2024-2025学年新教材高中数学第七章统计案例2成对数据的线性相关性学案北师大版选择性必修第一册

PAGE§2成对数据的线性相关性必备学问·自主学习导思1.什么叫样本的线性相关系数？2．相关系数的大小与线性相关之间有怎样的联系？相关系数一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝，称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数．为了计算便利，我们再给出如下式子：r＝．相关系数有哪些性质？提示：1.样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1，1].2．|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱．3．当r>0时，两个随机变量的值总体上改变趋势相同，此时两个随机变量正相关；当r<0时，两个随机变量的值总体上改变趋势相反，此时两个随机变量负相关；当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)求线性回来方程前可以不进行相关性检验．()(2)相关系数为0时，两个变量的相关性最强．()(3)相关系数的取值范围为[0，1].()提示：(1)×.因为假如两个变量之间不具有线性相关关系，就不用求线性回来方程了，求出的回来直线方程当然也不能很好地反映两变量之间的关系．(2)×.当相关系数r＝0时，两个随机变量不线性相关．(3)×.相关系数r的取值范围为[－1，1].2．为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性的强弱，小郑分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，其数值分别为0.939，0.937，0.948，则()A．甲组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱B．乙组数据的线性相关性最强，丙组数据的线性相关性最弱C．丙组数据的线性相关性最强，甲组数据的线性相关性最弱D．丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱【解析】选D.因为线性相关系数的肯定值越大，则线性相关性越强，所以丙组数据的线性相关性最强，乙组数据的线性相关性最弱．3．已知数据点(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)在一条直线上，则相关系数r＝________．【解析】由题意知，相关系数r＝±1.答案：±1

关键实力·合作学习类型一相关关系的推断(逻辑推理)1.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若全部样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1B．0C．eq\f(1,2)D．12．(2024·西安高二检测)变量y与x的回来模型中，它们对应的相关系数r的值如下，其中拟合效果最好的模型是()模型1234r0.480.150.960.30A.模型1 B．模型2C．模型3 D．模型43．变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)；变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1).r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则()A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1【解析】1.选D.全部点均在直线y＝eq\f(1,2)x＋1上且斜率大于0，则样本相关系数为1.2．选C.线性回来分析中，相关系数为r，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近于1，相关程度越大；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越小，相关程度越小，因为模型3的|r|最大，所以模拟效果最好．3．选C.对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X呈正相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，故V与U呈负相关，即r2＜0.判定两个变量正、负相关性的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关．(3)线性回来方程中：当>0时，正相关；当<0时，负相关．类型二相关系数的综合应用(数学运算)【典例】(2024·南昌高二检测)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的宠爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，如表是某购物网站2024年1－8月促销费用(万元)和产品销量(万件)的详细数据：月份12345678促销费用x2361013211518产品销量y11233.5544.5(1)依据数据绘制的散点图能够看出可用线性回来模型y与x的关系，请用相关系数r加以说明(系数精确到0.001)；(2)建立y关于x的线性回来方程＝x＋(系数精确到0.001)；假如该公司安排在9月份实现产品销量超6万件，预料至少须要投入促销费用多少万元(结果精确到0.01).参考数据：QUOTE=74.5，QUOTE=340，QUOTE=16.5，QUOTE≈18.44，QUOTE≈4.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i=1，2，3，…，8.参考公式：①样本QUOTE(i=1，2，…，n)相关系数r=QUOTE；②对于一组数据QUOTE，QUOTE，…，QUOTE，其回来方程=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为=QUOTE，=QUOTE-QUOTE.【思路导引】(1)依据数据绘制散点图，从散点图看出这些点是否大致分布在一条直线旁边即可；计算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，求出相关系数，推断两变量线性相关性的强弱；(2)计算求出回来方程，利用方程求出对应x的取值范围即可．【解析】(1)依据数据绘制散点图如图，从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，并且在逐步上升，所以可用线性回来模型拟合y与x的关系；计算eq\x\to(x)＝eq\f(1,8)×(2＋3＋6＋10＋13＋21＋15＋18)＝11，eq\x\to(y)＝eq\f(1,8)×(1＋1＋2＋3＋3.5＋5＋4＋4.5)＝3，所以相关系数r＝＝eq\f(74.5,\r(340)×\r(16.5))＝eq\f(74.5,18.44×4.06)≈0.995，因为相关系数的值接近于1，所以变量y与x的线性相关性很强；(2)计算＝＝eq\f(74.5,340)≈0.219，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝3－0.219×11＝0.591，所以y关于x的回来方程为＝0.219x＋0.591.令＝0.219x＋0.591≥6，解得x≥24.70，即实现产品销量超6万件，预料至少须要投入促销费用24.70万元．线性回来分析的关注点(1)回来直线＝x＋必过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).(2)正确运用计算，的公式和精确地计算，是求线性回来方程的关键．(3)分析两变量的相关关系，可由散点图或相关系数公式作出推断，若具有线性相关关系，则可通过线性回来方程估计和预料变量的值．(2024·成都高二检测)某中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获得他们本次考试的数学成果(x)和物理成果(y)，绘制成如图散点图：依据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异样点A，B.经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参与物理考试．为了使分析结果更科学精确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：QUOTExi=4620，QUOTEyi=3108，QUOTExiyi=350350，QUOTE=16940，QUOTE=5250，其中xi，yi分别表示这42名同学的数学成果、物理成果，i＝1，2，3，…，42，y与x的相关系数r＝0.82.(1)若不剔除A，B两名考生的数据，用44组数据作回来分析，设此时y与x的相关系数为r0.试推断r0与r的大小关系(不必说理由)；(2)求y关于x的线性回来方程，并估计假如B考生参与了这次物理考试(已知B考生的数学成果为125分)，物理成果是多少？附：回来方程=+x中=QUOTE=QUOTE，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x).【解析】(1)由题意y与x成正相关关系，异样点A，B会降低变量之间的线性相关程度，所以r0<r；(2)由题中数据可得QUOTE=QUOTExi=110，QUOTE=QUOTEyi=74，所以QUOTE=QUOTExiyi-42eq\x\to(x)·eq\x\to(y)＝350350－42×110×74＝8470.又因为＝16940，所以＝＝eq\f(8470,16940)＝0.5，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)＝74－0.5×110＝19，所以＝0.5x＋19，将x＝125代入，得y＝81.5，所以估计B同学的物理成果为81.5分．课堂检测·素养达标1．在一组数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若这组样本数据的相关系数为－1，则全部的样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)满意的方程可以是()A．y＝－eq\f(1,2)x＋1 B．y＝x－1C．y＝x＋1 D．y＝－x2【解析】选A.若这组样本数据的相关系数为－1，则样本数据为线性相关，解除D，又相关系数为－1，所以样本数据为负相关，解除B，C(B，C为正相关).2．对于相关系数r，下列描述正确的是()A．r>0表明两个变量线性相关性很强B．r<0表明两个变量无关C．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近1，表明两个变量线性相关性越强D．r越小，表明两个变量线性相关性越弱【解析】选C.相关系数r为正，两个变量呈正相关，r为负，两个变量呈负相关；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近1，表明两个变量线性相关性越强；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r))越接近0，表明两个变量线性相关性越弱，所以只有C正确．3．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为()A.1B．－0.5C．0D．0.5【解析】选C.依据变量x，y的散点图，得x，y之间的样本相关关系特别不明显，所以相关系数r最接近的值应为0.4．第一组样本点为(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，(－3，－4.8)，(－2，－3.3)，(－1，－0.9)，其次组样本点为(1，8.9)，(2，7.2)，(3，4.8)，(4，3.3)，(5，0.9)，第一组变量的线性相关系数为r1，其次组变量的线性相关系数为r2，则()A．r1＞0＞r2 B．r2＞0＞r1C．r1＜r2＜0 D．r2＞r1＞0【解析】选A.依据题意，第一组样本点为(－5，－8.9)，(－4，－7.2)，(－3，－4.8