2024-2025学年上海市嘉定区中科院上海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

-2025学年上海市嘉定区中科院上海实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分）1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是A． B． C． D．2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是A． B． C． D．3．（3分）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为A．1 B．2 C．3 D．44．（3分）下列说法中，正确的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么5．（3分）在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是A． B． C． D．6．（3分）已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果，那么．8．（4分）方程的根是．9．（4分）已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，，，，则．10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么．11．（4分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为．12．（4分）若直角△中，两条直角边长为6和8，为△的重心，则的长为．13．（4分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为．14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为．15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为．16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于．17．（4分）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么．18．（4分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为．三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分）19．（10分）计算：．20．（16分）（1）解方程：．（2）解方程组：．21．（8分）如图，在中，点为边的中点，设，．（1）试用向量，表示下列向量：；；（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分）22．（10分）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接．（1）求证：；（2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形．23．（12分）如图，四边形是菱形，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、．（1）求证：；（2）延长、相交于点，当时，求证：．24．（14分）阅读下列材料，并完成相应任务．教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、，将它们拼成如图2的大正方形．（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含、、的代数式表示为，那么可以得到等式：．整理后，得到、、之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边、与斜边所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）（3）应用：如图3，在直角三角形中，，，，那么，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么．（直接写出答案）25．（14分）在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．（1）如图，当点与点重合时，求的长；（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域；（3）连接，当△与△相似时，求线段的长．

参考答案一、单项选择题（本大题共有6题，每题3分，共18分）1．（3分）下列函数中，是的一次函数的是A． B． C． D．解：．不是一次函数，不符合题意；．不是一次函数，不符合题意；、不是一次函数，不符合题意；、是一次函数，符合题意；故选：．2．（3分）下列关于的方程中，属于分式方程的是A． B． C． D．解：中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；中方程的分母中不含未知数，则不符合题意；中方程不是有理方程，则不符合题意；中方程符合分式方程的定义，则符合题意；故选：．3．（3分）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定△△的个数为A．1 B．2 C．3 D．4解：由图可得，，添加，满足两组对应角相等，可以判定△△，故①符合题意；添加，满足两组对应角相等，可以判定△△，故②符合题意；添加，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定△△，故③不符合题意；添加，即，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定△△，故④符合题意；故选：．4．（3分）下列说法中，正确的是A．如果和是相反向量，那么 B．如果和是平行向量，那么 C．如果，那么 D．如果，那么解：如果和是相反向量，那么，故选项错误；如果和是平行向量，那么和方向相同或相反，模不一定相等，故选错误；由无法得到，因为方向不一定相同，故选项错误；如果，那么，正确，故选项正确；故选：．5．（3分）在中，点、分别在、上，如果，，那么由下列条件能够判定的是A． B． C． D．解：当或时，，即或．故选：．6．（3分）已知四边形中，对角线与相交于点，，下列判断中错误的是A．如果，，那么四边形是矩形 B．如果，，那么四边形是矩形 C．如果，，那么四边形是菱形 D．如果，，那么四边形是菱形解：、如果，，那么四边形是等腰梯形，不一定矩形，符合题意；、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是矩形；不符合题意；、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意；、如果，，则四边形是平行四边形，又，那么四边形是菱形；不符合题意；故选：．二、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果，那么．解：，，设，，．故答案为．8．（4分）方程的根是．解：两边都除以3，得，开立方，得，故答案为：．9．（4分）已知直线，直线，与直线，，分别交于点，，，，，，，，，则7.5．解：，，即，解得，，故答案为：7.5．10．（4分）已知点是线段的黄金分割点，，那么．解：由于为线段的黄金分割点，且，则．；故答案为：11．（4分）用换元法解方程，如果设，那么原方程可以化为关于的整式方程为．解：设，则原方程化为：，方程两边乘得：，即，故答案为：．12．（4分）若直角△中，两条直角边长为6和8，为△的重心，则的长为．解：，两条直角边长为6和8，，斜边上的中线长为．为△的重心，．故答案为：．13．（4分）布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都一样，如果从布袋中一次摸出两个球，那么一次摸出的两个球都是红球的概率为．解：画树状图如图：共有6个等可能的结果，摸到的两个红球的有2种结果，摸到的两个红球的概率是．故答案为：．14．（4分）若菱形的边长为10，一条对角线长为12，则另一条对角线长为16．解：设菱形的两条对角线交于点，如图所示：四边形是菱形，边长是10，，，，，，；故答案为16．15．（4分）如图，在中，、分别是、的中点，的平分线交于点，如果，，那么的长为3．解：是的平分线，，点、分别为边、的中点，，，，，，．故答案为：3．16．（4分）在矩形中，，，的垂直平分线交于点，交于点，联结，，那么四边形的面积等于．解：如图所示：连接，，四边形是矩形，，，，，是的垂直平分线，，，，，，，设，则，是的垂直平分线，，在中，，，，，，，，，，，，，故答案为：．17．（4分）如果一个四边形的一条对角线把它分成两个等腰三角形，那么我们就称这条对角线是四边形的“美丽线”．已知是四边形的“美丽线”，如果，，那么135或90．解：是四边形的美丽线，△是等腰三角形．，如图1，当时，，，△是正三角形，．，，，．如图2，当时，．，四边形是正方形，．故答案为：135或90．18．（4分）如图矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为或．解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点点的对应点落在的角平分线上，，设，则，，又折叠图形可得，，解得或4，即或4．在中，设，①当时，，，，，解得，即，②当时，，，，，解得，即．故答案为：或．三、简答题（本大题共有3题，第19题题10分，第20题16分，第21题8分，满分34分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（16分）（1）解方程：．（2）解方程组：．【解答】（1）解：将原方程变形为：，设，原方程化为，解得：，，当时，，解得，当时，无解，故原方程的解是；（2）解：，，，解得：或．21．（8分）如图，在中，点为边的中点，设，．（1）试用向量，表示下列向量：；；（2）求作：．（画图表示并写出结论，不必写作法）解：（1），；（2）作图如下：．四、解答题（本大题共4题，第22题10分，第23题12分，第24、25题每题14分，满分50分）22．（10分）如图，在矩形中，点是边上任意一点（点与点、不重合），过点作，交边的延长线于点，联结交边于点，连接．（1）求证：；（2）如果平分，联结，求证：四边形为菱形．【解答】证明：（1）四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，；（2）如图：平分，，，，，，，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，四边形为菱形．23．（12分）如图，四边形是菱形，过点作、，垂足分别为点、，、分别交于点、．（1）求证：；（2）延长、相交于点，当时，求证：．【解答】证明：（1）四边形是菱形，，，，，，，，，，，；（2），是直角三角形斜边的中点，，由（1）知：，，是等边三角形，，，，，，，，如图，连接，，，是等边三角形，，，．24．（14分）阅读下列材料，并完成相应任务．教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、，将它们拼成如图2的大正方形．（1）观察：图2中，大正方形的面积可以用表示，也可以用含、、的代数式表示为，那么可以得到等式：．整理后，得到、、之间的数量关系：，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边、与斜边所满足的关系式．（2）思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形．（画出一种即可）（3）应用：如图3，在直角三角形中，，，，那么，点为射线上一点，将沿所在直线翻折，点的对应点为点，如果点在射线上，那么．（直接写出答案）解：（1）由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即，用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变，，故答案为：，；（2）答案不唯一，比如：（3）在直角三角形中，，，，由勾股定理，得，点为射线上一点，分两种情况：①点在上时，如图，设，由翻折可知，，，在中，由勾股定理，得，即，解得；②点在的延长线上时，如图，设，由翻折可知，，，在中，由勾股定理，得，即，解得．故答案为