《机器人技术-建模、仿真及应用》课件 第三章速度与静力学

ROBOT机器人技术——建模、仿真及应用速度与静力学第三章目录机器人连杆速度PART.1

雅可比矩阵PART.2静力学PART.3机器人连杆速度PART.1机器人连杆速度操作臂是一个链式结构，每一个连杆的运动都与它的相邻杆有关。由基坐标系依次计算各连杆的速度，连杆

的速度就是连杆

的速度加上那些附加到关节

上的新的速度分量。连杆角速度就等于连杆

的角速度加上一个由于连杆

的角速度引起的分量，参照坐标系

描述关系可写成：注意：通过旋转矩阵绕关节

的旋转轴进旋转变换，变换为在坐标系

中的描述后，将两个角速度分量相加。在上式两边同时左乘

得到连杆

的角速度相对于

坐标的表达式:机器人连杆速度坐标系

原点的线速度等于坐标系

原点线速度加上一个由于连杆

的角速度引起的新的分量。由于

在坐标系

中是常数，因此有：同时左乘对于关节

为移动关节的情况，相应的关系为：如图a）所示是具有两个转动关节的操作臂。计算出操作臂末端的速度，将它表达成关节速度的函数。给出两种形式的解答，一种是用坐标系{3}表示的，另一种是用坐标系{0}表示的。例解：运用式

和式

从基坐标系{0}开始依次计算出每个坐标系原点的速度，其中基坐标系的速度为0，由于式

和式

将应用到连杆变换，因此先将它们计算如下：注意上式关节3的转角恒为0°。坐标系{2}与坐标系{3}之间的变换不必转化成标准的连杆变换形式。对各连杆使用连杆速度公式，计算如下：机器人连杆速度如图b）所示坐标系{3}固连于操作臂末端，求用坐标系{3}表示的该坐标系原点的速度。对于这个问题的第二部分，求用坐标系{0}表示的这些速度。同以前一样，首先将坐标系固连在连杆上（如图b）。例b）解：式

即为坐标系{3}表示的该坐标系原点的速度。同时，坐标系{3}的角速度由式

给出。为了得到这些速度相对于固定基坐标系的表达，用旋转矩阵对它们作旋转变换，即：通过这个变换可以得到：机器人连杆速度雅可比矩阵PART.2雅可比矩阵雅克比矩阵可将单个关节的微分运动或速度转换为感兴趣点的微分运动或速度，也可将单个关节的运动与整个机构的运动联系起来。意义：二自由度平面关节型机器人(2R机器人)，端点位置X、Y与关节θ1、θ2的关系:例即：雅可比是一个把关节速度向量变换为手爪相对基坐标的广义速度向量v的变换矩阵。雅可比矩阵将其微分得写成矩阵形式令式中d=Jdθ雅可比矩阵对于n自由度机器人，关节变量可用广义关节变量q表示，q=[q1，q2，…qn]。转动关节：qi=θi，移动关节：qi=didq=[dq1，dq2，…dqn]，反映关节空间的微小运动。机器人末端在操作空间的位置和方位用末端手爪位姿X表示，是关节变量的函数，X=X(q)，为6维列矢量。dX=[dX，dY，dZ，△φX，△φY，△φZ]反映操作空间微小运动，由机器人末端微小线位移和微小角位移(微小转动)组成。雅可比矩阵因此，J(q)—为n自由度机器人速度雅可比，是6xn维偏导数矩阵，可表示为J(q)雅可比矩阵利用机器人速度雅可比可对机器人进行速度分析，左、右两边同时除以dt得：或表示为：v—机器人末端在操作空间中的广义速度—机器人关节在关节空间中的关节速度J(q)—确定关节空间速度与操作空间速度v之间关系的雅可比矩阵。雅可比矩阵2R机器人的J(q)是2x2矩阵，若令J1，J2分别为雅可比的第1列矢量和第2列矢量，则原式可写为：总的端点速度v为这两个速度矢量的合成。因此，机器人速度雅可比的每一列表示其他关节不动而某一关节运动产生的端点速度。

——仅由第一个关节运动引起的端点速度;

——仅由第二个关节运动引起的端点速度;雅可比矩阵二自由度机器人手部的速度为：反之，若给定机器人手部速度，相应的关节速度为：假如已知的及是时间的函数，即，，则机器手部瞬时速度为：——机器人逆速度雅可比。如图二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为l1=l2=0.5m。设在某瞬时θ1=30o，θ2=-60o

，求相应瞬时的关节速度。例二自由度机器人速度雅可比为：逆雅可比为：雅可比矩阵雅可比矩阵如图二自由度机械手，手部沿固定坐标系X0轴正向以1.0m/s速度移动，杆长为l1=l2=0.5m。设在某瞬时θ1=30o，θ2=-60o

，求相应瞬时的关节速度。例由于，可得且，即vX=1m/s，vY=0，因此对于平面运动的机器人，矩阵J的行数恒为3，列数为机械手的关节数目，手的广义位置向量[X，Y，φ]T均容易确定，且方位φ与角运动的形成顺序无关，可采用直接微分法求φ，非常方便。三维空间作业的六自由度机器人的雅可比矩阵J

行数恒为6(沿/绕基坐标系的变量共6个)。前三行代表手部线速度与关节速度的传递比后三行代表手部角速度与关节速度的传递比每列代表相应关节速度对手部线速度和角速度的传递比雅可比矩阵如果希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，则应计算出沿路径每一瞬时相应的关节速度。当雅可比的秩非满秩时，求解逆速度雅可比J

–1较困难，甚至可能出现奇异解，相应操作空间的点为奇异点，无法解出关节速度，机器人处于退化位置。雅可比矩阵内部奇异形位

两个或两个以上关节轴线重合时，机器人各关节运动相互抵消，不产生操作运动。这时相应的机器人形位称为内部奇异形位。机器人的奇异形位分为两类：边界奇异形位当机器人臂全部伸展开或全部折回时，使手部处于机器人工作空间的边界上或边界附近出现逆雅可比奇异，机器人运动受到物理结构的约束。这时相应的机器人形位称为边界奇异形位。机器人处在奇异形位时会产生退化现象，丧失一个或更多自由度。意味着在工作空间的某个方向上，不管怎样选择机器人关节速度，手部也无法实现移动。雅可比矩阵上例中当l1l2s2＝0时无解。例由于l1≠0，l2≠0，则在θ2＝0或θ2＝180°时，二自由度工业机器人逆速度雅可比J-1奇异。此时机器人二臂完全伸直，或完全折回，即两杆重合，工业机器人处于奇异形位。此奇异形位下，手部处与工作域的边界上，该瞬时手部仅能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能沿其它方向运动，退化一个自由度。雅可比矩阵如图所示的平面三连杆机械臂，求其雅可比矩阵。例解：平面三连杆机械臂的雅可比矩阵表示为：转动关节轴的单位矢量在坐标系{0}的投影为。不同连杆的位置矢量在坐标系{0}的投影分别计算如下：根据如上位置矢量关系可计算出雅可比矩阵，由于只有3个非零矢量是相关的，故平面三连杆机械臂的雅可比矩阵如下：雅可比矩阵如图所示的二自由度机械手，底座与地板固定。该机械手杆长、都为0.5，关节角

1°、1111

°，机械手沿固定坐标系1以速度1恒定移动，输出相应关节角速率，对其进行仿真计算。解：按所给条件进行仿真计算如下：L1=0.5；L2=0.5；vx=1；vy=0theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]p=inv(J)*[vx;vy]w1(i)=p(1,1)*180/piw2(i)=p(2,1)*180/pii=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,1,2,3,4,5]plot(t,w1,'r',t,w2,'b')gridon;title('关节角速率');例关节角速率输出图雅可比矩阵静力学PART.3机器人工作状态下与环境之间产生相互作用的力和力矩。机器人各关节的驱动装置为关节提供力和力矩，通过连杆传递至末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操作臂力控制的基础。静力学静力学为相邻杆件所施加的力和力矩定义以下特殊的符号：为连杆

施加在连杆

上的力。为连杆

施加在连杆

上的力矩。如图所示为施加在连杆上的静力和静力矩（除了重力以外）。将这些力相加并令其和为0，有：将坐标系{}原点的力矩相加，有：静力学从末端连杆到基座进行计算就可以计算出作用于每一根连杆上的力和力矩，从高序号连杆向低序号连杆进行迭代求解，结果如下：用坐标系

相对于坐标系

描述的旋转矩阵进行变换，就得到了最重要的连杆之间的静力“传递”公式：为了求出保持系统静平衡所需的关节力矩，应计算关节轴矢量和施加在连杆上的力矩矢量的点积：是移动关节的情况，可以计算出关节驱动力为：静力学例L1=0.5；L2=0.5Fx=4；Fy=3theta1(1)=30theta2(1)=-60fori=1:6t=0ift<6J=[-L1*sind(theta1(i))-L2*sind(theta1(i)+theta2(i)),-L2*sind(theta1(i)+theta2(i));L1*cosd(theta1(i))+L2*cosd(theta1(i)+theta2(i)),L2*cosd(theta1(i)+theta2(i))]q1(i)=J(1,1)*Fx+J(2,1)*Fy如图所示的二自由度机械手，底座与地板固定。该机械手杆长、都为0.5，关节角111°、1111°，机械手端点力为11111，11输出相应的关节力矩，对其进行仿真计算。q2(i)=J(1,2)*Fx+J(2,2)*Fyp=J.'*[Fx;Fy]i=i+1t=t+1theta1(i)=p(1,1)*180/pitheta2(i)=p(2,1)*180/piendendt=[0,