三角函数解析版公开课教学设计课件资料

专题11三角函数

【考纲要求】

1.了解任意角和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，理解任意角三角函数的定义.

sinx

22=tanx

2.理解同角三角函数的基本关系式：sinx+cosx=1,cosx-

3.能利用单位圆中的三角函数线推导出江a,7iia的正弦、余弦、正切的诱导公式.

4.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式.

5.能画出、=3足右y=cosx9y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.

6.了解函数y=4sin(s+8)的物理意义；能画出y=Asin(s+9)的图象.

一、任意角和弧度制及任意角的三角函数

【思维导图】

角的概念角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。--------------

名你定义图示

正角一条射线绕其玳点按逆■+针方向旋转电成的角

负角一条射线统其玳&核♦”针方向成州册成的角

*角一条触或没有做任何被柱册成的角O*A(B>

角的分类7-------7-----------------------------------------------------------------------

——-~~Gf终边位置八象限角和轴线角

--------------

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合

S={BIB=a+k・360°,kez),即任一与角a终边相同

的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

终边相同的角。

定义用度作为单位来度量角的单位制

角度制

1度的角普于周角的」一

1度的角

360

定义以孤度作为单位来度量角的单位制

孤度制

1孤度的角长度等于半径长的圄M所对的剧心角

度量角的两种制度e

设扇影的半径为盗长为1,a(Ka<2n)为其因心角,则

①<长公式，l^aR.②扇彩面积公式，$=拙=料：.

弧长与扇形面积公式€>

角度化度训度柄度

360°=2>rrad2nrad=360°

180°=nradjrrad=1800

1ed=R%730»

10=—radM).O1745rad

ISO

蝴x忐=砌数僵1=蟋

角度与弧度的互化e

一全正，二正弦，三正切，四余弦

第一象限角的各三角函数值都为正；

记忆一第二象限角的正弦值为正，其余均为负;

三角函第三象限角的正切值为正，其余均为负:

数值正第四象限角的余弦值为正，其余均为负

负正弦看y轴，余弦看x轴，正切一三正

三

角

函

数

的

概

念

三-------------------------------------0M

角如图(1)PM表示角的正弦值，叫做正弦线.0M表示角的余弦值，叫

函做余弦线.

数如卤(2).AT表示角的正切值，叫做正切线.

线注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.

终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一

011(。+2AJT)=sina

cos(a+2Jbr)=cosa

tan(a+2kn)=tana

【考点总结】

1.角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

1按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

(2)分类〈

'‘I按终边位置不同分为象限角和轴线角.

(3)终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合5=｛夕W=a+2E,k®

Z).

2.弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

⑵公式：

|a|=:(/表示弧长)

角a的弧度数公式

rad;源一（兀）°

角度与弧度的换算①1°-i8o②1

弧长公式l=\a\r

扇形面积公式S=//r=习㈤产

3.任意角的三角函数

(1)定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sina=y,cosa=x,tana=*xW0).

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式

【思维导图】

关系式

平方关系$in2a+co$2a=l同一个角a的正弦、余弦的平方和等于1

^=uH+fct,*ez）

na同一个角a的正弦、余弦的商等于角a的正切

cosa

化简、证明的常用方法

①化切为弦，减少函数名称.

②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号.

③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系,

以降嘉化简

角

同知sin（球cosa

角22

三>sina+cosa1

数

函知cos遂sina

基

的

关

本

系

口诀—奇变偶不变，符号看象限

-----------------------------------

(1)大角变小角，趣过360。或2x；

粒国(24或90。的倍数即1,keZ

使用氾围八22

奇变偶不变，符号看象限解释如下:

公奇变日的奇数倍，三角函数要变名称;

式

偶不变:1的偶数倍，三角函数要不变名称

符号看象限：三角函数名称前面是否加

解析°看原函数在角所在象限的正负

6鱼化正”一用公式一改三来转化.

②-大化小”——用公式一将角化为0。到360。冏的角.

剑小化短”——用公式二或•四将大于90。的角转化为锐角.

任意角三角④-锐求值”一样到锐角三角晶数后求值.

函数值的步骤G------------------------------------------------------------

【考点总结】

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系：=tan_a(a旁+hr,ZWZ).

(A乙

2.三角函数的诱导公式

公式—二—四五六

2E+。It兀1

角n+a-an-a2~a,十a

(Z£Z)

正弦sina-sin_a-sin_asin_acos_acos_cc

余弦cos_a-COS_C(cos_a-cos_asin」-sin_«

正切tanatan_a—tan_a-tan_a

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

三'三角恒等变换

【思维导图】

sin(a±/7)=slnaco第士cowtsin/?；

cos(ai/y)=cowzcos/y*sinasit^；

m(a土的=：♦■nafn0

两角和差〜1♦tanatan”

------------O

sin2a=Zsinacosa

cos2a-coda-sin'a=2cos'a-1=1-Zsin'a

_liana

tan2a=

1-lan2a

恒等

6成期1_1-c®®2a

变化

*”公式

Unacosa-sin2a

正切的变射公民

laDa+tanp=tu(a+pXl~tan<xfanp)

公式变形〜lana—tanp1an(a-RXl+tanatanR

------------O

①当“已知角”有两个时，“所求角”表示为两个“已知角”的和

或差的形式

’②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的

给值(式)

求值和或差的关系、然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”

<关俄是求出所东角的某一三角房数值，选取一瓶要根据所求角的篦国来修定:

多所菱角芝图是(0,w)<(n,2")时，选取求余费值，

三Rtf,选取氽正弦值.

多所求角篦禺是

角给值(式)

恒求角

等

变

看导公式

换“・二•

(1)找构殊角：3倍角关系一^^同传角•-三，鼎”转殊角

非竽n两角和差

(2)角的关盖：题目束的角="殊角与条件的角帕加成

(3)给三角名：题目求什么给什么

角的(4)公式化再：利用恒等变化化H

拼凑0-------------------------------

①执因索果法：证明的形式一般是化繁为简.

②左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子.

③拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除

它们之间的差异，简言之，即化异求同.

④比较法：设法证明“左边一右边=0"或“左边/右边=1”.

⑤分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，

直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立.

三角恒等

式证明0-

【考点总结】

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

C(a—m：cos(a—p)=cos_acos_^+sin_«sin_£.

C(«4j7)：cos(a+夕)=cos_acos_/?—sin_«sin_R.

S(a+fl)：sin(a+j3)=sin_acos_/?+cos_<zsin_p.

S(a-fi)：sin(a—p)=sin_acos_/?—cos_asin_p.

T(«+A)：tan(a+0=]_tan；展n久°，夕，a+A^+祈，kWZ

tana—tanBf八八兀，，,\

lan(a—£)=[+[胪,P，a.%+尿,k*.

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

S2a：sin2a=2sin_acos_a.C2acos2a—cos2a-sin2a=2cos2a_1=1—2sin2a.

2tanajikn

T2a：tan2a—l-ta/aRT'

四、三角函数的图象与性质

【思维导图】

(0,0),J1),(再0),(当,F(250)

正弦函数

A22

五点画图

余弦函数(0,1),仁,0),(小一1),(把,0),(2/1)

-、22

对于函数f(x),存在一个非零常数T,当x取定义域

三'内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)

最小正周期周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数

定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足

f(x+T)=f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数

周

期图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期,

特别是对于含绝对值的函数一般采用此法________________

求解方法

公式法：对形如j，=.4sln(3v+p)和F=.4COS(WLT+,)

(其中.3户是常数，且.4/0),可利用丁=言来求

三

角模型：y=Asin/cos/tan((i)X+<p)+B

函

3若负则变正，A、闲号，求增代增，求减代减

数单调性

性A、3异号，求增代增，求减代减，cox■罐体代入

质

注意：弦闭区间切开区间

模型)，=Adn/cos'tan(ax+gf)+B

(1)B、那响奇偶性

(2)6/0,正弦正切为非奇非偶

奇偶性

以。时，尸/…奇偶互变；"2奇偈不变

前提：定义域关于原点对称

其他性质按函数奇偶性的判断方法

三角函化为y=Asin(cox+f)+Bsjy=Acos((ox+▼)+B

对称性+▼=2(x)+kw(keZ),求x

对称中心的横坐标,则只需今3、+g=kx(kwZ),求、，对称中心(x,B)

三角函数型所利用三角函数性质解答

值域

一元二次型利用一元二次函数性质解答

【考点总结】

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

在正弦函数产sinx,%e［0,2句的图象上，五个关键点是：（0,0）,百1）,（兀，0）,（y,-1）,（2兀，0）.

在余弦函数y=cosx,xC［O,2兀］的图象上，五个关键点是：（0,1）,40）,（兀，-1）,（李，0）,（2n,I）.

五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数y=sinxy=cosxj=tanx

yy成拜

图象\i/\1/r

{4r£R,且xWE+

定义域RR

Jtez}

值域[-1.1J[-1.1JR

奇偶性奇函数偶函数奇函数

在［-/+2E,/+

在［2加一兀，

2E］/GZ）上是递增

2E］伙CZ）上是递增在（一，+E,/+

函数，在

单调性函数，在［2E,2E+

g+2E,竽+E）（kez）上是递增函

兀］伙CZ）上是递减函

数

2E］/eZ）上是递减数

函数

周期是2E（%GZ且周期是2阮（kez且周期是E（%ez且

周期性20）,最小正周期是斤#0）,最小正周期是y0）,最小正周期是

2兀2兀71

对称轴是x=5+对称轴是》=

对称中心是年，

E（AGZ）,对称中心是

对称性

E（Z£Z）,对称中心是

71

（E+丁0）aez）O）uez）

（E,0）（/：ez）

五、函数y=Asin（"x+p）的图象及应用

【思维导图】

类型一利用诱导恒等变化进行化一

【考点总结】

1.函数)，=Asin((ox+9)的有关概念

振幅周期频率相位初相

y=Asin(5+g)

72兀f=L=生

(A>0,3>0)AT——cox+(p

G)JT2式9

2.用五点法画y=Asin(3x+。)一个周期内的简图

用五点法画y=Asin(ox+?)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示:

7t3兀

CDx+(p0兀2兀

2T

71(p兀一夕3K(p2N—(p

X

CD2a)coCD2cocoCD

y=As\n((ox+(p)0A0-A0

3.由函数y=sinx的图象通过变换得到产Asin(ox+0)(A>0,3>0)的图象的两种方法

法一法二

一

步

骤

LL-J

步

骤

2

一

-

步

骤

3

一

-

步

骤

4

一

【题型汇编】

题型一：任意角的三角函数

题型二：同角三角函数的基本关系

题型三：三角函数的诱导公式

题型四：三角函数恒等变换

题型五：三角函数的图象和性质

【题型讲解】

题型一：任意角的三角函数

一、单选题

1.(2022•北京市八一中学一模)在平面直角坐标系中，角6以Qx为始边，终边经过点(-3,4),则cos，=

()

*43

A.-B.-C.--D.—

5555

【答案】C

【解析】

【分析】

根据余弦函数的定义进行求解即可.

【详解】

设点P(-3,4),因为|OP|=J(_3y+42=5,所以cosO=V=-?

故选：C.

3

2.(2022•北京房山,二模)已知cosa=3,。是第一象限角，且角d夕的终边关于y轴对称，则ta"=()

【答案】D

【解析】

【分析】

根据cosa求出tana,根据角a,/3的终边关于y轴对称可知tan/=-tana.

【详解】

cosa=°,a是第一象限角，/.sina=Vl-cos2a=—,tana-S*na--,

55cosa3

4

•.•角a,夕的终边关于y轴对称，tan^=-tana=--.

故选：D.

3.（2022.山东潍坊.二模）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A&,2）,B（x2,4）

在角a的终边上，且%一9=1，贝！Jtana=（）

A.2B.yC.-2D.——

【答案】C

【解析】

【分析】

2-4

根据题意，得到直线AB的斜率为2=^^=-2,进而判断a所在象限，即可求解.

王一“2

【详解】

2-4

由已知得，因为点A（x,,2）,3（%,4）在角a的终边上，所以有线A8的斜率为左=------=-2,所以，明显

X—X?

可见，a在第二象限，tana=-2.

故选：C

4.（2022.山西临汾.一模（文））已知4角的终边过点（41130。,-31130。），则011。的值为（）

A.--B.1C.一也D.①

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案.

【详解】

故选：c.

5.（2022・河南•一模（文））己知a是第二象限角，则（）

A.cosa>0B.sina<0C.sin2a<0D.tana>0

【答案】C

【解析】

【分析】

由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.

【详解】

山a是第二象限角，可得costzcO,sina>0,tana<0

sin2a=2sinacosa<0

故选：C

6.（2022•山东济南・二模）如果角a的终边过点P（2sin30,-2cos30）,贝Usina的值等于（）

A.1B.--C.-且D.一更

2223

【答案】C

【解析】

先计算三角函数值得石），再根据三角函数的定义$拘夕=^"=，77求解即可.

【详解】

解：由题意得它与原点的距离/■=，1+（#了=2,

所以sina=上=—=--.

r22

故选：C.

7.（2022•河北石家庄•一模）若角a终边经过点（-2,1）,则cosa=

A.一且B.--C.—D.—

5555

【答案】B

【解析】

【详解】

分析：利用三角函数的定义，即可求出.

详解：角a终边经过点（-2,1）,则7（一2『+1=后

由余弦函数的定义可得cosa='=-型.

r5

故选B.

点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.

二、多选题

1.（2022・湖北•孝昌县第一高级中学三模）已知角a的终边经过点尸（8,3cosa）.则（）

1c7

A.sina=-B.cos2a=—

39

.夜2>/2

C.tana=±——D.cosa=------

43

【答案】ABD

【解析】

【分析】

.3cosa8

根据同终边角的正弦和余A弦可知sma=7,、cosa=7-------------=,然后解出方程并判断

V64+9cos*av64+9cosa

sintz>0,coscr>0,逐项代入即可.

【详解】

解：由题意得：

如图所示：

\0P\=^82-t-(3cosa)2=，64+9cos2a

.IPQl3cosa\0Q\8

/.sina=\----p,cosa=\；=-/

|。。|V64+9cos2a|。。|V644-9cos2a

.tsinaJ64+9cos2a=3cosa，即sin~a(64+9cos-a)=9cos~a

.•・sin2a[64+9(1-sin2a)]=9(1-sin2a),即9sin4a-82sin2a+9=0

解得：sin2a=9(舍去)或sin2a=：

cosa>0

/.sina>0

sina="，故A正确；

r.cosa=冬生，故D正确；

3

20丫?，故正确;

.二cos2a=cosa-sin-a=B

sina3V2

tana=-------=T^=—,故C错误•

cosa2V24，以L珀夙，

故选：ABD

题型二：同角三角函数的基本关系

一、单选题

3

1.(2022•宁夏・固原一中一模(文))若cosa=不，且。在第四象限，则tana=()

43「3厂4八4

A.-B.——C.-D.——

4433

【答案】D

【解析】

由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解.

【详解】

3

解：・.,cosa=w，且a在第四象限，

cos-a=-—,

cosa3

故选：D.

2.(2022•辽宁•沈阳二中二模)若3sina+cosa=0,则—~=()

cos-a+sin2a

1052

A.—B.-C.-D.-2

333

【答案】A

【解析】

先由3sina+cosa=0求出tana=-；,再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子

化简，即可得出结果.

【详解】

因为3sina+cosa=0,所以tana=-；，

、,,1十］

,,,,1sin2a+cos2atan%+lg10

因止匕——---------=——---------------=---------=2——=—.

cos2cr+sinlacos2<7+2sincosa12tana>23

3

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型.

I7T7T

3.(2022•黑龙江♦哈九中三模(文))已知sin2a="且］<av］,则cosa-sina二()

A.gB.--C.--D.B

2222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用二倍角公式结合平方关系得(cosa-sine?=1,利用?<£<］开方取负值即可

【详解】

sin2a=2sinacosez=—,sin2ez+cos2a=l,(cosa-sincr)2=1--=—,

444

71TV.G

—<a<cosa-sina=------，

322

故选：C.

4.（2022・江西萍乡•三模（文））已知tan®=g,则sin，cos〃=（）

A.2B.二C.§I

555

【答案】A

【解析】

【分析】

sinOcos。

山sin0cos0=分子分母同除以COS?。，即可求出结果.

sin20+cos20

【详解】

sinOcos。lan。

因为sinOcos"

sin20+cos20tan26+1

Xtan^=—,所以sin8cosg=一一2

21+15

4

故选：A.

5.（2022•广东广州•三模）已知sinx+cosx=孝，若xe（0,7t）,则cos2x的值为（）

A.1B.BC,--D.-立

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

将sinx+cosx=^^两边平方得：2sinxcos卡-；<0,结合sinx+cosx='^>0,求出x的范围，再利

222

用cos22x+sin22x=1求解即可.

【详解】

解：将siar+cosx='Z两边平方得：2sinxcosx=-^-<0,

22

JT

所以冗），

5

又因为siar+cosx=——>0,

2

r-LII/兀3兀、3兀、

所以X£（］,―）,2x£（K,—）,

又因为sin2x=-y,

所以COS2JC=--71-sin22x=-y--

故选：D.

6.（2022•江西南昌・三模（文））若角a的终边不在坐标轴上，Ksina+2cosa=2,则tanc=（）

A.-B.-C.|D.-

3432

【答案】A

【解析】

【分析】

结合易知条件和同角二角函数的平方关系即可求出cosa,从而求出sina,根据tana=%经即可求得结果.

cosa

【详解】

sma+cosa-\3„

<=>cosa=1或cosa=l,

sina+2cosc=25

3

丁a的终边不在坐标轴上，，cosa=1，

故选：A.

7.（2022♦广西南宁♦二模（文））若a是钝角且sina=g,贝ijtana=（）

A.--B.叵C.一也D.立

4422

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出cosa,再根据商数关系求出tana即可.

【详解】

因为a是钝角，