2024-2025学年高中数学第三章概率3.2.1古典概型的特征和概率计算公式课时素养评价含解析北师大版必修3

PAGE课时素养评价十九古典概型的特征和概率计算公式(20分钟·35分)1.下列是古典概型的是 ()A.随意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本领件B.求随意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本领件C.从甲地到乙地共n条路途,求某人正好选中最短路途的概率D.抛掷一枚匀称硬币首次出现正面为止【解析】选C.A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的基本领件是无限的,故B不是;C项中满意古典概型的有限性和等可能性,故C是;D项中基本领件既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.2.某部三册的小说,随意排放在书架的同一层上,则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.全部基本领件为:123,132,213,231,312,321.其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含2个基本领件,所以P=QUOTE=QUOTE.3.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于其次张卡片上的数的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.依题意,记两次抽得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满意a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为QUOTE=QUOTE.4.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是________.

【解析】由题意得,a,b有(2,3),(2,8),(2,9),(3,8),(3,9),(8,9),(3,2),(8,2),(9,2),(8,3),(9,3),(9,8),共12种取法.若满意logab为整数,则仅有a=2,b=8和a=3,b=9两种状况,所以logab为整数的概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE5.下列随机事务:①某射手射击一次,可能命中0环,1环,2环,…,10环;②一个小组有男生5人,女生3人,从中任选1人进行活动汇报;③一只运用中的灯泡寿命长短;④抛出一枚质地匀称的硬币,视察其出现正面或反面的状况;⑤中秋节前夕,某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量,给该品牌月饼评“优”或“差”.这些事务中,属于古典概型的有________.

【解析】题号推断缘由分析①不属于命中0环,1环,2环,…,10环的概率不肯定相同②属于任选1人与学生的性别无关,仍是等可能的③不属于灯泡的寿命是任何一个非负实数,有无限多种可能④属于该试验结果只有“正”“反”两种,且机会均等⑤不属于该品牌月饼评“优”与“差”的概率不肯定相同答案:②④6.某商场实行有奖促销活动,顾客购买肯定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖(全部的球除颜色外都相同).(1)用球的标号列出全部可能的摸出结果;(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.【解析】(1)全部可能的摸出结果是(A1,a1),(A1,a2),(A1,b1),(A1,b2),(A2,a1),(A2,a2),(A2,b1),(A2,b2),(B,a1),(B,a2),(B,b1),(B,b2).(2)不正确.理由如下:由(1)知,全部可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为(A1,a1),(A1,a2),(A2,a1),(A2,a2),共4种,所以中奖的概率为QUOTE=QUOTE,不中奖的概率为1-QUOTE=QUOTE>QUOTE.故这种说法不正确.(30分钟·60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.一个袋子中装有编号分别为1,2,3,4的4个小球,现有放回地摸球,规定每次只能摸一个球,若第一次摸到的球的编号为x,其次次摸到的球的编号为y,构成数对(x,y),则全部数对(x,y)中满意xy=4的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.由题意可知两次摸球得到的全部数对(x,y)有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个,其中满意xy=4的数对有(1,4),(2,2),(4,1),共3个.故所求事务的概率为QUOTE.2.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金”,从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相克的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.从五种不同属性的物质中随机抽取两种,出现的状况有:(金,木),(金,水),(金,火),(金,土),(木,水),(木,火),(木,土),(水,火),(水,土),(火,土)共10种等可能状况,其中金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,即相克的有5种,则不相克的也是5种,所以抽取的两种物质不相克的概率为QUOTE.3.袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选B.袋中的1个红球、2个白球和3个黑球分别记为a,b1,b2,c1,c2,c3.从袋中任取两球有{a,b1},{a,b2},{a,c1},{a,c2},{a,c3},{b1,b2},{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},{c1,c2},{c1,c3},{c2,c3},共15个基本领件.其中满意两球颜色为一白一黑的有{b1,c1},{b1,c2},{b1,c3},{b2,c1},{b2,c2},{b2,c3},共6个基本领件.所以所求事务的概率为QUOTE=QUOTE.4.甲、乙两人玩猜数字嬉戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,且a,b∈{1,2,3,4},若|a-b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”.现随意找两人玩这个嬉戏,得出他们“心有灵犀”的概率为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.甲、乙所猜数字的状况有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共16种状况,其中满意|a-b|≤1的状况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4)共10种状况,故所求概率为QUOTE=QUOTE.5.在5瓶饮料中,有2瓶已过了保质期,从中任取2瓶,取到的全是已过保质期的饮料的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.设过保质期的2瓶记为a,b,没过保质期的3瓶用1,2,3表示,试验的结果为:(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共10种结果,2瓶都过保质期的结果只有1个,所以P=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共15分)6.甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率为________.

【解析】基本领件为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,共6个,其中甲站在中间的为乙甲丙、丙甲乙,共2个,所以甲站在中间的概率为QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.某汽车站每天均有3辆开往省城的分上、中、下等级的客车.某天王先生打算在该汽车站乘车去省城办事,但他不知道客车的车况,也不知道发车依次.为了尽可能乘上上等车,他实行如下策略:先不上第一辆,假如其次辆比第一辆好则上其次辆,否则上第三辆,那么他乘上上等车的概率为________.

【解析】共有6种发车依次:①上、中、下;②上、下、中;③中、上、下;④中、下、上;⑤下、中、上;⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车),所以他乘上上等车的概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.

【解析】2本不同的数学书用a1,a2表示,语文书用b表示,则共有(a1,a2,b),(a1,b,a2),(a2,a1,b),(a2,b,a1),(b,a1,a2),(b,a2,a1)6种不同的排法.其中两本数学书相邻的状况有4种,故所求概率P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.甲、乙两人参与法律学问竞答,共有10道不同的题目,其中选择题6道,推断题4道,甲、乙两人依次各抽一道题.(1)甲抽到选择题,乙抽到推断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少?【解析】甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题,先抽的有10种抽法,后抽的有9种抽法,故全部可能的抽法是10×9=90种,即基本领件总数是90.(1)记“甲抽到选择题,乙抽到推断题”为事务A,下面求事务A包含的基本领件数:甲抽到选择题有6种抽法,乙抽到推断题有4种抽法,所以事务A的基本领件数为6×4=24.P(A)=QUOTE=QUOTE.(2)先考虑问题的对立面:“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事务是“甲、乙两人都未抽到选择题”,即都抽到推断题.记“甲、乙两人都抽到推断题”为事务B,“至少一个人抽到选择题”为事务C,则B包含的基本领件数为4×3=12.所以由古典概型概率公式得P(B)=QUOTE=QUOTE,所以P(C)=1-P(B)=1-QUOTE=QUOTE.10.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参与活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.嘉奖规则如下:①若xy≤3,则嘉奖玩具一个;②若xy≥8,则嘉奖水杯一个;③其余状况嘉奖饮料一瓶.假设转盘质地匀称,四个区域划分匀称.小亮打算参与此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.【解析】用数对(x,y)表示儿童参与活动先后记录的数,则基本领件空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本领件总数n=16.(1)记“xy≤3”为事务A,则事务A包含的基本领件数共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1).所以P(A)=QUOTE,即小亮获得玩具的概率为QUOTE.(2)记“xy≥8”为事务B,“3<xy<8”为事务C.则事务B包含的基本领件数共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)=QUOTE=QUOTE.事务C包含的基本领件数共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)=QUOTE.因为QUOTE>QUOTE,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.1.连续抛掷质地匀称的骰子两次,得到的点数分别记为a和b,则使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切的概率为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.连续抛掷质地匀称的骰子两次的全部试验结果有36种,要使直线3x-4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=4相切,则应满意QUOTE=2,即满意|3a-4b|=10,符合题意的(a,b)有(6,2),(2,4),一共2个.所以由古典概型得所求概率为QUOTE=QUOTE.2.甲、乙两人玩一种嬉戏,每次由甲、乙各出1到5根手指头,若和为偶数则甲赢,否则乙赢.(1)若以A表示事务“和为6”,求P(A);(2)若以B表示事务“和大于4而小于9”,求P(B);(3)这种嬉戏公允吗?试说明理由.【解析】将全部可能状况列表如下:甲乙123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)由上表可知,该试验共包括25个等可能发生的