%设置白色背景>>plot(x,y,'k','linewidth',2)

>>hold

on>>plot(x_answer(1),subs(f,x_answer(1)),'ko','markerfacecolor','k')>>plot(x_answer(2),subs(f,x_answer(2)),'ko','markerfacecolor','k')>>gtext('驻点1');gtext('驻点2');第四节导数的应用程序运行结果：x=

-2

3函数图像如图3-5所示。根据函数图像和驻点可知，在区间

内，函数单调递增；

在区间

内单调递减；在区间

内，函数单调递增。第四节导数的应用三、函数的凹凸性及拐点

函数的单调性反映在图像上，就是曲线的上升和下降，而曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，也就是曲线的凹凸性问题。定义3.6设函数

在区间I上可导，如果

在I上对应的曲线位于其上任意一点的切线的上方（或下方），则称

在区间I上的曲线弧是凹的（或凸的），区间I称为凹区间（或凸区间）。第四节导数的应用定义3.7如果连续曲线

在点

左右两侧的凹凸性发生改变，那么称点为该曲线的拐点。定理3.6设连续函数在区间上具有二阶导数：（1）若在区间

上

，则曲线

在区间

上是凹的；（2）若在区间

上

，则曲线

在区间

上是凸的；【例37】

求曲线

的凹凸区间及拐点。解

函数的定义域为

，且令

，得第四节导数的应用由表可知，曲线在区间上是凸的，曲线的拐点是和在区间

和上是凹的，第四节导数的应用四、函数的极值及其求法定义3.8:在其中当时，（1）则称为的极大值点，称为函数的极大值；（2）则称为的极小值点，称为函数的极小值。极大值点与极小值点统称为极值点

.第四节导数的应用四、函数的极值及其求法定理3.7（极值存在的必要条件）设函数

在点

处可导，且在点

处取得极值，那么

。定理3.8（极值存在的充分条件）设函数在点

处连续，且在点

的某一空心邻域

内可导。对于任意的

，如果（1）当

时，，当

时，，那么函数在点

处取得极大值；（2）当

时，，当

时，，那么函数在点

处取得极小值；（3）当

与时，不变号，那么函数在点

处无极值。第四节导数的应用定理3.9（极值的第二充分条件）设在点

处具有二阶导数且（1）如果

，则在点

处取得极小值；（2）如果

，则在点

处取得极大值。【例38】

求函数

的极值。解

函数的定义域为

，且令

，得驻点列表进行讨论如下第四节导数的应用在

和内，；在(1,3)内，。由定理3.8可知，为极大值为极小值第四节导数的应用>>syms

x>>f

=

x^3-6*x^2+9*x+3;>>f1

=

diff(f,x);>>x

=

solve(f1);>>figure('color','w');>>ff

=

ezplot(f,[-10,10]);>>set(ff,'color','k','LineWidth',2);%设置线的宽