数学示范教案：已知三角函数值求角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7（)，\s\do5（整体设计))教学分析在课程标准中，没有已知三角函数值求角的内容，但相当多的内容涉及到这个问题(如立体几何中求两条异面直线的夹角、直线与平面所成的角、解析几何中直线的倾斜角)，所以教材专门列出一小节讲解，因此应该让学生了解它们的意义，并学会正确使用反三角函数符号arcsinx、arccosx、arctanx.但一定要控制本小节的难度，只能根据单角的正弦、余弦、正切值求单角或单角的集合，不要补充一些较复杂的题目,只要使学生会由已知三角函数值求角就可以了．已知角x的一个三角函数值求角x时，实际上就是解最简单的三角方程．由于三角函数不是从定义域R→值域[－1，1]上的一一映射,所以已知角x的一个三角函数值求角x时，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定,这个范围应该在题目中给定．如果在这个范围内已知三角函数值对应的角不止一个,可以分为以下几个步骤：第一步,确定角x可能是第几象限角；第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x1，如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x1;第三步,如果函数值为负数，则根据角x可能是第几象限角,得出［0，2π］内对应的角;第四步，如果要求出［0,2π］以外的角,则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果．如果求得的角是特殊角，最好用弧度表示,就不存在反三角符号了．本节的难点有三个，简单地说就是确定角的个数，认识符号，写出所求角的集合．克服难点的关键是拾级而上，分层次理解，弄清各层次的意义．但要注意表示形式上的不唯一．三维目标1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义,并会用符号表示．2．会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出［0,2π］范围内的角,并能用反正弦、反余弦、反正切符号表示角或角的集合．3．能运用已知三角函数值求角，解决与其相关的一些简单问题．重点难点教学重点：已知正弦、余弦、正切值求角．教学难点：对反正弦、反余弦、反正切的概念及其符号的正确认识．课时安排1课时eq\o(\s\up7(）,\s\do5(教学过程））导入新课思路1。（直接引入)我们知道，任意给定一个角,只要这个角的三角函数值存在,就可以求出这个三角函数值；反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角．由此导入新课．思路2.（类比引入)前面我们学习函数时知道,给定一个函数值必有一个或多个自变量的值与之对应．那么三角函数作为一类特殊的函数，是不是也这样呢？比如sinx＝eq\f(1,2)，你怎样求出适合这个式子的x的值呢？在学生探究中引入新课．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）已知正弦值,求角．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出问题））eq\a\vs4\al（1在函数y＝sinx的非单调区间上，对于已知的一个正弦值，有多少个角和它对应？，2对于正弦函数y＝sinx,如果已知函数值yy∈［－1，1］，那么，在[－\f(π，2)，\f(π,2）］上怎样表示x？)活动:教师引导学生先复习正弦函数的图象和性质，或用课件演示,引导学生得出：在函数y＝sinx的非单调区间上，对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应，如在［0，2π]上有两个角eq\f(π,4）和eq\f(3π，4)的正弦值都为eq\f（\r(2），2），在R上有无穷多个角的正弦值为eq\f（\r（2），2)。但是,在y＝sinx的单调区间上，只有一个角和已知正弦值对应，比如在单调区间[－eq\f（π，2），eq\f(π,2)］上,只有eq\f(π，4)的正弦值等于eq\f（\r（2）,2）.也就是说，正弦函数在区间［0,2π]上不具有单调性．但在[－eq\f(π，2），eq\f(π，2）]上单调递增．所以在区间［－eq\f(π,2)，eq\f（π，2）］上，满足条件sinx＝a(－1≤a≤1)的x有且只有一个，而在［0,2π］上满足条件sinx＝a(－1≤a≤1）的x一般有两个．一般地，对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈［－1,1])，那么在［－eq\f（π，2），eq\f（π,2）]上有唯一的x值和它对应．记为x＝arcsiny（其中－1≤y≤1，－eq\f(π,2)≤x≤eq\f(π,2）),即arcsiny（|y｜≤1)表示［－eq\f（π,2），eq\f（π,2)]上正弦等于y的那个角．这个角叫做y的反正弦．讨论结果：（1）有无穷多个;(2)表示为x＝arcsiny（其中－1≤y≤1,－eq\f（π,2）≤x≤eq\f(π，2))．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(应用示例））例1（1）已知sinx＝eq\f(\r（2)，2)，且x∈[－eq\f(π，2)，eq\f（π，2)]，求x；（2）已知sinx＝eq\f（\r(2），2），且x∈[0,2π]，求x的取值集合；（3）已知sinx＝eq\f(\r（2),2)，且x∈R，求x的取值集合．解：由sinx＝eq\f（\r(2)，2）知x的正弦值是个正值，所以x是第一象限或第二象限的角，如图1，由sineq\f（π,4)＝eq\f(\r（2),2)，sineq\f（3π，4)＝eq\f(\r(2）,2）可知：图1(1)在［－eq\f(π,2）,eq\f（π，2）]上，x＝eq\f(π,4）；(2）在［0,2π］上，x＝eq\f(π,4）或x＝eq\f（3π，4）；(3)在R上符合条件的角是所有与eq\f（π，4)终边相同的角和所有与eq\f(3π，4)终边相同的角．因此x的取值集合为{x｜x＝2kπ＋eq\f(π，4）(k∈Z)｝∪{x｜x＝2kπ＋eq\f（3π,4)(k∈Z)｝．点评：本例解法没涉及到反正弦概念，那么学习反正弦还有什么用呢？教师可就此点明,在本例(1)中，eq\f(π,4)＝arcsineq\f(\r（2）,2)，eq\f（3π,4）＝π－arcsineq\f(\r(2)，2).那么本例（2）中的答案也可写成｛arcsineq\f（\r（2),2），π－arcsineq\f(\r（2)，2)｝．进一步体会－eq\f（\r(2)，2）≤arcsina≤eq\f(\r(2),2)（其中－1≤a≤1）．同时强调,如果求得的角是特殊角，则最好用特殊角的弧度表示,如果不是特殊角，则用反正弦表示，为书写方便，一般地把x作为自变量，y是x的函数，记为y＝arcsinx.例如:如果sinx＝eq\f(1，2),x∈[－eq\f（π,2），eq\f(π，2）］,则x＝arcsineq\f(1，2)＝eq\f（π，6）；如果sinx＝－eq\f（\r(3），2)，x∈［－eq\f（π,2），eq\f(π,2）］,则x＝arcsin（－eq\f（\r(3),2）)＝－eq\f（π，3);如果sinx＝0，x∈［－eq\f（π，2)，eq\f(π,2)]，则x＝arcsin0＝0；如果sinx＝0.3458,x∈［－eq\f(π，2)，eq\f(π，2)］，在不要求求出具体的x值时，其中的x可记作arcsin0.3458，即x＝arcsin0.3458。变式训练函数y＝sinx，x∈［eq\f(π，2），eq\f（3π，2)]的反函数为()A．y＝arcsinx，x∈[－1,1]B．y＝－arcsinx，x∈[－1,1]C．y＝π＋arcsinx，x∈［－1,1］D.y＝π－arcsinx，x∈［－1，1]解析：因为x∈［eq\f(π,2），eq\f(3π,2)]，所以π－x∈[－eq\f（π，2)，eq\f(π，2)]，且sin(π－x）＝sinx,所以y＝sinx＝sin(π－x)的反函数是π－y＝arcsinx，即y＝π－arcsinx(x∈［－1，1]）．故选D.已知余弦值和正切值,求角．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题)）eq\a\vs4\al(1你能类比反正弦函数的概念，给出反余弦、反正切函数的概念吗?，2arccosa－1≤a≤1、arctana的范围是多少？)活动：教师引导学生复习余弦函数、正切函数的图象和性质，得出函数y＝cosx在区间[0,2π）上,对y∈(－1,1)的任意一个值，有两个角x与之对应．如果考察自变量x在整个定义域(－∞，∞)上取值，那么对区间[－1,1］上的任意一个值y，有无穷多个x值与之对应，为了使符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x有且只有一个，我们选择闭区间［0，π］作为基本范围．在这个闭区间上,符合条件cosx＝a(－1≤a≤1)的角x,叫做实数a的反余弦，记作arccosa，即x＝arccosa，其中x∈［0，π］且a＝cosx.同样，根据正切函数的图象和性质，为了使符合条件tanx＝a(a为任意实数)的角x有且只有一个,我们选择开区间（－eq\f（π，2），eq\f（π,2））作为基本的范围．在这个开区间内,符合条件tanx＝a(a∈R）的角x，叫做实数a的反正切，记作arctana,即x＝arctana,其中x∈(－eq\f(π，2），eq\f（π，2)）,且a＝tanx。讨论结果:（1)略．（2)0≤arccosa≤π，－eq\f(π，2)<arctana〈eq\f(π，2).eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（应用示例）)例2已知cosx＝－eq\f(\r(2）,2)，且x∈［0，2π），求x的取值集合．解:因为余弦函数值是负值,所以x是第二或第三象限的角（图2）．由coseq\f（3π,4）＝－coseq\f(π,4）＝－eq\f(\r（2)，2）图2可知，所求符合条件的第二象限的角x＝eq\f(3π,4）。又由cos（eq\f（π，4)＋π）＝－coseq\f（π，4)＝－eq\f(\r(2)，2）可知，在区间［0，2π)内符合条件的第三象限的角x＝eq\f(π,4)＋π＝eq\f(5π,4）。因此,所求角x的取值集合为{eq\f(3π,4),eq\f(5π，4）｝．点评：与例1一样，本解法仍没用到反余弦符号,其道理同例1.因此本例中答案可写成｛arccos（－eq\f（\r（2)，2）)，π＋arccoseq\f(\r(2)，2)｝或写成{π－arccoseq\f（\r(2）,2),π＋arccoseq\f(\r(2），2）｝或｛arccos（－eq\f（\r(2），2)），2π－arccos(－eq\f(\r(2),2))｝．因为是特殊角，所以写｛eq\f(3π,4)，eq\f（5π，4）}最简洁明了．如：arccoseq\f（1,2）＝eq\f（π,3），arccoseq\f(\r(2）,2）＝eq\f（π，4)，arccos（－eq\f(1，2））＝eq\f(2π，3）。由此也看出，在用反三角符号表示角或角的集合时,形式上不唯一.变式训练(1）已知cosx＝－0。7660，且x∈[0，π］,求x。(2)已知cosx＝－0.7660，且x∈[0，2π]，求x的集合．解：(1）由余弦函数在闭区间[0，π］上是减函数及已知条件知，符合条件的角有且只有一个,这个角为钝角．∴x＝arccos(－0.7660）．(2）∵cosx＝－0。7660〈0，∴x是第二或第三象限角．若x为第二象限角，则x＝arccos(－0.7660);若x为第三象限角，则x＝2π－arccos（－0。7660）．∴符合条件的角的集合为{arccos（－0.7660）,2π－arccos(－0。7660)｝。例3已知tanx＝－eq\f(\r（3)，3），且x∈（－eq\f（π,2)，eq\f（π，2)），求x的值．解：∵tanx＝－eq\f(\r(3)，3）〈0,∴x为第二或第四象限角．又∵－eq\f(π，2)≤x≤eq\f(π,2）,∴符合条件的角只有一个,x＝arctan（－eq\f(\r(3），3））＝－eq\f(π，6)。变式训练(1）已知tanx＝－eq\f（\r（2)，2)，且x∈（－eq\f（π，2)，eq\f（π，2)），求x。（2)已知tanx＝－eq\f(\r（2），2）,且x∈[0，2π]，求x的取值集合．解：（1)∵tanx＝－eq\f（\r（2）,2）〈0，且x∈（－eq\f（π,2),eq\f（π，2))，∴符合条件的角有且只有一个，x＝arctan(－eq\f（\r（2)，2））．(2)∵tanx＝－eq\f（\r（2)，2）<0，且x∈[0,2π]，可知符合条件的角有两个：在第二象限或第四象限．∴所求角的集合为{π＋arctan（－eq\f（\r(2),2）)，2π＋arctan（－eq\f(\r（2),2））｝。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))先让学生回顾本节课所学过的知识，涉及到的数学思想方法．在此基础上教师进行画龙点睛：在学完反正弦后，我们用类比的思想学习了反余弦、反正切．要求熟练掌握已知角α的三角函数值求α角的一般步骤．本教材只要求同学们会用arcsinx，arccosx，arctanx这三个符号表示角，对于这三个符号的其他知识不作进一步探讨．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作业））课本本节练习A组1，3.eq\o(\s\up7(）,\s\do5(设计感想））本节教案设计主线是：始终抓住类比思想,数形结合思想，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，结合图形，由学生自己来对新知识进行分析、猜想、验证、应用，使新旧知识点有机地结合在一起；同时通过多媒体教学,使学生通过对图象的观察，对知识点的理解更加直观、形象，提高学生的学习兴趣，教学过程流畅，符合高中课程标准理念．本节教案设计理念是:坚持以学生为本,以学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，让学生学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比、数形结合等重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（备课资料））备用习题1．满足cosx＝eq\f(1，3)（－eq\f（π，2)〈x<0）的x的值是()A．π－arccoseq\f（1,3)B.eq\f（π,2）－arccoseq\f(1，3）C．arccoseq\