中考初中数学必考：三角形、四边形、圆部分辅助线做法全总结

初中数学必考：三角形、四边形、圆部分辅助线做法全总结

三角形部分

1.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不

出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线

段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质

证题.

例:|如图，已知。、£为内两点，求证：AB+AOBD

+DE+CE.

证法（一）：将。E向两边延长，分别交/夕、4。于A/、N

在△NMN中，AM+AN>MD+DE+NE①

在二BDM中、MB+MD>BD②

在△CEN中，CN+NE>CE③

①+②+③得

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

：,AB+AC>BD+DE+CE

证法（二）延长8。交ZC于厂,

延长。£交8月于G,

在AABF和△G9C和△GO£中有，

①4B+AF>BD+DG+GF

②GF+FOGE+CE

@DG+GE>DE

.,・①+②+③有

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+

DE

:・AB+AC>BD+DE+CE

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助

线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角

形中去然后再证题.

练习：已知：如图夕为A48c内任一点，

求证：^AB+BC+AQ<R4+PB+PC<AB+BC+AC

2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的

不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构

造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处

在内角的位置上，再利用外角定理证题.

例:已知。为△ABC内任一点，求证：ZBDOZ.BAC

证法（一）：延长8。交4。于反

VZBDC>AEZ)C的外角,

：.ZBDC>Z.DEC

同理：ZDEOABAC

：.ZBDOZBAC

证法（二）：连结人。并延长交于产

丁NE"是A48。的外角，

/BDF>/BAD

同理NCQ厂〉ACAD

：.ZBDF+ZCDF>/BAD+/CAD

即：ABDOABAC

3.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.

例:已知，如图，4。为A48C的中线且Nl=Z2,N3=Z

4,

求证：BE+CF>EF

B

DC

证明：在N上截取。N=O8,连结NE、NF,贝IJDV=OC

在ABDE和△NDE中，

DN=DB

Z1=Z2

ED=ED

：.ABDE义ANDE

：.BE=NE

同理可证：CF=NF

在AEFN中,EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

4.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全

等三角形.

例:已知，如图，4。为的中线，且Nl=Z2,Z3=

Z4,求证：BE+CF>EF

证明：延长ED到/，使。/=。笈连结CM、FM

/\BDE和△COM中,

BD=CD

Z1=Z5

ED=MDM

:・4BDEmXCDM

：.CM=BE

又・.・N1=Z2,Z3=Z4

N1+N2+N3+N4=180。

AZ3+N2=90。

即N£Q/=90。

AZFDM=NED"90。

△ED尸和&1〃）/中

ED=MD

ZFDM=ZEDF

DF=DF

:・WDF丝XMDF

：.EF=MF

•・•在△CMF中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此题也可加倍ED,证法同上）

5.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.

西已知，如图，4。为的中线，求证：AB+AO2AD.

证明：延长4。至瓦使。£=4。连结

FD为4ABC的中线

BD=CD

A

在A4C。和中

BD=CD'、'1«/

<，

Z1=Z2E

AD=ED

・•・AACD咨AEBD

•・•LABE中有4B+BE>4E

：,AB+AC>2AD

6.截长补短作辅助线的方法

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段。、b、c、”有下列情况之一时用

此种方法：

①a>b

②a七b=c

③a土b=c^d

雷例:已知，如图，在△Z8C中，AB>AC,Zl=Z2,尸为

上任一点，

求证：AB-AOPB-PC

证明：⑴截长法：在45上截取力N=4C连结PN

在△力尸N和△4PC中,

AN=AC

Nl=N2

AP=AP

・•・LAPN沿AAPC

：.PC=PN

丛BPN中有PB-PC〈BN

：.PB-PC<AB-AC

⑵补短法：延长/C至M,使=连结PU

在△ZBP和△ZV中

AB=AM

Z1=Z2

AP=AP

・•・AABP义AAMP

：.PB=PM

又•・•在△PCM中有CAf>PM-PC

：.AB-AC>PB-PC

练习：1.已知，在△/5C中，NB=60。,，。、CE是△43C的角

平分线，并且它们交于点O

求证：AC=AE+CD

2.已知，如图，AB//CDZ1=N2,N3=Z4.

求证：BC=AB+CD

7.条件不足时延长已知边构造三角形.

例:已知于4,BCBD于B

求证：AD=BC

证明：分别延长以、CB交于点E

*：ADVACBCLBD

；,/CAE=ZDBE=900

在XDBE和中

/DBE=/CAE

BD=AC

NE=/E

:.4DBE丝ACAE

:・ED=EC,EB=EA

：.ED-EA=EC-EB

：.AD=BC

8.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问

题.

例:已知，如图，AB//CD,AD//BC

求证：AB=CD

证明：连结4。（或8。）J

,:AB〃CD、AD//BC'%

AZI=Z2

在△Z8C和△CZU中，

Zl=Z2

AC=CA

Z3=Z4

・•・AABCmACDA

:・AB=CD

练习：已知，如图，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求证：BE=DF

9.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结

为“垂直加平分出等腰三角形

例:已知，如图，在放中，AB=AC,ZBAC=90°,Z

1=N2,的延长线于E

求证：BD=2CE

证明：分别延长b4、CE交于F

•:BE1CF

:・NBEF=/BEC=9。。

在ABEF和△8EC中

Zl=Z2

BE=BE

/BEF=/BEC

：.△BEFQABEC

：.CE=FE=LCF

•；/BAC=90。，BE上CF

：.ABAC=ZCAF=90°

Z1+ABDA=90°

Z1+NBFC=90。

ZBDA=/BFC

在和△4CF中

ABAC=ZCAF

ZBDA=/BFC

AB=AC

：.LABD义AACF

：.BD=CF

：.BD=2CE

练习：已知，如图，NACB=3/B,N1=N2,CQ_L4D于。

求证：AB-AC=2CD

10.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接

起来构造全等三角形.

例:已知，如图，AC.8。相交于。，^AB=DC,AC=BD,

求证：N/=ZD

证明：（连结8c过程略）

11.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题

提供条件.

例:已知,如图，AB=DC,ZA=ZD

求证：ZABC=ZDCB

证明：分别取4。、8C中点N、M

连结NB、NM、NC（过程略）

12.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用

角平分线上的点到角两边距离相等证题.

例:已知，如图，Z1Z2,P为BN上一点、,KPDA.BC

于。，AB+BC=2BD,

求证：NBAP+ZBCP=180。

证明：过月作PEJLA4于£

■:PDLBC,Zl=Z2

:・PE=PD

在RtABPE和Rt^BPD中

BP=BP

PE=PD

:.RtABPE义RtABPD

：.BE=BD

■:AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE

：.AE=CD

•:PELBE,PDA.BC

ZPEB=ZPDC=90°

在APE4和△PDC中

PE=PD

ZPEB=ZPDC

AE=CD

：.△PEAQ4PDC

:・/PCB=/EAP

,/ZBAP+NEAP=180°

：.ZBAP+ZBCP=180。

练习：1.已知，如图，PA.PC分别是A48C外角NM4C与N

NC4的平分线，它们交于P,

。。_15以于〃，PF1BN于F,求证：8P为NM8N的平分线

2.已知，如图，在△/BC中，N/4C=100。，ZACB=20°,CE

是N/C8的平分线，。是4c上一点，若/。8。=20。，求N

CED的度数。

13.有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

例:已知，如图，AB=AC,8。_1_力。于。

求证：ZBAC=2ZDBC

证明：（方法一）作N8/C的平分线4交BC于E、则N1

=N2="BAC

^9：AB=ACEC

：.AEVBC

：.Z2+ZACB=90°

'：BDLAC

：.ZDBC+ZACB=90°

，N2=ZDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）过力作于E（过程略）

（方法三）取8C中点及连结力E（过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例:已知，如图，A48C中，AB=AC,。为8C中点DE上

AB^E,DFLAC^F,

求证：DE=DF

证明：连结力D

•・•。为8c中点

・•・BD=CD

又・・78=4C

：.AD平分NA4C

*：DELAB,DFLAC

・•・DE=DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例:已知，如图，A48C中，AB=AC,在"延长线和/C上

各取一点£、F,使4E=4F,求证：EFLBC

证明：延长BE到N,使4N=4氏连结CN,则/B=/N=NC

AZB=ZACB,ZACN=ZANC

*：ZB+ZACB+ZACN+ZANC=180。

：.2ZBCA+2ZACN=180。

：.ZBCA+ZACN=90°/

即NBCN=90。a/N

：.NCLBC

•:AE=AF

：・/AEF=ZAFE

又•：/BAC=/AEF+ZAFE

ZBAC=Z.ACN+NANC

：.NBAC=2/AEF=2NANC

AZAEF=ZANC

C.EF//NC

：.EFX.BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例:已知，如图，在A/IBC中，AB=AC,。在45上，£在

力。延长线上，且BD=CE,连结交3C于b

求证：DF=EF

证明：（证法一）过D作DN〃AE,交BC千N,贝IJNQN8=

ZACB,ZNDE=NE,

9：AB=AC,

：.ZB=/ACB

：.ZB=ZDNB

:・BD=DN

又•：BD=CEA

3=ECA

在ADNF和4ECF中、

Nl=N2A

4NDF=/E

DN=EC、

丛DNF”丛ECF

：.DF=EF

（证法二）过E作EM〃/3交3C延长线于M则=

/B（过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例:已知，如图，A44C中，AB=AC,E在4C上，。在氏4

延长线上，且连结。E

求证：DE±BC

证明：（证法一）过点E作"〃8c交于尸，贝IJ

ZAFE=ZB

ZAEF=ZC

*：AB=AC

:・/B=/C

：./AFE=/AEF

'：AD=AE

：,/4ED=/ADE

又,?AAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180

：.2ZAEF+2ZAED=90°

即/FED=90°

C.DELFE

又♦:EF〃BC

：.DELBC

（证法二）过点D作DN//BC交CA的延长线于N,（过程略）

（证法三）过点Z作41/〃交。E于/,（过程略）

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形一一等边三角形

例:已知，如图，AA8C中，AB=AC,ABAC=80°F为

形内一点，若NP4C=10。ZPCB=300求乙以5的度数.

解法一：以为一边作等边三角形，连结C£

贝IJN6/E=NN6E=6O。

AE=AB=BE

•；AB=AC

：.AE=AC/ABC=/ACB

：.ZAEC=ZACE

VZEAC=ZBAC-ZBAE=800-60。=20。

：・/ACE=；(180。-N"O=80。

•?ZACB="80。-NA4C)=50。

：.ZBCE=ZACE-ZACB

=80°-50°=30。

•?/PCB=30°

:・/PCB=/BCE

VZABC=ZACB=50°,/ABE=60。

，NEBC=NABE-/ABC=60。-50。=10。

ZPBC=10。

AZPBC=NEBC

在丛PBC和△EBC中

ZPBC=NEBC

BC=BC

ZPCB=/BCE

：.APBCqAEBC

：,BP=BE

,:AB=BE

：.AB=BP

：./BAP=NBR4

丁/ABP=/ABC-ZPBC=50°-10。=40。

/R4B=1(1800-/ABP)=70°

解法二：以/C为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：以为一边作等边三角形△4CE,连结4区则

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

,:EB=EC

E

：・E在BC的中垂线上

同理力在BC的中垂线上

工EA所在的直线是BC的中垂线

：.EAVBC

/AEB=；/BEC=30，=/PCB

由解法一知：ZABC=50°

：.Z.ABE=ZEBC-ZABC=W=ZPBC

•?NABE=/PBC,BE=BC/AEB=ZPCB

・•・AABE义4PBC

：.AB=BP

：,/BAP=/BPA

'：/ABP=/ABC-NPBC=50°-10°=40°

，APAB=1(180。一ZABP)=1(1800-40°)=70。

14.有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

例:已知，如图，在△力8。中，Zl=Z2,ZABC=2ZC,

求证：AB+BD=AC

证明：延长到2使BE=5。，连结。£

则NBED=ABDE

'：AABD=Z.E+ABDE

：./ABC=2/E

A

，：/ABC=2/CJ\\

・•・/£=ZC3/

在A4ED和△/CD中

ZE=ZC

Z1=Z2

AD=AD

：.4AED义AACD

：.AC=AE

*：AE=AB+BE

:・AC=AB+BE

即AB+BD=AC

⑵平分二倍角

例:已知，如图，在中，8Q_L力C于2/BAC=2/

DBC

求证：ZABC=ZACB

证明：作NR4C的平分线4£交8。于用则NCAE

=ZDBC

'：BDVAC

A

ZCBD+NC=90。/K

：.ZCAE+ZC=9008E,

*.*/AEC=180。-/CAE-ZC=90。

：.AELBC

：.ZABC+ZBAE=90°

•；/CAE+NC=90。

ZBAE=ACAE

：.AABC=ZACB

⑶加倍小角

例:已知，如图，在中，&）_L4C于仅NBAC=2/

DBC

求证：NABC=ZACB

证明：作/FBD=NDBC,BF交AC于F（过程略）

A

15.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结

起来.

例:已知，如图，A48C中，AB=AC,ZBAC=120°,EF为

48的垂直平分线，EF交BC于F,交4B于E

求证：BF=；FC

证明：连结4凡贝IJ4尸=8/

ZB=ZFAB

*：AB=AC

：./B=/C

'：ZBAC=120°

/.ZB=NCNBAC=1(1800-ZBAC)=30°

・•・ZE4B=30。

・•・ZE4C=ZBAC-ZE4B=120°-30°=90。

又•・・NC=30。

：.AF=L2FC

:・BF=^FC

练习：已知，如图，在"8C中，NC4B的平分线力。与8C

的垂直平分线。E交于点2于MON_L4C延长线

于NA

求证：BM=CNBA^y\c

16.有垂直时常构造垂直平分线.D

例:已知，如图，在zMBC中，/B=2/C,4OJ_8C于。

求证：CD=AB+BD

证明：（一）在8上截取连结/£,贝=

:・/B=/AEB

•；/B=2/C

：./AEB=2/C

XVZAEB=ZC+ZEAC

:・NC=NEAC

：.AE=CE

又，：CD=DE+CE

：.CD=BD+AB

（二）延长C3到£使。/=DC,连结//贝Ij4b=zc（过程

略）

17.有中点时常构造垂直平分线.

例:已知，如图，在△/5C中，BC=2AB,NABC=2/C,BD

=CD

求证：为直角三角形

证明：过。作。EJ_8C,交4C于旦连结8旦贝IJ3E=CE,

：.ZC=ZEBC

,?ZABC=2ZC

：./ABE=/EBC

■:BC=2AB,BD=CD

：.BD=AB

在AABE和△OBE中

AB=BD

/ABE=/EBC

BE=BE

：.LABE义LDBE

:・/BAE=NBDE

丁/BDE=90。

Z./BAE=90。

即A44C为直角三角形

18.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾

股定理证题.

例:已知，如图，在△力中,NZ=90。，。片为3C的垂直

平分线

求证：B评-AE?=AC2

证明：连结虚，则8E=C£

4=90°

：.A^+AC2=EC2

:・AE2+AC=BE2

・'•BE?-AE2=AG

练习：已知，如图，在'BO中，ZBAC=90°,AB=AC,P

为BC上一点

求证：PB1+PC?=2PA2

19.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.

例:已知，如图，在A45C中,Z5=45°,ZC=30°,AB*

求/C的长.

解：过4作力。_LBC于。

ZB+ZBAD=90°,

VZB=45°,ZB=ZBAD=45°,

：.AD=BD

9：AB2=AD2+BD2,AB=42

：.AD=1

VZC=30°,ADLBC

：.AC=2AD=2

四边形部分

20,有平行线时常作平行线构造平行四边形

例:已知，如图，RtAABC,ZACB=90°,CQ_l_/8于。，AE

平分/CAB交CD于F,过F作FH〃AB交BC于H

求证：CE=BH

证明：过F作FP〃BC交于P,则四边形々8”为平行四

边形

:・/B=/FPA,BH=FP

VZACB=90°,CDVAB

：.Z5+ZCAB=45°,ZB+ZCAB=90°

：・45=/B

：.Z5=/FR4

XVZ1=Z2,AF=AF

•••△CAF义APAF

・•・CF=FP

VZ4=Z1+Z5,N3=N2+N5

・•・Z3=N4

・•・CF=CE

：.CE=BH

练习：已知，如图，AB//EF//GH,BE=GC

求证：AB=EF+GH

21.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.

例:已知，如图，在口/8。中，AB=2BC,M为48中点

求证：CMLDM

证明：延长。河、CB交于N

,/四边形ABCD为平行四边形

：.AD=BCtAD//BC

：.Z.A=ZNBAZADN=ZN

又•：AM=BM

：.AAMD”丛BMN

：.AD=BN

:・BN=BC

•：AB=2BC,AM=BM

:・BM=BC=BN

AZI=Z2,N3=NN

VZ1+N2+N3+NN=180°,

AZI+Z3=90°

，CMLDM

22.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.

例:已知，如图，E为矩形的边力D上一点，且5E=

ED,。为对角线8。上一点，PFJLBE于F,PGVADTG

求证：PF+PG=AB

证明：证法一：过尸作7W_L/5于"，则四边形M7PG为矩

形

：.AH=GPPH//AD

：.Z.ADB=NHPB

•・•BE=DE

:・/EBD=ZADB

：./HPB=ZEBD

又•；ZPFB=NBHP=90。

APFB义4BHP

：.HB=FP

：.AH+HB=PG+PF

即AB=PG+PF

证法二：延长GP交8C于N,则四边形ZBNG为矩形，（证

明略）

23.直角三角形常用辅助线方法：

⑴作斜边上的高

例:已知，如图，若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂

线与N8/Q的平分线交于点£

求证：AC=CE

证明：过力作垂足为凡贝IJ4/〃EG

:./E4E=/AEG

;四边形43CQ为矩形

/BAD=90°OA=OD

：.ABDA=/CAD

9：AFLBD

：./ABD+ZADB=ZABD+ZBAF=90°

ZBAF=ZADB=NCAD

,:AE为/BAD的平分线

ZBAE=ZDAE

：.ZBAE-ZBAF=ZDAE-ZDAC

：.ZCAE=ZAEG

：.AC=EC

⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线:

①有斜边中点时

例:已知，如图，4D、是A48C的高，/是。E的中点,

G是AB的中点

求证：GFLDE

BG

证明：连结G£、GD

TAD、5E是△ZBC的高,G是AB的中点

:・GE=^AB,GD=

2'2

GE=GD

:尸是。E的中点

GFIDE

②有和斜边倍分关系的线段时

圈已知，如图，在A4HC中，。是8C延长线上一点，且D4

_L"于力，AC=\BD

求证：/ACB=2/B

证明：取8。中点£连结ZE,贝=；BD

AZI=/B

A

,：AC=、2BD

：.AC=AE

：.ZACB=Z2

VZ2=Z1+/B

・・・N2=2NB

NACB=2/B

24.有正方形一边中点时常取另一边中点.

例:已知,如图，正方形为88中，/为的中点,MN1MD,

BN平扮/CBE共交MN于N

求证：MD=MN

证明：取4。的中点R连结夕河，则必

•・•四边形力5C。为正方形

：・AD=AB,/A=/ABC=90。

AZI+/AMD=90。，又DMLMN

：.Z2+ZAMD=90°

Z.Z1=N2

YM为AB中点

：.AM=MB=L2AB

：.DP=MBAP=AM

：.ZAPM=ZAMP=45°

：./DPM=135。

•:BN平分/CBE

；・/CBN=45。

：.ZMBN=ZMBC+NCBN=90。+45。=135°

:.XDPM空丛MBN

:.DM=MN

注意：把M改为AB上任一点，其它条件不变，结论仍然成

立。

练习：已知，。为正方形/BCZ）的8边的中点，尸为。。上

一点，且/尸=PC+8CnQPC

求证：/BAP=2/QAD/1

AB

25.利用正方形进行旋转变换

旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时,可以把图形的

某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方

法.

旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证

题创造必要的条件.

旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.

例:已知，如图，在中，AB=AC,ZBAC=90°,D为

BC边上任一点

求证：2AD=BD?+CD?

证明：把绕点A逆时针旋转90。得A4CE

：.BD=CENB=/ACE

*//BAC=90。

：.ZDAE=90°

A

222

・•・DE=AD+AE=2A。E

BC

VZ.B+ZACB=90°D

・•・ZDCE=90。

，CD2+CE=DP

：.2AD2=B»+CD?

注意：把ZUOC绕点4顺时针旋转90。也可，方法同上。

练习：已知，如图，在正方形/8C。中，E为4D上一点,BF

平分NCBE交CD于F人匚/D

求证：BE=CF+AE1/^1

BC

26.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，

构造全等三角形.

例:如图，在正方形/8C。中，从/分别是CZXD4的中点,

BE与CF交于P点、

求证：AP=AB

证明：延长交氏4的延长线于K

•・•四边形力为正方形

，BC=AB=CD=DA/BCD=ZD=/BAD=90。

♦：E、月分别是8、DA的中点

CE=LCDDF=AF=^AD

：.CE=DF

：.LBCE义LCDF

：.ZCBE=ZDCF

•・•ZBCF+ADCF=90°

:,/BCF+ZCBE=90°

：.BEVCF

又：/D=/DAK=90。DF=AFN1=N2

.MCDF冬AKAF

/.CD=KA

：.BA=KA

又YBELCF

：.AP=AB

练习：如图，在正方形488中，0在C。上,

且P在上，^,AP=CD+CP

求证：4Q平分ND4P

27.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行

四边形和一个三角形.

例:已知，如图，等腰梯形48。中，AD//BC,AD=3,AB

=4,BC=7

求/B的度数

解：过力作/E〃CO交8C于民则四边形/为平行四边

形

：・AD=EC,CD=AE

*：AB=CD=4,

AD=3,BC=1

：・BE=AE=AB=4

・•・△/BE为等边三角形

ZB=60°

28.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转

化成一个矩形和两个三角形.

例:已知，如图，在梯形48。中，AD//BC,AB=AC,Z

BAC=90°,BD=BC,BD交AC于O

求证：CO=CD

证明：过4、。分别作DFLBC,垂足分别为E、F

则四边形为矩形

：.AE=DF

,：AB=AC,AE±BC,ZBAC=90°,

：.AE=BE=CE=LBC,ZACB=

■:BC=BD

：

,AE=DF=L2BD

又,：DFJLBC

・•・Z.DBC=30。

VBD=BC

：.NBDC=NBCD=1(180°-ZDBQ=75°

ZDOC=ZDBC+ZACB=30。+45°=75。

:・/BDC=/DOC

・•・CO=CD

29.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成

平行四边形和三角形.

例:已知，如图，等腰梯形45C。中，AD//BC,AC1BD,

AD+BC=10,DELBC于E

求DE的长.

解：过。作。/〃4C,交的延长线于夕则四边形

为平行四边形

：.AC=DF,AD=CF

•・•四边形/HCD为等腰梯形

：.AC=DB

：.BD=FD

•：DE工BC

:,BE=EF=L2BF

=^BC+CF)=^BC+AD)

=1x10=5

2

9：AC//DF,BDLAC

:,BD1DF

•?BE=FE

:,DE=BE=EF=>2BF=5

答：OE的长为5.

30.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.

例:已知，如图，在四边形46C。中，有AB=DC,ZB=Z

C,AD<BC

求证：四边形488等腰梯形

证明：延长氏4、CD,它们交于点E

ZB=ZC

，EB=EC

又•：AB=DC

：・AE=DE

/./EAD=/EDA

Z£+ZEAD+ZEDA=180。

ZB+ZC+ZE=180°

，/EAD=/B

C.AD//BC

•:A*BC,NB=/C

・•・四边形等腰梯形

（此题还可以过一顶点作力8或。的平行线；也可以过力、

D作BC的垂线）

31.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形

转化成平行四边形.

例:已知,如图，梯形248中，AD//BC,E为C。中点，EF

_L/B于尸

求证：S梯形ABCD=EFYB

证明：过E作MN〃AB,交/。的延长线于交BC于N、

则四边形ABNM为平行四边形

,：EFLAB

:・S口ABNM=ABEF

,:AD〃BC

：.ZM=ZMNC

又•：DE=CEZ1=Z2

二•△CEN也△OEM

:・SACEN=S/\DEM

：.S梯形4BCD=S五边形ABNED+SACEN=S五边形ABNED

+SADEM=S梯形ABCD=EFAB

32.有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长

与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形.

例:已知,如图，直角梯形中，AD//BC,ABLAD^A,

DE=EC=BC

求证：/AEC=3NDAE

证明：连结BE并延长交力。的延长线于N

,:AD〃BC

：.Z3=ZN

XVZ1=Z2ED=EC

：.ADEN义ACEB

：.BE=ENDN=BC

'：ABLAD

：.AE=EN=BE

：./N=/DAE

・•・ZAEB=ZN+NDAE=2NDAE

DE=BCBC=DN

：.DE=DN

：,NN=N1

VZ1=Z2/N=/DAE

：・/2=/DAE

：./AEB+N2=2/DAE+/DAE

即Z.AEC=3NDAE

33.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.

例:已知，如图，梯形438中，AD//BC,AD<BC,E、尸分

别是的中点，且现U8C

求证：ZB=ZC

证明:过E作EM//AB,EN//CD,交BC于A/、N,则得口45朋£