运筹学整数线性规划

第1页运筹帷幄之中决胜千里之外运筹学课件整数线性规划IntegerLinearProgramming第2页整数规划整数规划问题与模型整数规划算法计算软件应用案例第3页整数规划问题实例特点模型分类第4页应用案例投资组合问题旅游售货员问题背包问题第5页投资组合问题背景实例模型第6页背景证券投资：把一定的资金投入到合适的有价证券上以规避风险并获得最大的利润。项目投资：财团或银行把资金投入到若干项目中以获得中长期的收益最大。第7页案例某财团有万元的资金，经出其考察选中个投资项目，每个项目只能投资一个。其中第个项目需投资金额为万元，预计5年后获利（）万元，问应如何选择项目使得5年后总收益最大？第8页模型变量—每个项目是否投资约束—总金额不超过限制目标—总收益最大第9页第10页旅游售货员问题背景案例模型第11页背景旅游线路安排预定景点走且只走一次路上时间最短配送线路—货郎担问题送货地到达一次总路程最短第12页案例有一旅行团从出发要遍游城市，已知从到的旅费为，问应如何安排行程使总费用最小？第13页模型变量—是否从i第个城市到第j个城市约束每个城市只能到达一次、离开一次第14页避免出现断裂每个点给个位势除了初始点外要求前点比后点大第15页目标—总费用最小第16页第17页背包问题背景案例模型第18页背景邮递包裹把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走旅行背包容量一定的背包里装尽可能的多的物品第19页实例某人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单，其中一些物品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、150、250、450、760、190、（单位毫升）。尚有10件可带可不带物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。

第20页物品12345678910体积200350500430320120700420250100价格1545100705075200902030第21页问题分析变量—对每个物品要确定是否带同时要确定放在哪个包裹里，如果增加一个虚拟的包裹把不带的物品放在里面，则问题就转化为确定每个物品放在哪个包裹里。如果直接设变量为每个物品放在包裹的编号，则每个包裹所含物品的总容量就很难写成变量的函数。为此我们设变量为第i个物品是否放在第j个包裹中第22页约束包裹容量限制必带物品限制选带物品限制第23页目标函数—未带物品购买费用最小第24页模型第25页特征—变量整数性要求来源

问题本身的要求引入的逻辑变量的需要性质—可行域是离散集合第26页第27页线性整数规划模型一般整数规划模型0-1整数规划模型混合整数规划模型第28页一般整数规划模型第29页0-1整数规划模型第30页混合整数规划模型第31页算法与线性规划的关系分支定界算法割平面算法近似算法第32页与线性规划的关系整数规划放松的线性规划可行解是放松问题的可行解最优值大于等于放松问题的最优值第33页第34页第35页注释最优解不一定在顶点上达到最优解不一定是放松问题最优解的邻近整数解整数可行解远多余于顶点，枚举法不可取第36页分支定界算法算法思想算法步骤算例注释第37页算法思想隐枚举法求解放松问题最优值比界坏

最优解为整数最优值比界好

最优解为非整数最优值比界好分支边界分支舍弃第38页分支的方法第39页第40页第41页定界当前得到的最好整数解的目标函数值分支后计算放松的线性规划的最优解整数解且目标值小于原有最好解的值则替代原有最好解整数解且目标值大于原有最好解的值则删除该分支其中无最优解非整数解且目标值小于原有最好解的值则继续分支非整数解且目标值大于等于原有最好解的值则删除该分支其中无最优解第42页选一分支写出并求解放松问题，同时从分支集中删除该分支判定是否为整数解初始分支为可行解集，初始界为无穷大判定是否分支集空是停止当前最好解为最优解是否第43页判定最优值是否小于当前界判定最优值是否小于当前界是否按非整数变量分支并加入分支集否是以最优解替代当前最好解最优值替代当前界第44页算例第45页第46页第47页第48页注释求解混合整数规划问题，只对整数变量分支，对非整数变量不分支。第49页对0-1整数规划分支时第50页算法思想算法步骤算例割平面算法第51页算法思想由放松问题的可行域向整数规划的可行域逼近方法—利用超平面切除要求整数解保留放松问题最优值增加第52页割平面生成方法条件--保留整数解删除最优解第53页整数可行解最优基可行解第54页第55页第56页第57页第58页第59页正则解第60页算法步骤求放松问题的最优基可行解判断是否为整数解是停止得到最优解否在单纯性表中加入一列利用对偶单纯性算法求最优解第61页算例(1,1.5)第62页第63页第64页第65页第66页第67页第68页计算软件整数变量定义

LinDo

一般整数变量:GIN<Variable>0-1整数变量:INT<Variable>

LinGo

一般整数变量:@GIN(variable_name);0-1整数变量：@BIN(variable_name);算例第69页算例

max3x1+5x2+4x3subjectto2x1+3x2<=15002x2+4x3<=8003x1+2x2+5x3<=2000endginx1ginx3第70页应用案例分析人力资源分配问题应急设施选址问题第71页人力资源分配问题某个中型百货商场对售货人员（周工资200元）的需求经统计如下表

为了保证销售人员充分休息，销售人员每周工作5天，休息2天。问应如何安排销售人员的工作时间，使得所配售货人员的总费用最小？星期一二三四五六七人数12151214161819第72页模型假设每天工作8小时，不考虑夜班的情况；每个人的休息时间为连续的两天时间；每天安排的人员数不得低于需求量，但可以超过需求量第73页问题分析因素不可变因素：需求量、休息时间、单位费用；可变因素：安排的人数、每人工作的时间、总费用；方案确定每天工作的人数，由于连续休息2天，当确定每个人开始休息的时间就等于知道工作的时间，因而确定每天开始休息的人数就知道每天开始工作的人数，从而求出每天工作的人数。变量每天开始休息的人数约束条件

1.每人休息时间2天，自然满足。

第74页

3.变量非负约束：第75页目标函数：总费用最小，总费用与使用的总人数成正比。由于每个人必然在且仅在某一天开始休息，所以总人数等于第76页模型第77页注解该问题本质上是个整数规划问题，放松的线性规划的最优解是个整数解，所以两规划等价。定义整数变量用函数@gin(x1)……@gin(x7);

0-1整数变量为@bin(x1)第78页应急选址问题

某城市要在市区设置k个应急服务中心,经过初步筛选确定了m个备选地，现已知共有n个居民小区，各小区到个备选地的距离为为了使得各小区能及时得到应急服务，要求各小区到最近的服务中心的距离尽可能的短，试给出中心选址方案。第79页问题分析

该问题与传统的选址问题的主要区别在于其目标不再是要求费用最小，而是要求最长距离最短。也就是离服务中心距离最远的小区离最近的服务中心距离最