2025年高考数学专项题型点拨训练之解三角形

年高考数学专项题型点拨训练解三角形【题型一】最值与范围：角与对边【题型二】最值与范围：角与邻边【题型三】范围与最值：有角无边型【题型四】三大线：角平分线应用【题型五】三大线：中线应用【题型六】三大线：高的应用【题型七】图形：内切圆与外接圆【题型八】图形：“补角”三角形【题型九】图形：四边形与多边形作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。今年从九省联考的试卷可以看出，新结构试卷中把原有的解三角形大题弱化了，新结构试卷解三角形的位置会在选填中考察，出现在大题的机率也是有的，即使出现难度也是不大的，所以基础题型和小题中对于正余弦定理的运用就需要掌握的透彻。易错点一：正弦定理的边角互化正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)等形式，以解决不同的三角形问题．易错提醒：1.在用正弦定理进行边角互化时需要注意2R的存在，等式两边2R的数量一致才可相消。2.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.例（2024·辽宁辽阳·一模）在中，内角的对边分别为，且，则的最小值为.变式1：（2024·四川凉山·二模）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则．易错点二：判断三角形个数1.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解例（2024·江苏南通·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，则下列条件能确定三角形有两解的是（

）A．B．C．D．变式1：（2024高三·全国·专题练习）在中，，，若角有唯一解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型一】最值与范围：角与对边注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．【例1】（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知的内角的对边分别是.若，则（

）A． B． C．2 D．3【例2】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3】（2024·全国·模拟预测）已知中，角、、的对边分别是．(1)求角的大小；(2)若，为边上一点，，，求的面积．【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知的内角的对边分别为的面积．(1)求角的大小；(2)若，求的面积．【变式2】（2024·云南贵州·二模）的内角的对边分别为，已知.(1)求角的值；(2)若的面积为，求.【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，，，，．(1)求角；(2)设是的高，求的最大值．【题型二】最值与范围：角与邻边三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大【例1】（2024·安徽阜阳·一模）在中，角的对边分别是，且．(1)求角的大小；(2)若，且，求的面积．【例2】（2024·内蒙古呼伦贝尔·一模）在锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(1)求；(2)若，求的面积.【变式1】（2024·陕西渭南·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为，则能使同时满足条件的三角形不唯一的a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式2】（2024·河北·一模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角C的大小；(2)若，，求的面积．【变式3】（2024·广东佛山·模拟预测）在中，角所对的边分别为，其中，．(1)求角的大小；(2)如图，为外一点，，，求的最大值．【题型三】范围与最值：有角无边型【例1】（2024·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．【例2】（2024·吉林延边·一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求B；(2)若点D在AC上，且，求．【变式1】（2024·广东湛江·一模）已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圆的直径为，求的取值范围．【变式2】（2024·陕西·模拟预测）的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求；(2)若，求.【变式3】（2012·广西南宁·一模）已知在中，角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)设向量，求当取最大值时，的值．【题型四】三大线：角平分线应用角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：【例1】（2024·山东淄博·一模）如图，在△ABC中，的角平分线交BC于P点，.

(1)若，求△ABC的面积;(2)若，求BP的长.【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在中，分别为边所对的角，且满足.(1)求的大小；(2)的角平分线交边于点，当时，求.【例3】（2024·四川·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知.(1)求角；(2)若的角平分线交于，求的长.【变式1】（2024·四川遂宁·二模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分线，，的面积为，求c的值．【变式2】（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数．(1)若方程在上有2个不同的实数根，求实数m的取值范围；(2)在中，若，内角A的角平分线，，求AC的长度．【变式3】（2024·四川广安·二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角；(2)若是的角平分线，，的面积为，求的值.【题型五】三大线：中线应用中线的处理方法1.向量法：双余弦定理法（补角法）：如图设，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因为，所以所以①+②式即可3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的两三角形面积相等【例1】（2024·浙江·模拟预测）在中，角的对边分别为且，(1)求；(2)求边上中线长的取值范围．【例2】（2024·河北沧州·三模）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.

(1)求的余弦值；(2)求的值.【例3】（2024·吉林长春·一模）在中，为边上中线，，，．(1)求的面积；(2)若，求．【变式1】（2024·新疆阿勒泰·三模）在中，，为边上的中线且，则的取值范围是．【变式2】（23-24高三上·河北唐山·期末）在中，角的对边分别为，(1)求；(2)设边的中线，且，求的面积．【变式3】（2024·全国·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，且．(1)求角的大小；(2)若的中线，求的最大值．【题型六】三大线：高的应用高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如2.三角函数法：【例1】（2024·四川·模拟预测）在中，，，且，则边上的高.【例2】（2024·全国·一模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．．(1)求角A；(2)若，，求AD．【例3】（23-24高三下·山东济南·开学考试）在中，内角，，的对边分别为，，．已知.(1)求；(2)若，且边上的高为，求的周长.【变式1】（2021·湖南株洲·三模）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．【变式2】（2024·贵州·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且.(1)求角的大小；(2)若，，求边上的高.【变式3】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的正三角形的面积依次为，，，且．(1)求角A；(2)若，D为线段BC延长线上一点，且，，求的BC边上的高．【题型七】图形：内切圆与外接圆外接圆：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。2.正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R为外接圆半径内切圆：等面积构造法求半径【例1】（2024·吉林·二模）已知的三个内角的对边分别为的外接圆半径为，且.(1)求;(2)求的内切圆半径的取值范围【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且.以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为.

(1)求角；(2)若的面积为，求的周长.【例3】（2024·江苏镇江·三模）在凸四边形中，.(1)若.求的长；(2)若四边形有外接圆，求的最大值.【变式1】（2024高三·江苏·专题练习）已知点M为直角外接圆O上的任意一点，，则的最大值为．【变式2】（23-24高三下·重庆·开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，(1)求和；(2)若，求四边形的面积．【变式3】（2024·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为平分，且．(1)求；(2)求的外接圆和内切圆的面积之比．【题型八】图形：“补角”三角形【例1】（2024·内蒙古包头·一模）如图，在中，，D是斜边上的一点，，.

(1)若，求和；(2)若，证明：.【例2】（2024·福建·模拟预测）在中，D为BC的中点，且.(1)求；(2)若，求.【变式1】（2024·甘肃陇南·一模）在中，内角A，B，C的对边分别为.已知(1)求b；(2)D为边上一点，，求的长度和的大小.【变式2】（2024·全国·模拟预测）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足______．(1)求C；(2)点D在边AB上，且，，求．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【题型九】图形：四边形与多边形【例1】（2024·河南·模拟预测）如图，在四边形中，的面积为．

(1)求；(2)证明：．【例2】（2024·云南大理·模拟预测）如图所