2024-2025学年广东省两校联考高三上学期10月一模数学试题及答案

2025届广东省省内两校十月第一次模拟2024.10命题人：客路中学龙门中学教研组注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.4.诚信考试，拒绝舞弊.8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1A{x|2xB{y|y2AB（1.已知集合，，则）5D.12A.B.C.x,12.命题“，x32x10”的否定是（）x]x，A，xx]，x32x0B.D.x32x02x0C.x，x32x033.已知直线l过点,3和，且在轴上的截距是，则实数等于（）3,2xm1A.1B.21C.3D.4fxx14.函数A.0零点的个数为（）xB.1C.2D.35.OABC中，OAa，b，cM为BCN满足ON2NA（）第1页/共5页1212312123abcabcA.C.B.D.33rrr23121121abcabc2232yxx(x0)lnylnxxlnyxlnx，6.函数结构是值得关注的对象为了研究两边取指数，得elnyexlnx，即yexlnx，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，yxx(x0)的最小值为（）1A.1B.eC.D.eeee7.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：T,T．开始记录时，这两种物质的质量相等，211T,T512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（2）1451251251251222A.C.B.D.T12T125125125125122log2log22log2log2T12T21AC）8.在矩形ABCD中，ADa，bb将ACD，沿着翻折，使D点在平面上的投影E恰好在直线퐴퐵上，则此时二面角BACD的余弦值为（ab22ababbabAB.C.D.b二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设为定义在上的奇函数，当x0时，fx2x2xbbfxR（）A.fb3B.313fC.在fx上是单调减函数－0D.函数仅有一个零点fx第2页/共5页1fxa()bx10.已知e是自然对数的底数，e2.71828eye又不与该直线相交，则（）aefx的值域为eA.C.B.D.1在区间上单调递减fxffln33ABCDABCDE,FAB,分别为棱的中点，11.如图，已知正方体的棱长为2，点1111BC0BG1，则（）111A.无论取何值，三棱锥C的体积始终为12EGBD221B.若，则4153D距离为C.点到平面17．则D.若异面直线EF与AG所成的角的余弦值为10三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.bab__________fxab0)12.若函数为奇函数，则2bx的前项和为，若212，则anSn2813.已知等差数列______.nxy1014.设，求dx2y26x10y34x2y24x30y229的最小值是___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空℃1℃，那么tmin后茶水的温度(单位：)，可由公式0气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是te求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在kk25℃室温下010第3页/共5页进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从t0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：t03512485.0074.75t的值，并求出此时的解析式(计算结果四舍五入（1）请你利用表中的一组数据t5，求k精确到；（2）在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至℃时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到1分钟)．参考数据：ln31.0986，Sn20.693，e是自然对数的底数，e2.71828的前项和为，且annaSan21.16.已知数列1nn（1）求的通项公式；an1b,Tbbbbbb（2）若，求n.nn1223nn1anABCABCAB2AB,ABBC,ACBBAABB，平面平面ABC，1117三棱台中，111111ABBCBBAE2EB，AC与AC交于D．111（1）证明：DE∥平面A；11AC（2）求异面直线与DE的距离．11l:ym0l:xmm0l:mxym0，，记318.已知直线，12llCllBllA．，，122331第4页/共5页（1）当m2时，求原点关于直线的对称点坐标；l1（2）求证：不论m为何值，VABC总有一个顶点为定点；（3）求VABC面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性)fx1ebx19.已知函数是偶函数，e是自然对数的底数，e2.718282a1的最小值;（1）求a2b2（2）当b1时，gxf1xf1x（i）令，，已知的值．x11gx的值域;，求naaa...a1i2i...,1000，，且i1000取fi（ii）记，当i12ni1i1i1x2122...x2最大值时，求第5页/共5页2025届广东省省内两校十月第一次模拟2024.10命题人：客路中学龙门中学教研组注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.4.诚信考试，拒绝舞弊.8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1A{x|2xB{y|y2AB（1.已知集合，，则）5D.12A.B.C.【答案】D【解析】【分析】先根据指数函数单调性计算集合A,绝对值不等式化简得出集合B,再根据并集定义计算即得.1A{x|2x{x|1xB{y|y{y|2y，【详解】集合2AB5，则故选:D．x,12.命题“，x32x10”的否定是（）x]x，2x0x32x02x0A.C，x3B.D.x]，xx，32x0x3【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：第1页/共21页x,1，x2x10”的否定是“x，x2x0”.命题“33故选：D.3.已知直线l过点,3和，且在轴上的截距是，则实数等于（）3,2xm1A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】求得直线l的方程，代入点(,3)的坐标，可求的值.m1，【详解】因为直线l在轴上的截距是，所以过点x2031又直线l过点，所以直线的斜率为lk1，y0xxy10，所以直线l的方程为：，即直线方程为又直线l过点故选：D.(,3)，所以m310，解得m4．1fxx14.函数零点的个数为（）xA.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】1【分析】数形结合思想，分别作出ylg(x和y的图象即可求解.x1푥+1>0푥≠0fxx10，的定义域为，【详解】解：由，得函数x1fxx1函数零点的个数零点个数，x1ylg(xy即函数的图象和函数的图象的交点个数，x如图所示：第2页/共21页1ylg(xy数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为2．x故选:C．5.OABC中，OAa，b，cM为BCN满足ON2NA（）121212123abcabcA.C.B.D.333rrr2311121abcabc22232【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.121221121OAabc【详解】.2332232故选：C.yxx(x0)lnylnxxlnyxlnx，6.函数结构是值得关注的对象为了研究两边取指数，得elnyexlnx，即yexlnx，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，yxx(x0)的最小值为（）1A.1B.eC.D.eeee第3页/共21页【答案】C【解析】x(x0)，两边取对数，得lnyxlnx，令푔(푥)=푥푙푛푥(푥>0)，分析单调性，可求得最yx【分析】对小值.yxx(x0)，两边取对数，可得lnylnxx，即lnyxlnx，【详解】因为令푔(푥)=푥푙푛푥(푥>0)，则g'xlnx1gxx1，1exgxlnx10gx，为减函数，当当时，1x,增函数，gx为时，푔(푥)=ln푥+1>0，′e11e∴gxg，emin1e∴，푦>−，的最小值为1y1e，eee故选：C.【点睛】7.常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T（单位：T,T．开始记录时，这两种物质的质量相等，211T,T512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（2）1451251251251222A.C.B.D.T12T125125125125122log2log22log2log2T12T12【答案】B【解析】1512得答案．【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，51251211则512天后，甲的质量为：()T1，乙的质量为：()2，22第4页/共21页512512512114112由题意可得()2()T1()T1，2225125122所以．T21故选：B．bb将ACD，AC8.在矩形ABCD中，ADa，沿着翻折，使D点在平面上的投影E恰好在直线퐴퐵上，则此时二面角BACD的余弦值为（）ab22ababbabA.B.C.D.b【答案】A【解析】【分析】如图所示，作DGAC于G，BHAC于H，求得，GD·HB，利用向量的夹角公式可求二面角BD的余弦值.【详解】如图所示，作DGAC于G，BHAC于H.a在Rt中，a，2b2，ba22aa2RtaAGAD在中，，a2b2a2b2a2abAD2AG2a2(2)，a2b2a2b2BCaa2abcosBCA，CH，同理可得，AC2aba2b2a2b22因为BC(AEEDBCBCBC0，所以AD)·(CB)GAGACBCB第5页/共21页a2a2a2aa2aa4aa0，2b2a2b2a2b2a2b2a2b2a2b2a2ba2ababa22b·又因为，2b2a2b2a2ba2a4ab2aa2b2cosGD,所以.2a2b2·2b2因为与HB的夹角即为二面角BD的大小，ab22所以二面角BD的余弦值为.故选：A.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.设为定义在上的奇函数，当x0时，fx2x2xbbfxR（）A.fb3B.313fC.在上是单调减函数－0D.函数仅有一个零点fxfx【答案】AD【解析】f00，求得b1，得到fx2x2x1f1，求得的值，可得判定A正确；【分析】根据f3f3结合由，可得判定B不正确；结合y2x和y2x1都是增函数，及fx为在R上f00的奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合仅有一个fx和函数的单调性，得到零点，可得判定D正确.【详解】对于A中，因为为定义在上的奇函数，且当x0时，fx2x2xb，fxR可得f020b0，解得b1，所以fx2x2x1，f1f1(223，所以A正确；则1f3f3(22313，所以B不正确；对于B中，由3对于C中，当x0时，fx2x2x1，第6页/共21页因为函数都是增函数，所以是单调递增函数，fx在)y2xy2x1和又因为为在上的奇函数，所以在,0)也是递增函数，所以C不正确；fxRfx(对于D中，由f00fx(,0)和)是单调递增函数，，且所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确.fxR故选：AD.1fxa()bx10.已知e是自然对数的底数，e2.71828eye又不与该直线相交，则（）aefx的值域为eA.C.B.D.1在区间上单调递减fxffln33【答案】BD【解析】ye【分析】对于A，根据函数过原点和无限接近直线可判断；对于B，根据解析式判断函数的奇偶性，值域可判断，对于CD，根据对数函数性质，再根据函数的为偶函数可判断.1xfxa()b的图象经过原点，【详解】对于A，因为函数e1所以ab0，解得fxba，则fxa()a．xe又因为函数无限接近直线ye但又不与该直线相交，aeae，故A错误．所以对于B，则，则111xxxxe()efx，fxe()efe()e因为eee1xe为偶函数．当x0时，fxfxee0,e，所以函数的值域为0,e，故B正确；fx11xefxxy()，因为函数为减函数，对于C，当x0时，e()ee1fxx在区间ee()则函数上单调递增，故C错误；e第7页/共21页113ln3fln3f，故D正确.对于D，因为故选:BD．，根据函数为偶函数可得3ABCDABCDE,FAB,分别为棱的中点，11.如图，已知正方体的棱长为2，点1111BC0BG1，则（）111A.无论取何值，三棱锥C的体积始终为12EGBD22B若，则14153D的距离为C.点到平面17．则D.若异面直线EF与AG所成的角的余弦值为10【答案】AB【解析】【分析】对于A，利用等体积法及棱锥的体积公式即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用空间向量的数量积公式即可求解；对于CB的距离公式即可求解；对于D，由B选项建立的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线EF与AG的方向向量，再利用向量的夹角与线线角的关系即可求解；ABCDABCD的棱长为2，点1E,FAB,分别为棱的中点,【详解】对于A，因为正方体111121132S22112121所以,22ABCDABCD中，1在正方体平面ABCD，11111313SCC21由等体积法知，V=V=，三棱锥C三棱锥G132第8页/共21页所以无论取何值，三棱锥C的体积始终为1，故A正确；D对于B,由题意可知，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示ABCDABCD的棱长为2，1因为正方体111所以，，，，,D0,0,21B2,0B2,2,2E0C0,2,211BG22BC1由，得，设，则Gx,2,21144BGx2,0,0,BC0，1所以11222所以x2,0,02,0,0，所以x22，解得x2，4422G2,2,2，所以所以所以222,2,2，122EGBD2122222，故B正确；12对于C，由B选项建立的空间直角坐标系知，，F1,0,0，，E0D0,0,21BGBC0，1设，则2,0,0，Gx,2,2BGx2,0,0,BC11111所以x2,0,02,0,0，所以x2，解得x22，所以G22,2,2，2，EF1,0,FG12,2,2,DF2,所以1设平面的法向量为nx,y,z，则xy012x2y2z0nEF012即，令则，xzy,nFG02第9页/共21页12n所以，2DFn221dD所以点到平面的距离为n2，12122由于无法确定，所以点到平面D的距离无法确定，故C错误；1对于D,由B选项建立的空间直角坐标系知，，,，，，E0F1,0,0A0B2,0,B2,2,2C0,2,211设，则2,0,0，BGBC，Gx,2,2BGx2,0,0,BC111111所以x2,0,02,0,0，所以x2，解得x22，所以G22,2,2，2EF0,AG2,2,2，所以因为异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，则EFAG22111123107EF,AG或，即，解得D错2222EFAG2482误.故选：AB.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.bab__________fxab0)12.若函数为奇函数，则2bx1【答案】##0.52【解析】1a【分析】先根据函数是奇函数关于原点对称得出b1,再应用奇函数的定义计算求出,计算即可求2值.2xb0xlog2bxxb【详解】由于函数的定义域满足，故定义域为，2log2b0b1根据奇函数的定义域关于原点对称可知，，112xfxafxaa∴，2x12x112x第10页/共21页12x12a∴fxfxa02a10a，2x112x1ab故，21故答案为：．2的前项和为，若212，则anSn2813.已知等差数列______.n【答案】44【解析】aS.【分析】利用通项公式，进行基本量代换求出，再利用前n项和公式和性质求出6【详解】设公差为d，有2a7dad1212，，可得315d11111a4S611444有，.62故答案为：44【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．xy1014.设，求dx2y26x10y34x2y24x30y229的最小值是___________.【答案】293【解析】A3,5【分析】由配方化简可得d可看作点和B2,15xy10上的点x,y的距离之和，作到直线关于直线对称的点，连接，计算可得所求最小值AB.A3,5xy10A2AB【详解】解：dx2y26x10y34x2y24x30y229(x2(y2(x2)2(y2，即d可看作点A3,5和B2,15xy10上的点x,y的距离之和，到直线作A3,5关于直线xy10，Ax,y0对称的点0x3050100422，解得,由题意得y5x3y20010第11页/共21页故，A2dAB(42)2(2293.2则故答案为：293.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空℃1℃，那么tmin后茶水的温度(单位：)，可由公式0气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是te求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在kk25℃室温下010进行了数学实验，先用85℃的水泡制成85℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从t0开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据：t03512485.0074.75t的值，并求出此时的解析式(计算结果四舍五入（1）请你利用表中的一组数据t5，求k精确到；（2）在25℃室温环境下，王大爷用85℃的水泡制成85℃的茶水，想等到茶水温度降至℃时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到1分钟)．第12页/共21页e2.71828参考数据：ln31.0986，20.693，e是自然对数t2560e0.08t【答案】（1）k0.08，；（2）要等待约9分钟【解析】1）将给定数据代入函数模型，求出常数k及对应的函数关系.（2）由（1）中关系式，求出t)55【小问1详解】时的值.t)ekt85，且当1C,025C65C，t5依题意，，时，0101212652525)e5k，e5k，解得k20.08，则3535所以t)2560e0.08t.【小问2详解】12由（1）知，t)2560e0.08t，当t)55时，0.08t，即e0.08t，552560e120.693t2，解得t9，整理得20.080.08王大爷要等待约9分钟.的前项和为，且anSnaSan21.16.已知数列n1nn（1）求的通项公式；an1b,Tbbbbbb，求n.nn1（2）若nn1223ana2n1n【答案】（1）nTn（2）32n3【解析】naSS，即可求数列的通项公式；n11）利用公式nn11bb（2）根据（1）的结果可知【小问1详解】，再利用裂项相消法求和.nn12n12n3San1，2因为nn第13页/共21页所以当n2时，San1(n1，2n1aaa2n1，即n12n1，两式相减得：nnn1a2n1n所以，a31且符合，所以的通项公式为a2n1na.n【小问2详解】11bn由（1）可知，n2n111111bb所以所以，nn12n12n322n12n3Tbbbbbbn1223nn111111112355779112n12n3...11232n31n.32n3ABCABCAB2AB,ABBC,ACBBAABB，平面平面ABC，1117.三棱台中，111111ABBCBBAE2EB，AC与AC交于D．111（1）证明：DE∥平面A；11AC（2）求异面直线与DE的距离．11【答案】（1）证明见解析；22（2）11第14页/共21页【解析】ACAD2//BC，进而证得，结合线面平行的判定11）由题意和三棱台的结构特征可得11D定理即可证明；（2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得BC1B、BB1，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解.【小问1详解】ABCABC21BAC2C，则1三棱台中，，，1111ACAD有ACDACD，得AD1D，所以21111DADAEABC//BC，有1又AE2EB，所以在平面内，，．11DEBABC,BCAA平面11//，所以平面平面11111【小问2详解】AABBBBÇ平面，，ABBC已知平面平面ABC，平面1111BC平面，所以BC平面AABB，由BB平面AABBBC1B，得，11111ACBB1,BCIACC,BCAC平面ABC，又平面ABC，BB1ABBB1平面ABC，得.所以平面ABC，由以B为坐标原点,BC,BB的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系．132B(0,E0),CC(0,0),A,0,1则有，1111232BCEA,0,1,AC0，1111222233//BCEDBC,因为，所以，1133rrn(x,y,z)1设向量，且满足：nnAC0，1yz0x2n(2,3则有，令，xy02第15页/共21页,0,1r122nEA22n(2,3,在的投影数量为r1，1|n|221122AC异面直线与DE的距离1.111l:ym0l:xmm0，l:mxym0，记318.已知直线，12llCllBllA．，，122331（1）当m2时，求原点关于直线的对称点坐标；l1（2）求证：不论m为何值，VABC总有一个顶点为定点；（3）求VABC面积的取值范围可直接利用对勾函数的单调性)84，1344，【答案】（1）23）55【解析】【分析】当m2时，直线的方程为：2xy200,y0，利，设原点关于直线的对称点为1ll11用斜率与中点坐标公式列方程求解即可；由题意可知，恒过点，即可证明．2l1301由题可得与垂直，得到角为直角，故，然后利用点到直线的距离公式得到3l1l2SAC·C2BC，再结合对勾函数的性质求解即可．，【详解】解：当m2时，直线l的方程为：2xy20k2，且斜率，111设原点关于直线l的对称点为0,y0，1第16页/共21页y120x0则由斜率与中点坐标公式列方程得：，0202220854x0解得：，0584，故所求点的坐标为；552直线l:ym0，1mx1y0，即0恒过点，l:m1xym103即m1x1y0，0恒过点A0故，故VABC总有一个顶点为定点0；由条件可得与垂直，l23l1故角C为直角，1SAC·，2BCl等于点B到的距离，1ll，Bm1由的方程联立可得m1m231BC，m21m12到直线距离，A0l2等于点1mm2AC，1m2第17页/共21页11mm三角形面积S21211，21m21mm112m0m01当当时，有时，有最大值；mm111有最小值，m2m31m1时，S取最大值，m1时取最小值，S441344故VABC面积的取值范围，．fx1ebx19.已知函数是偶函数，e是自然对数的底数，e2.718282a1的最小值;（1）求a2b2（2）当b1时，gxf1xf1x（i）令，，已知的值．x11gx的值域;，求naaa...a1i2i...,1000，且i1000取fi（ii）记，，当i12ni1i1i1x2122...x2最大值时，求5【答案】（1）512ii）2lne212e4（2i）【解析】1）由函数是偶函数，得到ab，再代入所求式子，表示为b的二次函数求最值；（2ba2gxd域；（ⅱ）利用反证法进行证明.【小问1详解】fx1eaxbx函数的定义域为R，根据偶函数的定义：1eaxbx1eaxbx，xR，푓(−푥)=푓(푥)，即第18页/共21页bx1eax1eaxaxxRba恒成立，这等价于．即：上式对任意225112545a2b22a1b2b2b1b2b15bba