2024-2025学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年四川省内江市威远中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一个水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图如图所示，且O′A′=O′B′=2，则其平面图形的面积是(

)A.4 B.42 C.22.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(

)A.若l⊥α，l//m，则m⊥α B.若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

C.若l//α，m⊂α，则l//m D.若l//α，m//α，则l//m3.下列命题中正确的是(

)A.点M(3,2,1)关于平面yoz对称的点的坐标是(−3,2,−1)

B.若直线l的方向向量为a=(1,−1,2)，平面α的法向量为m=(6,4,−1)，则l⊥α

C.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成的角为30°

D.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若OP4.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1A.1

B.12

C.13

5.黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm，足径14.4cm，高3.8cm，其中底部圆柱高0.8cm，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为(    )(附：π的值取3，25.4025A.300.88cm2 B.311.31cm2 C.6.设直线l的方程为xcosθ+y−3=0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)A.[π4,3π4] B.[7.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，已知四棱锥S−ABCD为阳马，且AB=AD，SD⊥底面ABCD.若E是线段AB上的点(不含端点)，设SE与AD所成的角为α，SE与底面ABCD所成的角为β，二面角S−AE−D的平面角为γ，则(

)A.β<γ<α

B.β<α<γ

C.α<γ<β

D.α<β<γ8.如图，在三棱锥A−BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AB=AC=AD=3，以A为球心，6为半径作球，则球面与底面BCD的交线长度的和为(

)A.23π

B.3π

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.直线l1：y=ax+b，l2：y=−bx+a(ab≠0)的图象可能是(

)A. B.

C. D.10.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，PE=ED,BF=A.BE=12AP−AB+12AD

B.|BE|=6

11.如图，一个漏斗形状的几何体上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥P−ABCD，四棱锥的四条侧棱都相等，两部分的高都是12，公共面ABCD是一个边长为1的正方形，则(

)A.该几何体的体积为23

B.直线PD与平面ABCD所成角的正切值为22

C.异面直线AP与CC1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若直线l1：ax−2y+2=0与直线l2：2x+(a+4)y+1=0平行，则实数a=______．13.已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA=______．14.如图，边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使AD⋅BC=23四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知A(1,1)，B(2,3)，C(4,0).求：

(1)BC边上的中线所在的直线方程；

(2)AB边垂直平分线方程．16.(本小题15分)

如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点．

(1)证明：EF//平面ABC．

(2)证明：平面EFA⊥平面PAC．17.(本小题15分)

已知一条动直线3(m+1)x+(m−1)y−6m−2=0，

(1)求直线恒过的定点P的坐标；

(2)若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的面积为6，求直线的方程．18.(本小题17分)

如图，三棱台ABC−A1B1C1中，△ABC是正三角形，A1A⊥平面ABC，AB=2A1A=2A1C1=4，M，N分别为棱AB，B19.(本小题17分)

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作<a，b>.定义a与b的“向量积”为：a×b是一个向量，它与向量a，b都垂直，它的模|a×b|=|a|⋅|b|⋅sin<a，b>.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，DP=DA=4，E为AD上一点，|AD×BP|=85．

参考答案1.A

2.A

3.C

4.C

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BC

10.ACD

11.ABCD

12.−2

13.2

14.215.解：A(1,1)，B(2,3)，C(4,0)．

(1)BC中点坐标为E(3,32)，直线AE的斜率kAE=1−321−3=14，

所以BC边上的中线所在的直线方程为y−32=14(x−3)，即x−4y+3=0；

(2)AB中点坐标为(32,2)，

直线16.证明：(1)因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EF/​/BC，

因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以EF/​/平面ABC；

(2)因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC．

因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA，

又PA⋂AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，

由(1)知EF/​/BC，所以EF⊥平面PAC，又EF⊂平面EFA，

所以平面EFA⊥平面PAC．

17.解：(1)动直线3(m+1)x+(m−1)y−6m−2=0，

整理得直线方程为(3x+y−6)m+3x−y−2=0，

联立方程组3x+y−6=03x−y−2=0，得x=43y=2，

即直线恒过定点，定点P的坐标为(43,2)；

(2)设直线方程为xa+yb=1,(a>0,b>0)，则ab=12①，

由直线恒过定点P(43,2)，得43a+2b=1②，

由①②整理得：a2−6a+8=0，解得a=4，b=3或a=2，b=6，

所以直线方程为：x18.(1)证：连接AB1，如图所示：

因为M，N分别为AB，BB1的中点，所以MN/​/AB1，

因为△ABC是正三角形，所以CM⊥AB，

又A1A⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，所以CM⊥A1A，

又A1A∩AB=A，A1A，AB⊂平面A1ABB1，所以CM⊥平面A1ABB1，

又因为B1B⊂平面A1ABB1，所以CM⊥B1B，

易得AB1=B1B=22，所以AB2=AB12+B1B2，所以AB1⊥B1B，

又因为AB1/​/MN，所以MN⊥BB1，因为MN∩CM=M，MN，CM⊂平面MCN，

所以B1B⊥平面MCN；19.解：(1)∵在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，

∴PD⊥底面ABCD，∴易得DA，DC，DP两两相互垂直，

∴易得BC⊥平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC，

又DP=DA=4，E为AD上一点，

且|AD×BP|=85，AD//BC，AD=BC=4，

∴|AD×BP|=BC×BP×sin∠PBC=4×BP×PCBP=4PC=85，

∴PC=25，又DP=4，PD⊥DC，

∴AB=DC=PC2−DP2=20−16=2；

(2)若E为AD的中点，分别延长BE，CD交点F，

∵PD⊥底面ABCD，过D作DH⊥BF于点H，连接PH，

则由PD⊥BF，DH⊥BF，PD∩DH=D，

可得BF⊥平面PDH，故PH⊥BF，

则由二面角的平面角的定义，

可得∠PHD为二面角P−EB−A的补角，

又DP=DA=4，底面ABCD为矩形，

且由(1)知AB=DC=2，

∴△DEF为