专题15 计数原理（解析版）

高三模拟试题高三模拟试题PAGE2PAGE1专题15计数原理一、单选题1．（2023·山东菏泽·统考一模）为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（

）A．9种 B．11种 C．15种 D．30种〖答案〗C〖祥解〗利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种数.〖详析〗解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C3若丙不是美工，则丙一定是总负责人，此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C3综上，共有12+3=15种分工方法，故选：C．2．（2023·山东淄博·统考一模）某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（

）ABCDEFGHA．168 B．336 C．338 D．84〖答案〗B〖祥解〗根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得〖答案〗.〖详析〗第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有4×3×2=24种，第二步：排女生，若男生选AF，则女生有BE,BG,BH,CE,根据分步计数原理，共有24×14=336种，故选：B3．（2023·山东潍坊·统考一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种〖答案〗B〖祥解〗根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.〖详析〗①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有A3此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有C21种选择，超重耐力在第四、第五天有C21种选择，剩下两种测试全排列此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有C21种选择，超重耐力在第一、第五天有C21种选择，剩下两种测试全排列故选拔测试的安排方案有6×2+8×2+8=36种.故选：B.4．（2023·湖南长沙·统考一模）1x-21-2xA．-4 B．-6C．-8 D．〖答案〗D〖祥解〗先求出1-2x4〖详析〗1-2x4展开式的通项公式为所以1xC4故选：D5．（2023·广东梅州·统考一模）若从0，1，2，3，…9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为（

）A．112 B．16 C．13〖答案〗D〖祥解〗先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，利用古典概型概率求解.〖详析〗10不同的数取3个不同的数的情况为：C10其中3个之和为偶数的情况为：①三个为偶数：C5②两奇数一偶数：C5共60种情况，所以所求概率为：60120故选：D.6．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（

）A．480种 B．240种 C．15种 D．10种〖答案〗D〖祥解〗将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.〖详析〗解：将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有C5故2个8不相邻的情况有10种.故选：D7．（2023·广东深圳·统考一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（

）A．15 B．310 C．325〖答案〗D〖祥解〗5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出〖答案〗.〖详析〗5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有C5当分为2,2,1人时，有C5即共有60+90=150种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有C3故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36150故选：D.8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（

）A．36 B．81 C．120 D．180〖答案〗D〖祥解〗先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.〖详析〗先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有C5再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有C4所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有C51故选：D.9．（2023·重庆·统考一模）某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（

）A．110 B．15 C．25〖答案〗B〖祥解〗先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.〖详析〗15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为C7故选：B二、多选题10．（2023·湖南岳阳·统考一模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（

）A．四名同学的报名情况共有34B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是14D．P〖答案〗ACD〖祥解〗根据分步乘法计数原理可求得四名同学的报名情况的种数，判断A;根据古典概型的概率公式可判断B,C；根据条件概率的概率公式，可判断D.〖详析〗由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，则共有3×3×3×3=34种，“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有C42C“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，故共有C3则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是4234=事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，有C42则P(A事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，若A,B同时发生，即恰有则有C32A故P(B|A故选：ACD三、填空题11．（2023·福建·统考一模）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．〖答案〗348〖祥解〗根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.〖详析〗由题意，根据选出的女生人数进行分类，第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有A32种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有C21，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有A22种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有C21C21，剩下的一个角色从2第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有C31C21，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2由分类计数原理可得：店主共有144+180+24=348种选择方式，故〖答案〗为：348.12．（2023·山东临沂·统考一模）x2+12x-〖答案〗-100〖祥解〗求出2x-1x〖详析〗2x-1令6-2k=0，则k=3，令6-2所以常数项为-2故〖答案〗为：-100.13．（2023·山东威海·统考一模）在(x+a)6的展开式中的x3系数为160，则a=〖答案〗2〖解析〗首先求出(x+a)6的展开项中x3的系数，然后根据x〖详析〗由题知Tr当r=3时有T解得a=2故〖答案〗为：2.〖『点石成金』〗本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.14．（2023·山东日照·统考一模）在1-x5的展开式中,x2〖答案〗10〖解析〗根据二项展开式的通项，赋值即可求出．〖详析〗1-x5的展开式通项为Tr+1=C5故〖答案〗为：10．〖『点石成金』〗本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．15．（2023·湖南邵阳·统考一模）x-2y3y-2z5z-2x7〖答案〗128〖祥解〗对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得z项幂次为0，确定项数后即可得到〖答案〗.〖详析〗x-2y3y-2z5z-2x7利用二项展开式的通项公式进行展开，设x展开后得C3kx3-k-2yk·C5ny5-n-2zn代入展开式得C3kC50C7故〖答案〗为：12816．（2023·广东梅州·统考一模）1+x(2-x)5展开式中x〖答案〗40〖祥解〗易知展开式中x3项的系数是由两部分组成，分别求出再相加即可得出结果〖详析〗根据题意可知，展开式中含x3的项为1×C5所以展开式中x3的系数为-40+80=40故〖答案〗为：4017．（2023·广东茂名·统考一模）x+1x8的展开式中x2〖答案〗56〖祥解〗根据二项展开式的通项公式求解即可.〖详析〗Tr令8-2r=2，解得r=3故x+1x8故〖答案〗为：5618．（2023·广东深圳·统考一模）1-x5的展开式中x3的系数为〖答案〗－10〖祥解〗利用二项展开式的通项公式求解.〖详析〗解：1-x5的展开式的通项公式为令r=3则1-x5的展开式中x3故〖答案〗为：-1019．（2023·广东佛山·统考一模）在(x-1〖答案〗15〖祥解〗利用二项展开式的通项公式计算可得.〖详析〗解：Tk+1=C6k故〖答案〗为：15.20．（2023·重庆·统考一模）1-xy(x+y)7的展开式中〖答案〗6〖祥解〗根据二项式定理求出含xy6的项,〖详析〗二项式(x+y当r=6时,T当r=7时,T所以含xy6的项为7x故〖答案〗为：6.21．（2023·重庆·统考一模）2x-〖答案〗-5376〖祥解〗利用二项式定理即可得解.〖详析〗因为2x-1当9-3k2=0，即k此时T4故〖答案〗为：-5376.高三模拟试题高三模拟试题PAGE2PAGE1专题15计数原理一、单选题1．（2023·山东菏泽·统考一模）为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（

）A．9种 B．11种 C．15种 D．30种〖答案〗C〖祥解〗利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种数.〖详析〗解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工，然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有C3若丙不是美工，则丙一定是总负责人，此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有C3综上，共有12+3=15种分工方法，故选：C．2．（2023·山东淄博·统考一模）某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（

）ABCDEFGHA．168 B．336 C．338 D．84〖答案〗B〖祥解〗根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得〖答案〗.〖详析〗第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有4×3×2=24种，第二步：排女生，若男生选AF，则女生有BE,BG,BH,CE,根据分步计数原理，共有24×14=336种，故选：B3．（2023·山东潍坊·统考一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（

）A．24种 B．36种 C．48种 D．60种〖答案〗B〖祥解〗根据特殊元素“失重飞行”进行位置分类方法计算，结合排列组合等计数方法，即可求得总的测试的安排方案种数.〖详析〗①若失重飞行安排在第一天则前庭功能安排第二天，则后面三天安排其他三项测试有A3此情况跟失重飞行安排在第五天则前庭功能安排第四天安排方案种数相同；②若失重飞行安排在第二天，则前庭功能有C21种选择，超重耐力在第四、第五天有C21种选择，剩下两种测试全排列此情况与失重飞行安排在第四天方安排方案种数相同；③若失重飞行安排在第三天，则前庭功能有C21种选择，超重耐力在第一、第五天有C21种选择，剩下两种测试全排列故选拔测试的安排方案有6×2+8×2+8=36种.故选：B.4．（2023·湖南长沙·统考一模）1x-21-2xA．-4 B．-6C．-8 D．〖答案〗D〖祥解〗先求出1-2x4〖详析〗1-2x4展开式的通项公式为所以1xC4故选：D5．（2023·广东梅州·统考一模）若从0，1，2，3，…9这10个整数中同时取3个不同的数，则其和为偶数的概率为（

）A．112 B．16 C．13〖答案〗D〖祥解〗先求出基本事件总数，再求出满足条件的事件数，利用古典概型概率求解.〖详析〗10不同的数取3个不同的数的情况为：C10其中3个之和为偶数的情况为：①三个为偶数：C5②两奇数一偶数：C5共60种情况，所以所求概率为：60120故选：D.6．（2023·广东茂名·统考一模）将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（

）A．480种 B．240种 C．15种 D．10种〖答案〗D〖祥解〗将2个8插空放入不相邻的5个空位，即可得解.〖详析〗解：将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有C5故2个8不相邻的情况有10种.故选：D7．（2023·广东深圳·统考一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（

）A．15 B．310 C．325〖答案〗D〖祥解〗5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出〖答案〗.〖详析〗5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有C5当分为2,2,1人时，有C5即共有60+90=150种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有C3故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36150故选：D.8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（

）A．36 B．81 C．120 D．180〖答案〗D〖祥解〗先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，最后根据分步乘法原理求解即可.〖详析〗先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有C5再将剩下的4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有C4所以，根据分步乘法原理，不同的安排方案有C51故选：D.9．（2023·重庆·统考一模）某人有1990年北京亚运会吉祥物“盼盼”，2008年北京奥运会吉祥物“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”“妮妮”，2010年广州亚运会吉祥物“阿样”“阿和”“阿如”“阿意”“乐羊羊”，2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，2022年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”，若他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率是（

）A．110 B．15 C．25〖答案〗B〖祥解〗先得到15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，再根据组合知识计算出相应的概率.〖详析〗15个吉祥物中，来自北京举办的运动会的有7个，他从这15个吉祥物中随机取出两个，这两个吉祥物都是来自在北京举办的运动会的概率为C7故选：B二、多选题10．（2023·湖南岳阳·统考一模）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（

）A．四名同学的报名情况共有34B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是14D．P〖答案〗ACD〖祥解〗根据分步乘法计数原理可求得四名同学的报名情况的种数，判断A;根据古典概型的概率公式可判断B,C；根据条件概率的概率公式，可判断D.〖详析〗由题意甲、乙、丙、丁四名同学每人都要报名且限报一项，每人都有3种选择，则共有3×3×3×3=34种，“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有C42C“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，故共有C3则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是4234=事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，有C42则P(A事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，若A,B同时发生，即恰有则有C32A故P(B|A故选：ACD三、填空题11．（2023·福建·统考一模）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．〖答案〗348〖祥解〗根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.〖详析〗由题意，根据选出的女生人数进行分类，第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有A32种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有C21，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有A22种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有C21C21，剩下的一个角色从2第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有C31C21，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2由分类计数原理可得：店主共有144+180+24=348种选择方式，故〖答案〗为：348.12．（2023·山东临沂·统考一模）x2+12x-〖答案〗-100〖祥解〗求出2x-1x〖详析〗2x-1令6-2k=0，则k=3，令6-2所以常数项为-2故〖答案〗为：-100.13．（2023·山东威海·统考一模）在(x+a)6的展开式中的x3系数为160，则a=〖答案〗2〖解析〗首先求出(x+a)6的展开项中x3的系数，然后根据x〖详析〗由题知Tr当r=3时有T解得a=2故〖答案〗为：2.