2025版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八讲函数的图象学案含解析新人教版

PAGE第八讲函数的图象学问梳理·双基自测eq\x(知)eq\x(识)eq\x(梳)eq\x(理)学问点函数的图象1．利用描点法作函数图象的流程2．平移变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，__右移__a个单位),\s\do5(a<0，__左移__|a|个单位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，__上移__b个单位),\s\do5(b<0，__下移__|b|个单位))y＝f(x)＋b.3．伸缩变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up12(0<ω<1，图象上全部点的纵坐标不变，横坐标__伸长__为原来的eq\f(1,ω)倍),\s\do10(ω>1，图象上全部点的纵坐标不变，横坐标__缩短__为原来的__eq\f(1,ω)__倍))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，图象上全部点的横坐标不变，纵坐标__伸长__为原来的A倍),\s\do5(0<A<1，图象上全部点的横坐标不变，纵坐标__缩短__为原来的__A__倍))y＝Af(x)．4．对称变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝__－f(x)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝__f(－x)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝__－f(－x)__.5．翻折变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边))y＝__f(|x|)__；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(留下x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝__|f(x)|__.eq\x(归)eq\x(纳)eq\x(拓)eq\x(展)1．函数对称的重要结论(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线__x＝m__对称．(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图象关于直线__x＝m__对称．(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对随意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝eq\f(b－a,2)对称．(5)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．(6)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要留意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要留意加减指的是函数值．eq\x(双)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(测)题组一走出误区1．推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝f(x＋1)是由y＝f(2x)左移1个单位得到．(×)(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．(×)(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(×)(4)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(×)(5)若函数y＝f(x＋2)是偶函数，则有f(x＋2)＝f(－x－2)．(×)(6)若函数y＝f(x)满意f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(×)题组二走进教材2．(必修1P73T1改编)函数y＝logax与函数y＝eqlog\s\do8(\f(1,a))x的图象关于__x轴__对称；函数y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于__y轴__对称；函数y＝log2x与函数y＝2x的图象关于__y＝x__对称．3．(必修4P55T2(1)改编)为了得到函数f(x)＝log2x的图象，只需将函数g(x)＝log2eq\f(x,8)的图象向__上__平移3个单位．将函数f(x)＝log2x左移2个单位得到解析式为y＝__log2(x＋2)__.4．(必修1P36T2改编)已知图甲中的图象对应的函数y＝f(x)，则图乙中的图象对应的函数在下列给出的四式中只可能是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)[解析]由图可知当x≤0时，y＝f(x)，故选C．题组三走向高考5．(2024·浙江，4)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是(A)[解析]本题考查函数图象的识别．设f(x)＝xcosx＋sinx，f(x)的定义域为R.因为f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，解除选项C，D．又f(π)＝πcosπ＋sinπ＝－π<0，解除选项B，故选A．6．(2015·北京，7,5分)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(C)A．{x|－1<x≤0} B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1} D．{x|－1<x≤2}[解析]作出函数y＝log2(x＋1)的图象，如图所示：其中函数f(x)与y＝log2(x＋1)的图象的交点为D(1,1)，结合图象可知f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C．考点突破·互动探究考点函数的图象考向1作函数的图象——自主练透例1作出下列函数的图象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|；(2)y＝|x－2|·(x＋1)；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝|log2(x＋1)|.[分析](1)先由函数的奇偶性画出y轴右侧图象，再画左侧；(2)先对肯定值分类探讨，将原函数化成分段函数的形式，再分段作图即可；(3)先化简解析式，分别常数，再利用图象变换画出图象；(4)将y＝log2x的图象向左平移1个单位→y＝log2(x＋1)的图象→将y＝log2(x＋1)的图象位于x轴下方的部分向上翻折→y＝|log2(x＋1)|的图象．[解析](1)先作出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，保留函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，再作出函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，如图实线部分．(2)先化简，再作图．y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥2，,－x2＋x＋2，x<2，))图象如图实线所示．(3)∵y＝eq\f(2x－1,x－1)＝eq\f(2x－1＋1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，∴其图象可由y＝eq\f(1,x)的图象沿x轴向右平移1个单位，再沿y轴向上平移2个单位得到，其图象如图所示．(4)利用函数y＝log2x的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．名师点拨函数图象的画法(1)干脆法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟识的基本函数时，就可依据这些函数的特征描出图象的关键点干脆作出．(2)转化法：含有肯定值符号的函数，可脱掉肯定值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出．注：y＝eq\f(ax＋b,cx＋d)(c≠0)的图象是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(d,c)，\f(a,c)))为对称中心以直线x＝－eq\f(d,c)，y＝eq\f(a,c)为渐近线的双曲线．易错提示：(1)画函数的图象肯定要留意定义域．(2)利用图象变换法时要留意变换依次，对不能干脆找到熟识的基本函数的要先变形，并应留意平移变换与伸缩变换的依次对变换单位及解析式的影响．考向2识图与辨图——师生共研例2(1)(2024·课标Ⅰ，5,5分)函数f(x)＝eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)在[－π，π]的图象大致为(D)(2)下图可能是下列哪个函数的图象(C)A．y＝2x－x2－1 B．y＝eq\f(2xsinx,4x＋1)C．y＝(x2－2x)ex D．y＝eq\f(x,lnx)(3)(2024·荆州质检)若函数y＝f(x)的曲线如图所示，则函数y＝f(2－x)的曲线是(C)[解析](1)∵f(－x)＝eq\f(sin－x－x,cos－x＋－x2)＝－eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．又∵f(π)＝eq\f(sinπ＋π,cosπ＋π2)＝eq\f(π,－1＋π2)>0，∴选D．(2)函数图象过原点，所以D解除；当x>0起先时函数值是负数，而B项原点右侧起先时函数值为正数，所以B解除；当x<0时，2x<1，∴2x－x2－1<0，所以A解除；而C都满意，故选C．(3)解法一：先关于y轴对称，得到y＝f(－x)的图象，再向右平移两个单位，即可得到y＝f[－(x－2)]＝f(2－x)的图象．所以答案为C．(留意，左右平移是针对字母x改变，上下平移是针对整个式子改变)．解法二：由f(0)＝0知y＝f(2－x)的图象过点(2,0)，解除B、D．又f(1)＝f(2－1)>0即y＝f(2－x)在x＝1处的函数值大于0，解除A，故选C．名师点拨函数图象的识辨可从以下几方面入手(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，推断图象的改变趋势．(3)从函数的奇偶性，推断图象的对称性．(4)从函数的周期性，推断图象的循环往复．(5)从函数的特征点，解除不合要求的图象．〔变式训练1〕(1)(2024·课标Ⅲ，7,5分)函数y＝eq\f(2x3,2x＋2－x)在[－6,6]的图象大致为(B)(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是(C)A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)(3)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1，,eqlog\s\do8(\f(1,3))xx>1))则函数y＝f(1－x)的大致图象是(D)[解析](1)设f(x)＝eq\f(2x3,2x＋2－x)(x∈[－6,6])，则f(－x)＝eq\f(2－x3,2－x＋2x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，解除选项C；当x＝－1时，f(－1)＝－eq\f(4,5)<0，解除选项D；当x＝4时，f(4)＝eq\f(128,16＋\f(1,16))≈7.97，解除选项A．故选B．(2)题图中是函数y＝－2－|x|的图象，即函数y＝－f(－|x|)的图象，故选C．(3)解法一：先画出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3xx≤1，,eqlog\s\do8(\f(1,3))xx>1))的草图，令函数f(x)的图象关于y轴对称，得函数f(－x)的图象，再把所得的函数y＝f(－x)的图象，向右平移1个单位，得到函数y＝f(1－x)的图象，故选D．解法二：由已知函数f(x)的解析式，得y＝f(1－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(31－xx≥0，,eqlog\s\do8(\f(1,3))1－xx<0，))故该函数图象过点(0,3)，解除A；过点(1,1)，解除B；在(－∞，0)上单调递增，解除C．选D．考向3函数图象的应用——多维探究角度1函数图象的对称性例3(1)(2024·课标全国Ⅲ，7)下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是(B)A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)(2)已知函数f(2x＋1)是奇函数，则函数y＝f(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称？(C)A．(1,0) B．(－1,0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[解析](1)本题考查函数图象的对称性．解法一：y＝lnx图象上的点P(1,0)关于直线x＝1的对称点是它本身，则点P在y＝lnx图象关于直线x＝1对称的图象上，结合选项可知，B正确．故选B．解法二：设Q(x，y)是所求函数图象上任一点，则其关于直线x＝1的对称点P(2－x，y)在函数y＝lnx图象上．∴y＝ln(2－x)．故选B．(2)f(2x＋1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x＋1)的图象向右平移eq\f(1,2)个单位得到的，故关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))成中心对称．[小题巧解]用特别点的对称性解决函数图象的对称性问题．角度2利用函数图象探讨函数性质例4已知函数f(x)＝eq\f(2x,x－1)，则下列结论正确的是(B)A．函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称B．函数f(x)在(－∞，1)上是减函数C．函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB∥x轴D．函数f(x)的图象关于直线x＝1对称[解析]因为y＝eq\f(2x,x－1)＝eq\f(2x－1＋2,x－1)＝eq\f(2,x－1)＋2.所以该函数图象可以由y＝eq\f(2,x)的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称，在(－∞，1)上为减函数，B正确，A、D错误；易知函数f(x)的图象是由y＝eq\f(2,x)的图象平移得到的，所以不存在两点A，B使得直线AB∥x轴，C错误．故选B．角度3利用函数图象探讨不等式例5设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式eq\f(fx－f－x,x)<0的解集为(D)A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)[解析]f(x)为奇函数，eq\f(fx－f－x,x)<0⇔eq\f(fx,x)<0⇔xf(x)<0，由题意可知f(x)的大致图象如图所示，所以所求不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．[引申]若将“奇函数f(x)”改为“偶函数f(x)”，不等式eq\f(fx＋f－x,x)<0的解集为__(－∞，－1)∪(0,1)__.名师点拨(1)利用函数的图象探讨函数的性质对于已知解析式，易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象探讨：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．(2)利用函数的图象探讨不等式思路当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)的图象与f(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x)的解析式为__g(x)＝－ln(x－1)__.(2)(角度1)设函数y＝f(x)的定义域为实数集R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于(D)A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称(3)(角度2)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，则下列说法不正确的是(C)A．f(x＋2)是偶函数B．f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数C．f(x)没有最小值D．f(x)没有最大值(4)(角度3)函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集为__eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))__.[解析](1)设P(x，y)为函数y＝g(x)上随意一点，则点P(x，y)关于点(1,0)的对称点Q(2－x，－y)在函数y＝f(x)图象上，即－y＝f(2－x)＝ln(x－1)，所以y＝－ln(x－1)，所以g(x)＝－ln(x－1)．(2)解法一：设t＝x－1，则y＝f(t)与y＝f(－t)，关于t＝0对称，即关于x＝1对称．故选D．解法二：y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象分别由y＝f(x)与y＝f(－x)的图象同时向右平移一个单位而得，又y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．故选D．(3)对于A，f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函数；对于B，当x∈(－∞，2)时，f(x)＝lg(3－x)是减函数，当x∈(2，＋∞)时，f(x)＝lg(x－1)是增函数；对于C，f(x)＝lg(|x－2|＋1)≥0有最小值0；对于D，没有最大值．故选C．(4)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上，y＝cosx>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，4))上，y＝cosx<0.由f(x)的图象知，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))上，eq\f(fx,cosx)<0.因为f(x)为偶函数，y＝cosx也是偶函数，所以y＝