数学分析课程思政案例设计-以无穷积分概念和第二型曲面积分为例

前言社会在发展，国家在进步，培养德行和才能都具备的学子既是时代的要求，也是国家的需要。课程思政是一种让各种不同的课程通过融入正确的价值理念和优秀的精神品质等元素，从而能够与思想政治课形成相同效应，贯穿“立德树人”的综合教育理念，当下越来越多的研究者投身到思政教育的探讨与实施当中，从课程教学入手，将所挖掘出来的思政元素恰当地融入到教学过程中，尽量让课程思政达到润物细无声的育人效果REF_Ref17621\r\h[1]，让学生在掌握课本知识的同时能够提高品德的修养，从而达到思政育人的目的。本论文基于华东师范大学数学系所编的《数学分析》第四版中有关积分部分的内容进行课程思政案列设计，借助数学家们的事迹，汲取疫情中的育人素材，让知识传授与价值引领有机结合，让学生在学习中受到数学优秀文化的熏陶，形成正确的三观，提高自身的政治思想觉悟，踏踏实实做人，认认真真做事。1.1数学分析开展课程思政的必要性数学分析是数学类专业的必修课程，内容多且知识点重要，授课时间相比其他课程而言是比较长的，学好数学分析对学生之后相关数学课程的学习以及以后对数学的研究都有很大的帮助。在大部分人的观念里，数学是一门完全纯理论的学科，数学分析更是如此，好像与人文学科没有关联，正如两条平行线一样，没有交点，这就导致在大家的印象里数学分析的课堂教学是有些枯燥的。因此，数学分析开展课程思政有利于打破学生脑海中对其枯燥的印象，让学生意识到数学分析课程既有理论，也有情怀。同时，其也可以帮助学生了解和应用数学分析中的理论知识，提高数学素质。开展课程思政就好比在数学分析这碗“汤”里加了少许的“盐”，味道更好。1.2数学分析课程思政的设计思路在数学分析课堂教学中融入思政元素且不显得生硬不是一件容易的事情，首先是要在授课前做好教学设计，通过了解教学大纲，思考在哪个环节切入哪个思政点比较好，以及教师如何用语言去表达，做到在授课的过程中向学生们传递一些正能量。比如社会主义核心价值观、爱国情怀和正确的行为观念等等。设计思路如图1-2-1。图1-2-1课程思政的设计思路2数学分析课程思政的切入点2.1数学分析中知识点的发展历史通过讲述数学分析中知识点的发展历史，介绍数学家的事迹和对数学的贡献，弘扬中国数学家的科研精神，引发学生对数学分析的好奇和浓厚的兴趣，养成顽强的毅力和卓越的品格，勇于面对困难和挫折REF_Ref7456\r\h[2]，增强民族文化自信心和祖国情感。2.2数学分析中知识点蕴含的思想通过运用数学分析内容中所蕴含的思想，引导学生理解和掌握知识点在被推导过程或者是在被证明的过程中所运用的思想方法，逐步培养学生的逻辑思考能力和运用数学思想解决实际问题的能力，让学生体会到数学思想方法的应用范围之广和作用之大。2.3数学分析中知识点与价值理念的关联通过数学分析中知识点与价值理念的关联，在教授知识点时利用关联引出正确的价值理念，让学生在理解知识的同时懂得一些正确的理念，加深对数学与实际生活之间联系的理解，这有利于他们对这个世界、对其他的人和对事物形成好的观念，明白为人既要有知识的高度也要有品德的高度。2.4构建无穷积分概念和第二型曲面积分的思政元素一览表前面已经知道了课程思政的设计思路，现在又了解到数学分析课程思政的切入点，接下来进行对数学分析中部分内容的思政元素进行整理（见表2-4-1），这有利于后面对该部分内容在课堂教学中思政元素应用的探讨。表2-4-1《无穷积分概念》和《第二型曲面积分》的思政元素一览表知识点思政点两者融合育人作用无穷积分概念的导入环节内容古代的神话故事和现代的航天成就通过古代嫦娥奔月的故事和现代宇宙飞船的事迹作为导入，引发学生对宇宙速度的思考民族自豪感处于无限区间的积分的计算转换为处于有限区间的积分的计算极限思想和转化思想前面学过了定积分概念及计算的相关知识，通过极限和转化思想引导学生把没有学过的无限区间的积分的计算转化为已经学过的有限区间的积分的计算遇到问题能够多角度思考无穷积分概念的符号表示数学符号的魅力通过学习无穷积分的概念去感受数学符号的魅力数学的眼光——看待世界，数学的语言——表达事物，数学的方法——解决问题第二型曲面积分的导入环节内容古代都江堰工程和现代三峡大坝工程通过运用古代和现代水利工程来引起学生对大坝曲面的单位水流量的思考文化自信单侧曲面莫比乌斯的故事在把莫比乌斯带作为单侧曲面的例子讲授时，可以向学生介绍伟大的数学家莫比乌斯的故事数学文化素养第二型曲面积分定义的推导过程小目标，大梦想第二型曲面积分定义的推导过程就好比把一个大目标分成一个个小目标去完成的过程，求得最终计算结果其实就是实现最终大梦想中华民族的伟大复兴梦3《无穷积分概念》课堂教学中思政元素应用的探讨第一个有关课程思政的教学设计案例是关于无穷积分的，如表3-1所示。无穷积分属于反常积分，而反常积分是定积分的一种推广，其实质是求一个极限。理解无穷积分的定义和几何意义，掌握其敛散性的判别，不仅能够解决实际生活中很多问题，还能在学习的过程中培养自己的类比思想、极限思想和转化思想。表3-1《无穷积分概念》思政案例设计一、授课内容课程名称数学分析所属学校广西师范大学授课章节第十一章第一节《无穷积分概念》授课对象数学类专业教学课时2课时使用教材数学分析（第四版）华东师范大学数学系二、学情分析学生知识经验分析学生前面已经学习了定积分概念及其应用，懂得在有限的积分区间内求值，但面对一些无限区间上的积分问题还不会解决。学生学习能力分析学生已经预习了反常积分的概念，初步了解到在无限区间上定义的函数，深入了解和相关应用任需教师的引导、讲解和帮助。学生思想状况分析1.学生觉得数学分析课程内容多，难以学懂；2.学生对所学内容大多停留在初步了解和应用，没有领悟到里面所蕴含的抽象思维和逻辑思想；3.学生的求知欲不高，面对疑惑缺乏探究精神，在思想觉悟层次上还需进一步提高。三、教学内容课堂教学目标1.理解无穷积分的概念及其敛散性，掌握无穷积分敛散性的判别和计算；2.在推导的过程中掌握类比、转化和极限思想；3.通过引入实例增强学生的文化自信和民族自豪感，树立远大目标，做一个有情怀有理想能做事的青年人。教学重点和难点重点：理解无穷积分的含义及其几何意义，会计算简单的无穷积分；难点：掌握无穷积分敛散性的判别。思政资源1.中国航天科技事业的发展——航天精神；2.嫦娥奔月、夸父追日、女娲补天等有关天上的故事——追梦精神；3.通过古代追梦和现代航天增强文化自信。4.通过积分符号的运用，感受数学符号的简洁之美；5.运用数学思维思考问题和数学方法解决问题；6.多角度去思考问题。四、教学方法与手段教学方法本节课从学生自身实际情况出发，以学生为主体和教师为主导相结合而设计的，采用讲授和引导的教学方法。教学手段运用多媒体与板书相结合五、教学过程设计（第0-6分钟）课程教学内容设计环节一：创设情境从古代流传下来的嫦娥奔月（图3-1）、夸父追日、女娲补天等的故事到现代的外星人来访、天外来物等的故事都代表着人们对宇宙的好奇与探究，所以在社会发展的同时，科学家们通过大量的数据计算和模拟场景，制造出了一系列的航天机器（图3-2），实现了到地球外的地方探究的梦想。图3-1嫦娥奔月图3-2宇宙飞船若有在地球表面垂直发射火箭，请问初速度至少要多大才能使火箭克服地球引力无限远离地球REF_Ref14803\r\h[3]？先假设地球的半径为，火箭质量为，地面上的重力加速度为REF_Ref9672\r\h[4].由万有引力定律知，在距地心处火箭所受的引力为.（3-1）而要克服引力做功，则有.（3-2）引导到学生发现若想得到的值，首先要求得的值，但是以前我们只学习了在有限的区间中求被积的函数，那么在无限区间内的被积的函数又应该怎样求呢？（第0-3分钟）结合课程内容融入【案例1——用古代的神话故事与现代的科技成就相结合，让同学们感受到当今祖国的强大，增强发自内心的民族自豪感；感受到中国航天事业的发展，同时学习航天精神，以更多地热情投入到学习中，提高学习效率和课堂效率。】（第7-11分钟）课程教学内容设计环节二：分析问题通过引导学生换个角度将不懂的问题转化为曾经解决过的问题，即将未知的无限区间上的积分转化为所学习过的有限区间上的定积分；与学生一起探究发现求解的问题其实就是求解的问题。从而就可以引出无穷积分的概念。（第8-10分钟）结合课程内容融入【案例2——求在无限区间的积分看似很难解决，却可以转化为在有限区间的积分去解决，而在这其中则需要极限的思想去牵连。这就好比遇到的问题看似“山中水尽疑无路”实则换个思维，换个角度，就会发现这个问题也不是很难解决。】（第12-25分钟）课程教学内容设计环节三：概括定义定义设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积REF_Ref9672\r\h[4].如果存在极限，(3-3)则称此极限为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分）REF_Ref9672\r\h[4]，记作，（3-4）并称收敛REF_Ref9672\r\h[4].否则，称不满足的发散REF_Ref9672\r\h[4].提问：综上我们得出了在区间上函数的定义，那在区间和上呢？函数又是怎样定义的呢？（给时间同学们思考和动笔试着自己写一写）类似地，可定义在上的无穷积分：.（3-5）对于在上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：，（3-6）其中为任意实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的REF_Ref9672\r\h[4].注1无穷积分的收敛性与收敛时的值，都和实数的选取无关REF_Ref9672\r\h[4].注2由于无穷积分是由和两类积分来定义的，因此，在任何有限区间上，首先必须是可积的REF_Ref9672\r\h[4].（第15-20分钟）结合课程内容融入【案例3——看似复杂的问题，用数学符号表现出来就显得简洁明了。让学生在学习的同时感受到数学符号的魅力，“小小”的数学符号却与这“大大”的世界有着千丝万缕的联系。提高自己的数学素养，学会运用数学语言去描述问题，懂得用数学的思维去思考问题，用数学的眼光去看这个世界REF_Ref9438\r\h[5]。】（第26-29分钟）课程教学内容设计环节四：深入理解提问：现在同学们初步了解无穷积分的定义，那同学们再思考一下，它的几何意义是什么呢？让同学们回忆定积分的几何意义——在有限区间内曲边梯形的面积，那无穷积分的几何意义是否也类似如此呢？图3-3收敛的几何意义是：若在上为非负连续函数，则图3-3中介于曲线，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积REF_Ref9672\r\h[4].（第30-34分钟）课程教学内容设计环节五：尝试运用例1讨论无穷积分的收敛性REF_Ref9672\r\h[4].解：分类讨论：当时，；当时，.从而，当时，；当时，.因此，当时无穷积分收敛于，当时无穷积分发散于.（第35-37分钟）课程教学内容设计环节六：回顾引例求解，通过前面所学知识知道是收敛的，同时，故有，最后带入已知数值，即可求出.（第38-40分钟）课程教学内容设计环节七：课堂小结1.无穷积分的定义；2.无穷积分敛散性的判别及其相关应用。环节八：课后作业习题1中的第（1）、（2）、（4）小问4《第二型曲面积分》课堂教学中思政元素应用的探讨第二个案例也是关于积分的，但不是平面上的积分，而是更进一层——第二型曲面积分，如表3-2所示。本案例通过引入古代都江堰和现代大坝工程来展开对第二型曲面积分定义的探讨，同时讲授德国数学家莫比乌斯的事迹，在教学过程中达到思政育人的目的。表3-2《第二型曲面积分》思政案例设计一、授课内容课程名称数学分析所属学校广西师范大学授课章节第二十二章第二节《第二型曲面积分》授课对象数学类专业教学课时2课时使用教材数学分析（第四版）华东师范大学数学系二、学情分析学生知识经验分析学生前面已经学习了《第一型曲面积分》，对曲面积分的概念和计算有了初步的了解。学生学习能力分析学生已经预习了第二型曲面积分的概念，但是深入了解和相关应用任需教师的引导、讲解和帮助.学生思想状况分析1.曲面的侧和第二型曲面积分涉及空间想象，内容有些抽象，学生学习其有一定的难度，可能会导致学生产生畏难心理；2.学生对所学内容大多停留在初步了解和应用，没有领悟到里面所蕴含的抽象思维和逻辑思想；3.学生的求知欲不高，面对疑惑缺乏探究精神，在思想觉悟层次上还需进一步提高.三、教学内容课堂教学目标1.理解曲面的侧和第二型曲面积分的定义，掌握第二型曲面积分的计算，学会应用第二型曲面积分解决问题；2.掌握推导过程所运用的积分思想；3.增强学生民族自豪感和民族责任感，激励学生更加努力学习。教学重点和难点重点：了解曲面的侧，理解第二型曲面积分的定义，掌握第二型曲面积分的计算；难点：理解第二型曲面积分的定义的推导过程。思政资源1.古代大坝的建设与现代大坝的建设，展示中国人民的智慧结晶；2.为自己作为中华儿女骄傲，加深爱国情怀和民族责任感。3.通过数学家莫比乌斯的故事，提高数学文化素养；4.推导第二型曲面积分定义的过程所体现出来的人生哲学道理，目标和梦想都很大，但是把它们分成一个个小目标去完成，终有一天，大目标和大梦想也能够实现。四、教学方法与手段教学方法本节课从学生自身实际情况出发，以学生为主体和教师为主导相结合而设计的，采用讲授和引导的教学方法.教学手段运用多媒体与板书相结合.五、教学过程设计（第0-3分钟）课程教学内容设计环节一：创设情境1.古有蜀郡太守李冰父子主持修建的都江堰大坝（如图4-1），今有闻名世界的中国三峡大坝（如图4-2）。这些水利工程在面对自然灾害时起到巨大的作用，给当地人民的生活带来便利。图4-1都江堰图4-2三峡大坝2.那同学们有没有思考过这样一些问题，当大坝泄洪时，在单位时间内通过一曲面从坝的一侧流向另一侧河水的流量应该如何计算呢REF_Ref12383\r\h[6]？如图4-3的大坝泄洪。图4-3大坝泄洪若想计算流量，则需要知道流速的方向和坝体所在曲面的方向。那如何确定一个曲面的方向呢？（第0-2分钟）结合课程内容融入【案例1——把古代大坝与现代大坝作为例子引入，不仅能够让抽象的第二型曲面积分概念增添一些色彩，激起同学们学习的欲望，还能让同学们感受到古代人民智慧的伟大和祖国今天科技实力的强大，更加努力地去学习，增强民族自豪感，提高民族责任感.】（第4-9分钟）课程教学内容设计环节二：探究发现要给一个曲面定向，首先要知道什么是曲面的侧。曲面的侧有两种，一种是双侧曲面，另一种是单侧曲面。设连通曲面上到处都有连续变动的切平面（或法线），为曲面上的一点，曲面在处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向就是负方向。设为上任一点，为上任一经过点，且不超出边界的闭曲线REF_Ref9672\r\h[4].又设为动点，它在处与有相同的法线方向，且有如下特性：当从出发沿连续移动，这时作为曲面上的点，它的法线方向也连续地变动。最后当沿回到时，若这时的法线方向仍与的法线方向相一致，则说这曲面是双侧曲面；若与的法线方向相反，则说是单侧曲面REF_Ref9672\r\h[4]。在生活中，我们看到的曲面大多数都是双侧曲面，而关于单侧曲面，最典型的莫过于莫比乌斯带。在讲解前，我们可以先来了解一下关于伟大的数学家莫比乌斯的故事。莫比乌斯带是他在1858年发现的，那这个发现令莫比乌斯感到很神奇，那它神奇在什么地方呢？接下来让我们来探究一下莫比乌斯带的神奇之处。莫比乌斯带的构造：取一条形状为矩形的长纸带，把所在一侧扭转180°之后再与所在的另一侧粘连在一起，此时和重合，和重合。接下来，若是沿着这个带子上任一处为起点涂上一种颜色，我们发现可以不越过带子的最外边而将整条纸带全部涂遍，好比一只虫子可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。若是用一把剪刀沿纸带的中央将其剪开，纸带没有被分成两个纸带，反而是变成了一个两倍长的纸圈。在了解曲面的侧的两种类型后，我们要知道一般由所表示的曲面都是双侧曲面，当以曲面的法线正方向与轴正方向的夹角为锐角的一侧（也称为上侧）为正侧时，则另一侧（也称下侧）为负侧。若为封闭的曲面，一般规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧REF_Ref9672\r\h[4].（第6-8分钟）结合课程内容融入【案例2——在讲解单侧曲面时为同学们科普关于德国数学家莫比乌斯的事迹，不仅能够提高同学们上课积极性，还能够提高他们的数学文化素养，扩大知识面。】（第10-24分钟）课程教学内容设计环节三：概括定义先假设曲面为大坝的曲面，而流体的流速为，其中，，为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面的总流量REF_Ref9672\r\h[4].设在曲面的正侧上任一点处的单位法向量为.这里，，是，，的函数，则单位时间内流经小曲面的流量近似地等于其中是上任意取定的一点，，，是的正侧上法线的方向余弦，又，，分别是的正侧在坐标面,和上投影区域的面积的近似值，并分别记作，，，于是单位时间内由小曲面的负侧流向正侧的流量也近似地等于，故单位时间内由曲面的负侧流向正侧的总流量这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分REF_Ref9672\r\h[4].定义设，，为定义在双侧曲面上的函数，在所指定的一侧作分割，它把分为个小曲面，，，，分割的细度，以，，分别表示在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定REF_Ref9672\r\h[4].若的法线正向与轴正向成锐角时，在平面的投影区域的面积为正REF_Ref9672\r\h[4].反之，若法线正向与轴正向成钝角时，它在平面的投影区域的面积为负.在各个小曲面上任取一点，若存在，且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数,，在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分REF_Ref9672\r\h[4]，记作或.故此定义，该流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量.（第15-20分钟）结合课程内容融入【案例3——在推导出第二型曲面积分的定义时用到了“先分割、再求近似、接着求和、后取极限”的积分思想，让同学们学会了在遇到不规则图形的面积问题时首先用积分思想去解决，从而慢慢养成用数学的思想去考虑事情，用数学的方法去解决问题，提高自己的逻辑能力。】（第25-37分钟）课程教学内容设计环节四：初步运用定理1设是定义在光滑曲面，上的连续函数，以的上侧为正侧（这时的法线方向与轴正向成锐角），则有.证明：根据第二型曲面积分的定义可知，这里REF_Ref9672\r\h[4].显然由立刻可推得REF_Ref9672\r\h[4].由于在上连续，在上连续（曲面光滑），根据复合函数的连续性，也是上的连续函数REF_Ref9672\r\h[4].由二重积分的定义.所以.同理，若在光滑曲面，上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧REF_Ref9672\r\h[4].若在光滑曲面，上连续时，有，这里是以的法线方向与轴的正向成锐角的那一侧为正侧REF_Ref9672\r\h[4].定理2设为光滑曲面，正侧法向量为，，，在上连续，则REF_Ref9672\r\h[4].定理3设，，是定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧，则REF_Ref9672\r\h[4].证明：由于，，，，因此REF_Ref9672\r\h[4].例1计算，其中，取上侧REF_Ref9672\r\h[4].解：，，，其中由于是的奇函数，；又因为对称性，故有REF_Ref9672\r\h[4].（第30-33分钟）结合课程内容融入【案例4——回顾得到第二型曲面积分的定义的过程，会发现实现自己的梦想和目标就需要这样子做，先把它分成一个个小目标和小规划，然后努力去完成一个个这样子的小目标，相信会在未来的某一天内心那个大的目标和梦想就会实现.同时，也像我们伟大的祖国，在千千万万的华夏儿女的努力下，完成和突破一个又一个目标，终有一天，会实现中华民族的伟大复兴。】（第38-40分钟）课程教学内容设计环节五：课堂小结（1）曲面的侧和第二型曲面积分的定义；（