2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年1月含解析及考点卡片）

2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年1月）

一.选择题（共10小题）

I.（2021秋•东城区校级期末）如图，圆心角NAOB=100°,则NACB的度数是（）

A.50°B.100°C.120°D.130°

2.（2021秋•武昌区校级期末）由所有到已知点。的距离大于或等于2,并且小于或等于3

的点组成的图形的面积为（）

A.4TlB.9TTC.5ITD.13K

3.（2021秋•南岗区校级期末）如图，。0的直径AB=6,8是的弦，CD1AB,垂足

为P,且BP：AP=］：5,则8的长为（）

4.（2021秋•东城区校级期末）如图，。。的半径为5,弦A8的长是8,则圆心。到弦A8

5.（2021秋•瑞安市期末）如图，。0是正△ABC的外接圆，△OOE是顶角为120°的等腰

三角形，点。与圆心重合，点。，E分别在圆弧上，若。。的半径是6,则图中阴影部

分的面积是（）

A.4TtB.12n-9J3C.12n-D.24n-943

2

6.（2021秋•富裕县期末）如图，四边形A8C£＞内接于。0,若/AOC=140°,则/AOC

7.（2021秋•富裕县期末）如图所示，圆锥的底面圆的半径为5,母线长为30,一只蜘蛛从

底面圆周上一点月出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点的最短路程是（）

8.（2021秋•黔西南州期末）如图，四边形ABCO是半径为2的。。的内接四边形，连接

OA,OC.若NAOC：ZABC=4：3,则函的长为（）

9.（2021秋•富裕县期末）如图所示，以A8为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°,点4

旋转到点A',且AB=4,则图中阴影部分的面积是（）

336

10.（2021秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24〃?,

拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）

A.16”？B.20/7/C.24mD.28，〃

二.填空题（共7小题）

11.（2021秋•海淀区校级期末）如图，点A,B,C,。在。。上，C是弧的中点，若/

ODC=50°,则N8AC的度数为

12.（2021秋•南岗区校级期末）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在

同一平面内，使。，C,8在一条直线上，且。C=28C,过点A作量角器圆弧所在圆的

13.（2021秋•瑞安市期末）如图，AO是。0的直径，8c于E,若£>£=3,8c=8,

则。O的半径为

14.（2021秋•龙江县校级期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点

A的坐标为（1,1）,1二是以点B为圆心，8A为半径的圆弧；工~^是以点。为圆心,

OA1为半径的圆弧，XR是以点C为圆心，。2为半径的圆弧，公示是以点A为圆心,

2334

A43为半径的圆弧，继续以点8、。、C、A为圆心按上述作法得到的曲线A4iA2A34tA5…

称为正方形的“渐开线”，那么点A2021的坐标是.

15.（2021秋•海淀区校级期末）如图，PA,P8是。。的两条切线，AC是。。的直径，ZP

=50°,则/区4c的度数是.

16.（2021秋•哪西县期末）如图，在边长为2的正方形ABC。中，AE是以为直径的半

圆的切线，则图中阴影部分的面积为.

17.（2021秋•营口期末）如图，A3是。。的直径，O为圆心，点C是半圆。上的点，若/

CAB=4ZC8A,点。是BC上任意一点，则NBOC的度数为度.

三.解答题（共8小题）

18.（2021秋•武昌区校级期末）如图，在。。中，AB=AC=2n,/BAC=60°,求OA的

长度.

19.（2021秋•韩城市期末）如图，在△ABC中，以4B为直径的。0交BC于点力，与CA

的延长线交于点E,。0的切线。尸与AC垂直，垂足为点尸.

（1）求证：AB=AC；

(2)若AC=6,ZBAE=6Q°，求俞的长.

20.（2021秋•临江市期末）如图所示，正三角形ABC、正方形ABC。、正五边形ABCDE分

别是。。的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点8、C开始，以相

同的速度在上逆时针运动.

(1)求图①中NAP8的度数；

(2)图②中乙4尸8的度数是,图③中/APB的度数是

(3)若推广到一般的正〃边形情况，请写出/APB的度数是.

①②③

21.(2021秋•武昌区校级期末)请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹.(用

虚线表示画图过程，实线表示画图结果)

(1)如图1,在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请画出这个圆

的圆心；

(2)如图2,8c为OO的弦，画一条与BC长度相等的弦；

(3)如图3,△ABC为。0的内接三角形，。是AB中点，E是AC中点，请画出NBAC

的角平分线.

图1

22.(2021秋•龙凤区期末)如图,。。是AABC的外接圆，40是OO的直径，F是延

长线上一点，连接CO,CF,且C尸是OO的切线.

(1)求证：ZDCF=ZCAD.

(2)探究线段CF,FD,胡的数量关系并说明理由;

(3)若cosB=g,AD—2,求F£)的长.

5

B

A

23.(2021秋•道里区期末)四边形A8CQ为矩形，点A,8在。0上，连接OC,OD.

图1图2图3

(1)如图1,求证：0c=0。；

(2)如图2,点E在O。上，DE//OC,求证：D4平分NEDO；

(3)如图3,在(2)的条件下，OE与。。相切，0。交。。于点凡点G在弧BF上,

弧FG=MAE,连接8G,若8G=3&，DF=2,求AB的长.

24.(2021秋•南岗区校级期末)如图，四边形ABC。内接于。0,NC=NB.

图1图2图3

(1)如图1,求证：AB=CDx

(2)如图2,连接BO并延长分别交00和CD于点F、E,若CD=EB,CDVEB,求

tanZCBF；

(3)如图3,在(2)的条件下，在8尸上取点G,连接CG并延长交。。于点/,交AB

于H,EF：BG=l：3,EG=2,求GH的长.

25.(2021秋•香坊区期末)已知：80为。。的直径，四边形ACDE为。。的内接四边形,

分别连接BE、AD,BE交AC于点、H,且AE=CZ).

(1)如图1,求证：BE±AC;

(2)如图2,延长BE交CD的延长线于点凡BE交AD于点G,连接CE,求证：NBGD

-NFEC；

(3)如图3,在(2)的条件下，AC交8。于点历，若。G=EF,tan/AOB=返，EG

2

=2«,求OM的长.

图1图2图3

2022年中考数学复习新题速递之圆（2022年1月）

参考答案与试题解析

选择题（共10小题）

1.（2021秋•东城区校级期末）如图，圆心角乙408=100°,则NACB的度数是（）

A.50°B.100°C.120°D.130°

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【分析】NAPB为窟所对的圆周角，如图，先根据圆周角定理得到NAPB=50°,然后

根据圆内接四边形的性质求/ACB的度数.

【解答】解：NAPB为篇所对的圆周角，如图，

V100°=50°,

22

而NP+NACB=180°,

/.ZACB=180°-50°=130°.

故选：D.

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了圆内接四边形的性质.

2.（2021秋•武昌区校级期末）由所有到已知点。的距离大于或等于2,并且小于或等于3

的点组成的图形的面积为（）

A.4TTB.9nC.5TTD.13K

【考点】圆的认识.

【专题】与圆有关的计算；运算能力.

【分析】根据题意、利用圆的面积公式计算即可.

【解答】解：由所有到己知点0的距离大于或等于2,并且小于或等于3的点组成的图

形的面积为以3为半径的圆与以2为半径的圆组成的圆环的面积，

即nX32-IT><22=5IT,

故选：C.

【点评】本题考查的是圆的认识、圆的面积的计算，掌握圆的面积公式是解题的关键.

3.（2021秋•南岗区校级期末）如图，OO的直径48=6,。是。。的弦，垂足

为P,且BP：AP=\：5,则CQ的长为（）

C.2疾D.V5

【考点】勾股定理；垂径定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【分析】先由。0的直径AB=6得08=3,再由BP：AP=\：5得BP=1,则。尸=2,

连接OC,由垂径定理的C£>=2PC,然后由勾股定理求出PC的长，即可得出结论.

【解答】解：:。。的直径43=6,

J.OB=^-AB—3,

2

,:BP：AP=\：5,

6

：.OP=OB-BP=2,

连接OC,

'：CD±AB,

：.CD=2PC,ZOPC=90°,

:.CD=2PC=2后,

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形

是解答此题的关键.

4.（2021秋•东城区校级期末）如图，的半径为5,弦A8的长是8,则圆心。到弦AB

【考点】勾股定理；垂径定理.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力.

【分析】连接。4,由垂径定理得再由勾股定理求出即可.

2

【解答】解：连接04

；OO的半径为5,

/.OA=5,

NOMA=90°，MA=MB=1AB=4,

2

OM=V0A2-AM2=V52-42=3,

故选：C.

【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题.

5.（2021秋•瑞安市期末）如图，00是正△ABC的外接圆，△OOE是顶角为120°的等腰

三角形，点。与圆心重合，点。，E分别在圆弧上，若QO的半径是6,则图中阴影部

分的面积是（）

A.4nB.12TT-973C.12ir-9TD.24n-973

2

【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；三角形的外

接圆与外心；扇形面积的计算.

【专题】与圆有关的计算；推理能力.

【分析】连接OA、OB,过点。作于”，根据圆周角定理求出NAOB,进而求

出根据直角三角形的性质求出OH,根据余弦的定义求出AH,根据垂径定理求

出A8,根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案.

【解答】解：连接。A、OB,过点。作0H_LA8于，，

:△ABC为等边三角形，

/.ZC=60°,

，/AOB=2/C=120°,

"：OA=OB,

：.ZOAB=30°,

.•.OH=」OA=3,AH=OA-COSZOAB

22

'：OH1AB,

:.AB=2AH=6辰

••S叩影部分=S埼形AO8=S-OB=12°兀-"-X6,\/3X3=12n-9A/3>

3602

故选：B.

H

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题

的关键.

6.（2021秋•富裕县期末）如图，四边形ABCD内接于O。，若NADC=140°,则NAOC

的度数为（）

A.25°B.80°C.130°D.100°

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理计算即可.

【解答】解：•••四边形ABCD内接于。0,

AZB+ZADC=180°,

VZAZ）C=140",

/.ZB=40",

由圆周角定理得，NAOC=2NB=80°,

故选：B.

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互

补是解题的关键.

7.（2021秋•富裕县期末）如图所示，圆锥的底面圆的半径为5,母线长为30,一只蜘蛛从

底面圆周上一点A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点的最短路程是（）

A.8B.lCh/2C.30D.2Ch/2

【考点】平面展开-最短路径问题；圆锥的计算.

【专题】与圆有关的计算：运算能力.

【分析】由于圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得

侧面展开图的圆心角，进而构造等边三角形求得相应线段即可.

【解答】解：圆锥的侧面展开图，如图所示：

•圆锥的底面周长=2irX5=10n,

设侧面展开图的圆心角的度数为/?.

.,.mX39=]0n,

180

解得"=60,

,最短路程为：AA'=30.

故选：C.

"A'

【点评】本题考查的是平面展开-最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展

开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平

面图形上构造直角三角形解决问题.

8.（2021秋•黔西南州期末）如图，四边形A8CD是半径为2的OO的内接四边形，连接

OA,0C.若NAOC：ZABC=4：3,则箴的长为（）

A.—ITB.—itC.—nD.—n

5555

【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算.

【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力.

【分析】设/A0C=4x°,/ABC=3x°,由圆周角定理得出/A0C=2/£>,求出/£）

=2%°,根据圆内接四边形得出NABC+/O=180°,求出x,求出乙4OC=144°,再

根据弧长公式求出即可.

【解答】解：设NA0C=4x°,ZABC=3x°,

由圆周角定理得：/AOC=2/O,

四边形ABCD是的内接四边形，

/.ZASC+ZD=180°,

**•3x+2x=180,

解得：x=36,

即NAOC=144°,

.•.冠的长为144兀x2=二死

1805

故选：A.

【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，弧长公式和圆周角定理等知识点，能求出/

AOC的度数是解此题的关键.

9.（2021秋•富裕县期末）如图所示，以AB为直径的半圆，绕点B顺时针旋转60°,点A

旋转到点A',且AB=4,则图中阴影部分的面积是（）

AB

336

【考点】扇形面积的计算；旋转的性质.

【专题】与圆有关的计算；应用意识.

【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABA'的面积之和减去半

圆的面积.

2

【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：,§QKX3.+lx-rrX22-lxnX22

36022

旦，

3

故选：B.

【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数

形结合的思想解答.

10.（2021秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m,

拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）

A.16/77B.20mC.24mD.28/n

【考点】垂径定理的应用.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力；应用

意识.

【分析】设圆弧形拱桥的圆心为O,跨度为A8,拱高为CD连接04OD,设拱桥的

半径为R米，由垂径定理得AO=LB=12（米），再由勾股定理得出方程，解方程即可.

2

【解答】解：设圆弧形拱桥的圆心为O,跨度为A3,拱高为CZ）,连接OA、OD,如图:

设拱桥的半径为R米，

由题意得：ODVAB,C£>=4米，43=24米，

则A£>=BD=LB=12（米），OD=（R-4）米，

2

在RtZXAOO中，由勾股定理得：/?2=122+（R-4）2,

解得:R=20,

即桥拱的半径R为20〃?，

故选：B.

c

A

\D：

、I

、、■

、、■

、、*

0

【点评】该题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，山勾

股定理得出方程是解题的关键.

二.填空题（共7小题）

11.（2021秋•海淀区校级期末）如图，点4,B,C,。在上，C是弧俞的中点，若N

OOC=50°,则/B4C的度数为40°.

【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理.

【专题】圆的有关概念及性质.

【分析】连接08,如图，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出/COD=80°,

再根据圆心角、弧、弦的关系得到N8OC=/COL>=8（）°,然后根据圆周角定理得到/

8AC的度数.

【解答】解：连接OB,如图，

'：OC=OD,

：.ZOCD^ZODC=50°,

AZCOD=180°-50°-50°=80°,

是弧前的中点，即立=而，

：.ZBOC=ZCOD=^0°,

NBAC=2/3OC=40°.

2

故答案为：40.

A

/7D

C

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都

等于这条弧所对的圆心角的一半.也考查了圆心角、弧、弦的关系.

12.（2021秋•南岗区校级期末）如图，将量角器和含30°角的一块直角三角板紧靠着放在

同一平面内，使O,C,B在一条直线上，且。C=28C,过点A作量角器圆弧所在圆的

【考点】含30度角的直角三角形；圆周角定理；切线的性质.

【专题】与圆有关的位置关系：推理能力.

【分析】首先设半圆的圆心为O,连接OE,OA,由题意易得AC是线段OB的垂直平分

线，即可求得NAOC=/ABC=60°,又由AE是切线，证明RtZ\AOE丝RtZiAOC,继而

求得/AOE的度数，则可求得答案.

：.OC=BC,

'：ZACB=90°,BPACVOB,

：.OA=BA,

：.NA0C=ZABC,

VZBAC=30°，

：.ZAOC=ZABC=60°,

是切线，

AZAE(9=90°,

AZAEO=ZACO=90°,

在RtAAOE和RtAAOC中，

fAO=AOi

1OE=OC'

；.RtZ\AOE丝RtZiAOC(HL),

.../AOE=/AOC=60°,

NCAE=360°-90°-90°-ZAOE-ZAOC=6^.

故答案为：60.

【点评】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质.此

题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

13.(2021秋•瑞安市期末)如图，是OO的直径，ADLBC于E,若DE=3,BC=8,

则OO的半径为空.

一6一

【考点】勾股定理；垂径定理.

【专题】圆的有关概念及性质：推理能力.

【分析】连接OC,如图，设。。的半径为r,先根据垂径定理得到CE=BE=4,再利用

勾股定理得到(r-3)2+42=/,然后解方程即可.

【解答】解：连接OC,如图，设。。的半径为r,

VAD1BC,

:.CE=BE=LBC=4,

2

在Rt^OCE中，0-3)2+42=，,

解得r=25.

6

即。。的半径为空.

6

故答案为：25

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧•也

考查了勾股定理.

14.(2021秋•龙江县校级期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形A80C是正方形，点

A的坐标为(1,1),国是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；匕芯是以点。为圆心,

04为半径的圆弧，工篇是以点C为圆心，。2为半径的圆弧，不总是以点A为圆心,

A43为半径的圆弧，继续以点3、0、C、A为圆心按上述作法得到的曲线A4iA2A3A4A53

称为正方形的“渐开线”，那么点42021的坐标是(2021,0).

【考点】规律型：点的坐标；弧长的计算.

【专题】圆的有关概念及性质；推理能力.

【分析】根据题意分别写出Ai…卷的坐标，根据规律解答.

【解答】解：观察，找规律：A(1,1),Ai(2,0),4(0,-2),心(-3,1),A4

(1,5),A5(6,0),A6(0,-6),Ai(-7,1),A8(1,9)…，

.•.A4〃=(1,4〃+l),4〃+i=(4〃+2,0),A4“+2=(0,-(4/7+2)),4〃+3=(-(4n+3),

1).

72021=505X4+1,

；.A2O21的坐标为(2021,0).

故答案为：(2021,0).

【点评】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是根据题意找出“/UNI，4〃+1),

A4”+I(4〃+2,0),A4.+2(0,-(4〃+2)),4”+3(-(4〃+3),1)”这一规律，解决该题

型题目时，结合画弧的方法以及部分点的坐标寻找出来点的排布规律是关键.

15.(2021秋•海淀区校级期末)如图，PA,PB是。O的两条切线，AC是。。的直径，NP

=50°,则NB4C的度数是25°.

CB

【考点】圆周角定理；切线的性质.

【专题】与圆有关的位置关系；推理能力.

【分析】连接BC,OB,根据圆周角定理先求出NC,再求NBAC.

【解答】解：连接8C,OB,

：AC是的直径，

8c=90°,

"：PA.P8是。。的切线，A、B为切点，

...NOAP=NO8P=90°,

：.ZAOB=\SO°-ZP=130°,

由圆周角定理知，/C=2/4O8=65°,

：.ZBAC=900-NC=25°

故答案为：25

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半

径是解题的关键.

16.(2021秋•那西县期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，4E是以为直径的半

圆的切线，则图中阴影部分的面积为_王卫

【考点】正方形的性质；切线的性质；扇形面积的计算.

【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；推理能力.

【分析】根据切线长定理得到EC=EF,根据勾股定理列式求出CE,根据扇形面积公式

计算，得到答案.

【解答】解：假设AE与以BC为直径的半圆切于点F,则AB=AF,

•••四边形A8C。为正方形，

ZBCD=90°,

；・EC与BC为直径的半圆相切，

:・EC=EF,

：.DE=2-CEfAE=2+CE,

在中，AE1=AD1+DE1,即(2+CE)2=22+(2-CE)2,

解得：CE=1,

2

.".D£=2-A=2,

22

••・阴影部分的面积=22--IXTTXI2-1X2X1=IZ2L,

2222

故答案为：

2

【点评】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半

径是解题的关键.

17.（2021秋♦营口期末）如图，A2是的直径，O为圆心，点C是半圆。上的点，若/

C48=4NC8A,点。是箴上任意一点，则/ADC的度数为108度.

【考点】圆周角定理.

【专题】与圆有关的计算：推理能力.

【分析】利用圆周角定理以及三角形内角和定理求出NA=72°,可得结论.

【解答】解：•••AB是直径，

/.ZACB=90°,

：.ZA+ZABC=90°,

■:ZCAB=4ZABC,

：.5ZABC=90a,

，/ABC=18°,NA=72°,

VZCDB+ZA=180°,

/.ZBDC=108°,

故答案为：108.

【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握圆周角定

理，属于中考常考题型.

三.解答题（共8小题）

18.（2021秋•武昌区校级期末）如图，在。。中，AB=AC=2n,ZBAC=60°,求OA的

长度.

A

【考点】圆周角定理；弧长的计算.

【专题】与圆有关的计算；应用意识.

【分析】首先根据圆周角定理求出/BOC=120°,再利用圆心角、弧、弦的关系定理以

及周角定义得到NAOB=NAOC=120。，然后根据弧长公式即可求出OA的长度.

【解答】解：•.•/BAC=60°,

AZBOC=120°,

vAB=AC=2n,

ZAOB=/AOC=360"-NB0C=120°,

2

...120"A=2m

180

.•.04=3.

故OA的长度为3.

【点评】本题考查了弧长公式，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理以及周角定义,

求出NAOB=NAOC=120°是解题的关键.

19.(2021秋•韩城市期末)如图，在△ABC中，以48为直径的。0交BC于点力，与C4

的延长线交于点E,的切线。尸与AC垂直，垂足为点凡

(1)求证：AB=AC；

(2)若AC=6,ZBA£=60°,求益的长.

【考点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算.

【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系：运算

能力；推理能力.

【分析】(1)根据切线的性质得出尸，即可得出OO〃AC,根据平行线的性质和

等腰三角形的性质即可证得结论；

(2)根据平行线的性质得出乙40。=/班£=60°,然后利用弧长公式即可求得.

【解答】(1)证明：如图，连接。。，

是00的切线，

：.OD1DF,

'：DFLAC,

：.OD//AC,

：.ZODB=ZACB,

'：OB=OD,

：.NODB=NOBD,

：.ZOBD=ZACB,

：.AB=AC；

(2)解：'J0D//AC,ZBAE=60",

二NAOD=NBAE=60°

\"AB=AC=6,

：.OA=3,

7T

二篇的长=以*3_=7T.

180

E

【点评】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，弧长的计算,

掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.

20.(2021秋•临江市期末)如图所示，正三角形ABC、正方形ABC。、正五边形ABCOE分

别是。。的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点”、N分别从点8、C开始，以相

同的速度在OO上逆时针运动.

(1)求图①中NAP8的度数；

(2)图②中NAP8的度数是90°,图③中NAP8的度数是72。

(3)若推广到一般的正〃边形情况，请写出NAPB的度数是一塞二

①②③

【考点】圆的综合题.

【专题】正多边形与圆；推理能力.

【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可.

【解答】解：(1);.△ABC是正三角形，

AZABC=60°,

•.•点M、N分别从点从C开始以相同的速度在。。上逆时针运动，

二NCBN,

：.4APN=NABN+NBAM=NABN+NCBN=N4BC=60°

；.NAPB=180°-ZAP7V=18O°-60°=120°；

(2)90°；72°；

(3)由(1)可知，所在多边形的外角度数，故在图"中，胆2

n

【点评】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边

形中的角NAPN的度数，然后得出"边形的N4PN的度数.

21.(2021秋•武昌区校级期末)请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹.(用

虚线表示画图过程，实线表示画图结果)

(1)如图1,在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请画出这个圆

的圆心；

(2)如图2,BC为OO的弦，画一条与BC长度相等的弦；

(3)如图3,△ABC为。。的内接三角形，。是A8中点，E是AC中点，请画出NBAC

的角平分线.

图1

【考点】圆的综合题.

【专题】圆的有关概念及性质;尺规作图；几何直观；应用意识.

【分析】(1)根据圆周角是直角，这个圆周角所对的弦是直径，画出两条直径即可得出

答案.

(2)连接08,0C,延长80交。。于。，延长C0交。。于A,连接A。，线段AO即

为所求作.

(3)连接CD,BE交于点T,作直线AT交BC于R,连接OR,延长OR交。。于F,

作射线AF,射线AF即为所求作.

点O即为所求作.

图1

(2)如图，线段AQ即为所求作.

(3)如图，射线AF即为所求作.

A

D,E

3~<

图3

【点评】本题考查作图-应用与设计，圆周角定理，三角形的外心，角平分线的判定等

知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

22.(2021秋•龙凤区期末)如图，。0是AABC的外接圆，AO是。。的直径，F是AO延

长线上一点，连接CD,CF,且C尸是。0的切线.

(1)求证：ZDCF=ACAD.

(2)探究线段CF,FD,用的数量关系并说明理由；

(3)若cosB=3,AD=2,求尸£)的长.

5

【考点】圆的综合题.

【专题】图形的相似；推理能力.

【分析】(1)根据切线的判定，连接OC,证明出OCLFC即可，利用直径所得的圆周

角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；

(2)可证明△/COs△切c,即可得出结论；

(3)由cosB=3,根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CO：AC：AC=3：4：5,

5

再根据相似三角形的性质可求出答案.

【解答】(1)证明：如图，连接。C,

'：AD是。0的直径，

/.ZACD=90°,

：.ZOCD+ZOCA=90°,

•••FC是的切线，

.*.ZDCF+ZOC£)=90°,

・,.ZOCA+ZDCF,

*：OC=OA,

：.ZCAD=ZOCA,

：・NDCF=/CAD；

(2)解：FC?=FD,FA,理由如下：

*：ZFCD=ZFAC,ZF=ZF,

.,.△FCD^AMC,

•-•—-FC_-—FDf

FAFC

：.FC2=FD'FA；

(3)解：,：ZB=ZADC,cosB=刍,

5

.".cosZADC——,

5

在RtAACD中，

VcosZy4DC=-=-^5-,

5AD

•型=3,

,•而了

由(2)知△FC£>s△硼c,

•.•-C--D---_---F-C---_---F--D--_-—3f

ACFAFC4

:.Fd=FD*FA,

设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+2,

又,；FC2=FD・FA,

即(4x)2=3X(3X+2),

解得x=6(取正值)，

7

.".FD=3x=^-.

7

B

,A

C

【点评】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三

角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答

的前提.

23.(2021秋•道里区期末)四边形ABCC为矩形，点48在。。上，连接OC,OD.

图1图2图3

(1)如图1,求证：OC=O£＞；

(2)如图2,点E在。。上，DE//OC,求证：D4平分/ECO；

(3)如图3,在(2)的条件下，DE与OO相切，0。交。。于点尸，点G在弧8尸上,

弧连接BG,若BG=3五,DF=2,求A3的长.

【考点】圆的综合题.

【专题】几何综合题；线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三

角形；矩形菱形正方形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推

理能力.

【分析】(1)连接OA,OB,如图，证明△AO力丝△BOC即可得出结论；

(2)过点O作OM_LC£＞于点M,利用平行线的性质和等腰三角形的三线合一即可得出

结论：

(3)连接08,OG,AG,OE,EF,设£F与AO交于点“，利用切线的性质定理可得

OELDE,进而得到OC±OE；利用弦切角定理和(2)的结论可得/A”E=45°；利用

平行线的性质可得/GAQ=NAHE=45°,利用圆周角定理可得/BOG=2/8AG=

90°,利用勾股定理可求得圆的半径为3,利用勾股定理可求。E的长；过点。作。

C。于点N,利用矩形的性质可得£W=0E=3,ON=DE=4,在RtaCCN中，利用勾股

定理可求得CD的长，则AB可得.

【解答】(1)证明：连接。4,0B,如图,

•：OA=OB,

：.NOAB=4OBA.

•；四边形ABC。是矩形，

：.AD=BC,ZDAB=ZABC=90°,

ZDAO=90a-AOAB,NOBC=90°-NOBA,

：.ZOAD^ZOBC.

在△OAO和△08C中，

rOA=OB

<N0AD=N0BC，

,AD=BC

：./\OAD^/\OBC(SAS).

：.OD=OC.

(2)过点。作OMLCD于点M,如图,

NDOM=NCOM=L/COD.

2

'COMVCD,ADYCD,

J.OM//AD.

：.NOOM=ZADO=AZCOD.

2

'：DE//OC,

：.NODE=NCOD.

ZADO=^ZODE.

2

即DA平分NED。；

(3)解：连接OB,OG,AG,OE,EF,设EF与AO交于点H,如图,

YOE是圆的切线，

：.OE±DE.

,COC//DE,

：.OE±OC.

：.ZEOF+ADOC^90°.

.,.AZEOF+AZCOD=45°.

22

/FED为弦切角,

：.NFED=LNEOF.

2

由（2）得：D4平分NE。。，NEDO=NCOD,

：.ZEDA^1ZCOD.

2

ZAHE=NFED+NADE,

：.ZAHE^^ZEOD+1.ZCOD=45O.

22

•弧FG=M4E,

C.AG//EF.

：.ZGAD=ZAHE=45°.

VZBAD=90°,

AZBAG=90°-ZGAD=45°.

,/ZBAG=AZBOG,

2

：.ZBOG=90°.

•：OB=OG,GB=3圾，

A0B2-K)G2=(3V2)2-

:.0B=0G=3.

即圆的半径为3.

：.OE=OF=3.

：.OO=OF+FD=3+2=5.

.".£>E=^OD2_OE2=4.

过点。作DNLCO于点N,

则四边形EON。为矩形.

:.DN=OE=3,ON=DE=4.

"：OC=OD=5,

：.CN=OC-ON=5-4=1.

在RtaCOV中，

CD=VDN2-H：N2=V32+12=^-

：.AB=CD=yflQ.

【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了矩形的判定与性质，圆周角定理，弦切角

定理，圆的切线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质全

等三角形的判定与性质，通过恰当的添加辅助线使已知条件之间产生联系是解题的关键.

24.(2021秋•南岗区校级期末)如图，四边形ABC。内接于00,NC=NB.

图1图2图3

(1)如图1,求证：AB=CD；

(2)如图2,连接80并延长分别交。。和CO于点尸、E,若CD=EB,CDLEB,求

tanZCBF；

（3）如图3,在（2）的条件下，在B尸上取点G,连接CG并延长交。0于点/,交AB

于H,EF：BG=1：3,EG=2,求G”的长.

【考点】圆的综合题.

【专题】圆的有关概念及性质；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理

能力.

【分析】（1）先证AZ）〃BC,进而可证四边形A8CC是等腰梯形，进而命题得证；

（2）根据垂径定理得，CE=/cD，根据锐角三角函数得出结果；

（3）连接CF,ZBCF=900,ZBEC=90°,可证/EC/u/CBE,故可得』L」，

CE2

设EF=x,CE=2x,则BE=4x,BG=3EF=3x,得出EG=BE-8G=x,于是EF=EG

=x=3,因为NECG=NECF=NCBE,进而证得NHBG=/BCH,于是

从而.•.跑图一^==3,进一步得出GH的值.

BHCH675275

【解答】（1）证明：；四边形ABCD是的内接