中考数学思想方法 【新定义问题】四边形中的新定义问题（学生版+解析版）

四边形中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.多边形

(1)多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

(2)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

(3)正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

(4)多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一

边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180。，通常所说

的多边形指凸多边形.

(5)重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳

状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形的重心(1)线段：中点(2)平行四边形：对角线的交点(3)三角形：三边

中线的交点（4）任意多边形.

填空题（共3小题）

1.（2021•梓潼县模拟）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知

在对余四边形A3C£>中，AB=\O,BC=\2,CD=5,tanB=-,那么边AD的长为.

2.（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四

边形ABCD中，AB=BC,AD=2>/5,CD=5,ZABC=6O°,则线段89=.

3.（2020•奉化区校级模拟）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.如图，

在RtAABC中，ZABC=90°,AB=2,BC=\,将AABC沿NABC的平分线58'的方向平

移，得到A'3'C',连接AC',CC,若四边形ABCC'是等邻边四边形，则平移距离38'的

长度是—.

二.解答题（共18小题）

4.（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形AABC,△AB'C',^AB=AB',

AC=AC,且N54C+N3/C=180。，我们称AABC与△ASC'互为"顶补三角形”.

（1）如图2,AABC是等腰三角形，AABE,A4CD是等腰直角三角形，连接DE；求证:

ZVWC与AADE互为顶补三角形.

(2)在(1)的条件下，BE与CD交于前F,连接AF并延长交8C于点G.判断。£与AG

的数量关系，并证明你的结论.

(3)如图3,四边形ASCD中，ZB=40°,ZC=50°.在平面内是否存在点尸，使AMD

与AP3C互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由.

5.(2021•任城区校级三模)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做'’等邻角四边形”

(1)概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：―；

(2)问题探究；

如图1,在等邻角四边形ABCD中，ZDAB=ZABC,AD,8c的中垂线恰好交于45边上

一点P,连结AC,BD,试探究AC与处的数量关系，并说明理由；

(3)应用拓展;

如图2,在RtAABC与RtAABD中，ZC=Z£>=90°,BC=BD=3,钻=5,将RtAABD绕

着点A顺时针旋转角得到AB77(如图3),当凸四边形AO3C为

等邻角四边形时，求出它的面积.

cAA

6.（2020秋•崇川区期末）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得

线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”.

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是（只

要填序号）；

①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线.

（2）如图1,在四边形A8CQ中，ZB=ZC=45°,P为8c的中点，NAPD=90。.取4）

中点。，连接尸Q.求证：PQ是A4PD的“周长平分线”.

（3）在（2）的基础上，分别取AP,DP的中点M,N,如图2.请在上找点E,F,

使EM为AAPE的“周长平分线”，/W为ADPF的“周长平分线”.

①用无刻度直尺确定点E,尸的位置（保留画图痕迹）；

②若=CD=2应,直接写出EF的长.

7.(2021秋•诸暨市期中)【了解概念】

在凸四边形中(内角度数都小于180"),若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称

该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边.

【理解应用】

(1)邻等四边形ABC。中，NA=3O。，ZB=7(r,则NC的度数=°；

(2)如图，四边形ABCD为邻等四边形，为邻等边，且NA=N£>PC,求证：^ADP^\BPC-,

【拓展提升】

(3)在平面直角坐标系中，A3为邻等四边形43CZ)的邻等边，且AB边与x轴重合，己知

A(2,0),C(m,2y/3),D(5,36),若在边AB上使=的点P有且只有1个，求

m的值.

8.(2021秋•驻马店期中)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形.

(1)矩形—垂等四边形(填“是”或“不是”);

(2)如图1,在正方形/WCD中，点E,F,G分别在4D,AB,8c边上.若四边形£>£FG

是垂等四边形，且N£FG=90。，AF=CG,求证：EG=DG；

AC1—

(3)如图2,在RtAABC中，N4cB=90。，—=2,AB=2百，以AB为对角线，作垂

BC

等四边形AC8D,过点。作CB的延长线的垂线，垂足为E,且AA8C与ASDE相似，求四

边形AC3。的面积.

9.（2021秋•市北区期中）阅读理解:

如图1,在四边形A8CD的边钻上任取一点E（点E不与点A、点5重合），分别连接即，

EC,可以把四边形他CD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做

四边形MS的边45上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形

ABCD的边至上的强相似点.

解决问题:

（1）如图1,ZA=ZB=Z£>EC=55°,试判断点E是否是四边形458的边A5上的相似

点，并说明理由；

（2）如图2,在矩形/W8中，AB=5,BC=2,A,B,C,Z）四点均在正方形网格（网

格中每个最小正方形的边长为1）的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形

ABCD的边A5上存在强相似点E,贝ijA£:E3=；

拓展探究：

（3）如图3,将矩形ABCD沿CM折叠，使点。落在AB边上的点E处.若点E恰好是四

边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系.

10.（2021秋•苏家屯区期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

如图点E是四边形A8CQ内一点，已知BE=EC,AE=ED,ZBEC=ZAED=90°,对角

线AC与砒）交于。点，BD与EC交于点、F,AC与交于点G.

（1）求证：四边形ABC。是垂美四边形；

（2）猜想四边形ABCD两组对边相、CD与BC、4）之间的数量关系并说明理由;

（3）若BE=3,AE=4,AB=6,则C£>的长为.

11.我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形

问题转化为三角形问题的重要思想.除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形.我

们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形；

有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题.

（1）概念理解

如图（1）,在AABC中，CHJ_43于”，点。、E、F分别是43、BC、AC的中点，连

接£尸、EF、EH、DE、FH,写一个图形中的“等邻角四边形“：（不再添加除图

形以外的字母）；

（2）解决问题

如图（2）,四边形ABCD是“等邻角四边形”，S.ZDAB=ZABC,延长45、DC交于点、P.

求证：ADPC=BCPD；

（3）探索研究

如图（3）,RtAABC中，ZBAC=90°,45=8,AC=4,AD=3,点E是BC边上的一个

动点，当四边形成为“等邻角四边形”时，求四边形的面积.

12.(2021•郸州区模拟)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形.

(1)写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是—;

(2)如图1,在正方形498中，点E,F,G分别在AO,AB,3c上，四边形DEFG

是垂等四边形，且NER7=90。，AF^CG.

①求证：EG=DG；

②若BC=nBG,求"的值；

(3)如图2,在RtAABC中，—=2,AB=柩,以/W为对角线，作垂等四边形AC8D.过

BC

点。作的延长线的垂线，垂足为E,且AACB与AZME相似，求四边形ACBD的面积.

图1图2

13.(2021秋•郸州区月考)新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做

“等对角四边形”.

(1)已知：如图1,四边形ABCD是“等对角四边形“，NAwNC,ZA=60°,NB=70°,

求/C,/£＞的度数

(2)在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形"A5CO(如图2),

其中NA8C=ZADC,AB=AD，此时她发现C8=C£＞成立.请你证明此结论

(3)已知：在“等对角四边形458中，ZZMB=60°,ZABC=90°,49=10,A£＞=8.求

对角线AC的长.

14.(2021♦新吴区二模)定义：长宽比为«:1(〃为正整数)的矩形称为«矩形.下面,

我们通过折叠的方式折出一个&矩形，如图。所示.

操作1：将正方形反£尸沿过点A的直线折叠,使折叠后的点8落在对角线他上的点G处，

折痕为AH.

操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF,BE上，折痕为CD.则

四边形ASCD为0矩形.

(1)证明：四边形MCZ)为&矩形；

(2)点M是边AB上一动点.

①如图匕，O是对角线AC的中点，若点N在边3c上，QW_LON,连接MN.求tan/QWV

的值；

②若A〃=AD,点N在边BC上，当ADMN的周长最小时，求竺的值;

NB

③连接CM,作BRJ_a0,垂足为/?.若48=2血，则/次的最小值=

15.（2020•柯城区校级一模）【定义】若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的

直角三角形，那么我们将这种四边形叫挛生分割四边形，这条对角线叫这个四边形的季生割

线.

【理解】（1）如图①，已知RtAABC在正方形网格中，请在网格中找到一个格点（网格线的

交点即为格点）。，使以A,B,C,。为顶点的四边形为孳生分割四边形.

（2）若在四边形98中，ZDAB=ZDCB^nO°,AC为挛生割线，若AC=6,求应）的

长.

（3）如图②，在四边形中，ZA=ZB=90°,BC>AD,E为/记上一点.若四边形,

OEBC均为李生分割四边形，求丝.

EB

图②

16.（2020秋•安徽月考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个

三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似

对角线”.

图1图2图3

理解：

(1)如图1,A4SC的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以AC为“相

似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点。(保留画图痕迹，找出3个即

可)；

(2)①如图2,在四边形/WCD中，ZABC=80°,ZADC=140。，对角线砒)平分Z4BC.请

问即是四边形"CD的"相似对角线”吗？请说明理由；

②若比＞=4,求AB-8C的值.

运用：

(3)如图3,已知在”是四边形的“相似对角线”，/"7/=/〃叩=30。.连接立；，

若A£RG的面积为6百，求尸，的长.

17.(2020春•开福区校级月考)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成

了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的

“相似对角线”.

(1)如图1,已知四边形ABCD在正方形网格中，顶点都在格点上，判断：四边形

(填“是”或“不是”)以4。为“相似对角线”的四边形；

(2)如图2,在四边形中，ZABC=80°,ZA/X?=140°,对角线比»平分/ABC.求

证：8。是四边形他8的“相似对角线”；

(3)如图3,已知是四边形防G”的“相似对角线"，N&H=N〃EG=30。.连接EG,

若A£FG的面积为46，求尸”的长.

18.（2020秋•思明区校级期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”,

回答下列问题.

（1）如图1,四边形中，ZA=90°,AB=\,CD=0,ZBCD=NDBC,判断四

边形他8是不是“等邻边四边形”，并说明理由；

（2）如图2,RtAABC中，ZABC=90°,43=2,BC=\,现将RtAABC沿NAfiC的平分

线面方向平移得到连接川，BC,若平移后的四边形ABCA是“等邻边四

边形"，求8B'的长.

19.（2020春•赫山区期末）阅读与探究

我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这

个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.

请结合上述阅读材料，解决下列问题：

（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是—；（写出一种即可）

（2）下面图1,图2均为6x6的正方形网格，点A,B,C均在格点上，请在图中标出格

点。，并连接4）,CD,使得四边形A3CD符合下列要求：图1中的四边形是勾股

四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形43CD是勾股四边形且对角线相等，但不

是中心对称图形.

图1图2

20.(2020春•奉化区期末)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形.

(1)写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是—.

(2)如图1,在3x3方格纸中，A,B,C在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂

等四边形，使AC,是对角线，点。在格点上.

(3)如图2,在正方形中，点E,F,G分别在A£>,AB,3C上，AE^AF=CG

且NDGC=NDEG,求证：四边形OEFG是垂等四边形.

(4)如图3,已知RtAABC,ZB=90°,NC=30。，AB^2,以AC为边在AC的右上方

作等腰三角形，使四边形438是垂等四边形，请直接写出四边形ABCD的面积.

（图D

21.(2020•武昌区模拟)定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格

点上的线段叫做格点线.如图1,在正方形网格中，格点线。£、CE将格点四边形ABCD分

割成三个彼此相似的三角形.请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三

四边形中的新定义问题

知识方法精讲

1.解新定义题型的方法：

方法一：从定义知识的新情景问题入手

这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能

力，分析问题和解决问题的能力.因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的

含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。

方法二：从数学理论应用探究问题入手

对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法.即

前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真

阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤.

方法三：从日常生活中的实际问题入手

对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题,那么处理此类问题需要结合生活实际,

再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。

2.解新定义题型的步骤：

(1)理解“新定义”一一明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.

(2)重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解

题方法.归纳“举例”提供的分类情况.

(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.

3.多边形

(1)多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

(2)多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

(3)正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

(4)多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一

边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180。，通常所说

的多边形指凸多边形.

（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳

状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边

中线的交点（4）任意多边形.

填空题（共3小题）

1.（2021•梓潼县模拟）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知

在对余四边形43C3中，AB=IO,BC=12,CD=5,tan8，那么边4）的长为9.

【考点】解直角三角形

【分析】如图，过点A作AH_L8C于〃，过点C作CELAZ）于E,连接AC.解直角三角

形求出AE,。石即可解决问题

【解答】解：如图，过点A作于H,过点。作于£,连接AC.

••・可以假设=BH=4k,则AB=5Z=10,

:.k=2»

:.AH=6,BH=8,

・.・BC=12,

:.CH=BC—BH=12—8=4,

AC=y/AH2+CH2=46?+42=2x/13,

・・・N3+NO=90。，ZD+ZECD=90°,

NECD=/B,

aDF

在RtACED中，tanZECD=-=—,

4EC

・・・CD=5,

:.DE=3,CE=4,

AE=ylAC2-CE2=7（2>/13）2-42=6，

:.AD=AE+DE=9.

故答案为：9.

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决

问题，属于中考常考题型.

2.（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四

边形Afi。中，AB=BC,AD=2后,CD=5,ZABC=60°.则线段比>=_36

【考点】全等三角形的判定与性质：勾股定理；旋转的性质

【分析】对余四边形的定义得出/WC=30。，将ABC。绕点3逆时针旋转60。，得到

连接FD,则ABC。=NFBD=4）。,得出BF=BD,AF=CD,ZBDC=ABFA,

则郎田是等边三角形，得出BF=BD=DF,易证/BE4+NA£>8=30°,由

NfB£）+ZBE4+NAD3+/4/Z）+NA£）F=180°,得出"D+/4DF=90°,则NE4£>=90°,

由勾股定理即可得出结果.

【解答】解：•.•对余四边形ABC3中，ZAfiC=60°,

:.ZADC=30°,

\AB=BC,

.•.将ABCD绕点5逆时针旋转60。，得到AE4F,连接包）,如图所示，

：.\BCD^^BAF,NFBD=6O。

:.BF=BD,AF=CD,ZBDC=ZBFA,

.♦.ABED是等边三角形，

:.BF=BD=DF,

・・・NADC=30。，

.-.ZADfi+ZBZ)C=30o,

/.ZBM+ZADB=30°,

\ZFBD+ZBFA+ZADB+ZAFD+ZADF=18(r9

/.60°4-30°+ZAFE>+Z4£)F=180O,

/.ZAFD+ZADF=90°,

/.ZM£)=90°,

/.AD2+AF2=DF2,

AD2+CD2=BD2,

.・.^D2=(2V5)2+52=45,

•/BD>0,

BD=3A/5»

故答案为：36.

5C

【点评】本题考查了对余四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内

角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键.

3.（2020•奉化区校级模拟）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形.如图，

在RtAABC中，Z4BC=90°,Afi=2,BC=1,将A4BC沿Z43C的平分线38'的方向平

移，得到AB'C',连接AC,CC,若四边形A8CC'是等邻边四边形，则平移距离33'的

长度是1或*夜.

2一

B'

C

A--------------B

【考点】勾股定理；平移的性质

【分析】由平移的性质得到=,AB^//AB,A笈=43=2,SC=BC=\,

A'C'=AC=45,①如图，当CC=BC时，BB=CC=BC=1；②如图，当AC=AB=2时，

③如图2,当AC=CC时，则AC=39，延长C夕交AB于“，设BH=BH=x,根据

勾股定理即可得到结论.

【解答】解：；将RtAABC平移得到^AB'C,

:.BB=CC,AB1//AB,AB'=AB=2,BC=BC=l,A'C'=4C=行，

①如图1,当CC=BC时，BH=CC=BC=\x

②如图1,当AC=43=2时，

-.-ZABC=90°,即是NABC的角平分线，

:.NSBA=45°,

延长C宣交AB于H,

■:KBI/AB,ZA6C=90°,

:.ZAHC=ZAl^C=90o,

:.NBHB=90°,

设BH=8H=x,

BB'=yf2x>AH=2—x,CH=\+x>

AC'=AH2+CH',

22=(2-X)2+(1+X)2,

整理方程为：2X2-2X+1=0,

△=4-8=T<0,

，此方程无实数根，故这种情况不存在；

③如图2,当AC=CC时，则=

延长CB1交至于”，

•.•A'37/AB,NA'8C=90°,

:.ZAHC^ZA!B^C=90°,

:.NBHB=90°,

设BH=BH=x,

BB'=AC=x/2x,AH=2-x,CH=l+x,

AC'2=AH2+CH2,

(^X)2=(2-X)2+(1+X)2,

解得：x

：.BB'=-y/2,

2

综上所述，若四边形MCC是等邻边四边形，则平移距离•的长度是I或卡,

故答案为：1或3血.

【点评】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解“等邻边四边形”的定义是解本题的关

键.

二.解答题（共18小题）

4.（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形AABC,△AB'C,若A3=A?,

AC=AC,且NS4C+N8AC=180。，我们称AABC与△ABC'互为"顶补三角形”.

（1）如图2,AABC是等腰三角形，MBE,A4CD是等腰直角三角形，连接。E；求证:

AABC与A4ZJE互为顶补三角形.

（2）在（1）的条件下，BE与CD交于点F,连接AF并延长交3c于点G.判断DE与AG

的数量关系，并证明你的结论.

(3)如图3,四边形ABC£>中，N8=40。，ZC=50°.在平面内是否存在点P,使AE4Q

与APBC互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由.

【考点】三角形综合题

【分析】(1)等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得4D=45=AC=AE,

ZDAC=ZBAE=90°,可证/&4。+/公钻=180°,可得结论；

(2)先证AG是BC的垂直平分线，再由“A4S”可证A4DHWM4G,可得AG=£>"，

即可得结论；

(3)延长CD交84延长线于点Q,作CD的垂直平分线EP交43的垂直平分线于点尸，

连接CP,DP,AP,BP,由线段垂直平分线的性质可得PC=P£>,PA=PB,PELCD,

PFA.AB,由等腰三角形的性质可得/Z)PE=NCPE,ZAPF="PF,可证

ZAPD+ZBPC=]S00,即可证AMD与APBC互为“顶补三角形”.

【解答】(1)证明：•.•AABC是等腰三角形，AABE,AAC。是等腰直角三角形，

:.AD=AB=AC=AE,ZDAC=ZBAE=90°,

:.ZDAB+ABAC+ZBAE^\8Q0,

:.ZBAC+ZDAE=]80°,

AABC与AADE互为顶补三角形；

(2)DE=2AD,理由如下：

如图2,设AG与。£的交点为H,AB与CD交于点Q,AC与BE交于点N,

图2

•••A4BC是等腰三角形，AABE,AACD是等腰直角三角形,

:.AB=AC=AD=AEfZABE=ZACD=45°,ADAC=ABAE=9QP,

.\ZBAD=ZCAE,

•;ZABE=ZACD,AB=AC,ABAC=ABAC,

.,.AA8N二AACQ(ASA),

/.AQ=ANf

BQ=CN,

又・.・NABF=/ACF,zLBFQ=4CFN,

:.ABFQ"CFN(AAS),

:.BF=CF,

又・.・AB=AC,

.••川是8c的垂直平分线，

又・・AB=AC,

:.ZBAG=ZCAG,

:.ZDAH=ZEAH9

又,.・AO=AE,

:.DH=HE,AH上DE,

-.AG1BC,

/.ZABG+NBAG=90。=ADAH+ZC4G,

:.ZABG=ZDAH.

又・.・M=AD,ZAHD=ZAGB=90°,

:.AADH=^BAG(AAS),

:.DH=AG,

:.DE=2AG.

(3)证明：如图，延长CD交B4延长线于点Q,作CD的垂直平分线石。交43的垂直平

分线于点P,连接CP,DP,AP,BP,

♦.•即垂直平分8，PF垂直平分AB,

:.PC=PD,PA=PB,PELCD,PFYAB,

:.ZDPE=ZCPE,ZAPF=ZBPF,

ZABC+ADCB=400+50°=90°,

.-.ZQ=90°,

又YPEICD,PFA.AB,

：.ZEPF=90°,

：.ZAPD+ZDPE+ZAPF=90P,

ZAPD+ZBPC=ZAPD+ZEPF+NCPE+ABPF=ZAPD+ZDPE+ZAPF+9（T,

/.ZAPD+ZBPC=l80°,HPC=PD,PA=PB,

:."AD与APBC互为“顶补三角形”.

【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形

的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键.

5.（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：矩形或正方形；

（2）问题探究；

如图1,在等邻角四边形43a）中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂线恰好交于河边上

一点P,连结AC,BD,试探究AC与BD的数量关系，并说明理由：

（3）应用拓展;

如图2,在RtAABC与RtAABD中，ZC=ZD=90°,BC=BD=3,/W=5,将RtAABD绕

着点A顺时针旋转角得到心△（如图3）,当凸四边形AD8C为

等邻角四边形时，求出它的面积.

图1图2图3

【考点】四边形综合题

【分析】(1)矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；

(2)结论：AC=BD,证明A4PC三ADPB(SAS)；

(3)分两种情况考虑：I、当NAZ73=NZ7BC时，延长A。，CB交于点E,如图1,由

^m=^CE-S^:iy,求出四边形AC皮7面积；

II、当ZZ7BC=ZACB=90°时，过点〃作DELAC于点E,如图2,由

S四边彩AC®/=^&AEiy+S矩惋cm，求出四边形ACBD面积即可•

【解答】解：(1)矩形或正方形是一个等邻角四边形.

故答案为：矩形，正方形；

(2)结论：AC^BD,

理由：连接叨，PC,如图1所示:

•.•庄是")的垂直平分线，尸尸是BC的垂直平分线，

:.PA=PD,PC=PB,

:.ZPAD=ZPDA,ZPBC=APCB,

.-.ZDPB=2ZPAD,ZAPC=2ZPBC,BPZPAD=ZPBC,

:.ZAPC=ZDPB,

:自PC^ADPB(SAS),

1.AC=BD；

(3)分两种情况考虑：

⑺当/AZ7B=NZ73C时，延长AO,CB变千点、E,

如图3(i)所示，

A

：.ZEDB=Z£BD,

:.EB=ED,

设EB=ED=x,

由勾股定理得：42+(3+X)2=(4+X)2,

解得：x=4.5,

过点。作。FLCE于E,

：.DF//AC,

△EDF^AEAC,

DFED'D'F4.5

----=-----,即gn-----=--------

ACAE44+4.5

36

解得：DfF=

n

1|1fQ1

r

.\SMC£=-ACXEC=-X4X(3+4.5)=15；S^.=-xBExDF=-xx4.5x—=

贝US四边形ACS。=S.CE-SgED，=15——=

(")当NZ7BC=NACB=90。时，过点〃作。EJ_AC于点E,

如图3(")所示,

••・四边形是矩形,

,\ED=BC=3,

在RtAAED中，根据勾股定理得：AE=W-3'=近，

11Opl

■■SMEIy=^AExED'=-x//x3=^-,S矩腕=虑*。3=（4-"卜3=12-3々,

则S四边形AC8ZT=^MED'+^M^ECBD'=乎+12-3"=12-孚.

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内

角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等

邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题.

6.（2020秋•崇川区期末）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得

线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”.

（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是②

（只要填序号）；

①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线.

（2）如图1,在四边形ABC。中，NB=NC=45。,P为8C的中点，ZAPD=90°.取4）

中点Q，连接PQ.求证：P。是AAP。的“周长平分线”.

（3）在（2）的基础上，分别取AP,。尸的中点M,N,如图2.请在3c上找点E,F,

使为A4PE的“周长平分线”，FN为ADPP的“周长平分线”.

①用无刻度直尺确定点E,尸的位置（保留画图痕迹）；

②若48=0,CD=2A/2,直接写出£F的长.

【考点】四边形综合题

【分析】（1）由等腰三角形的底边上的中线平分底边可求解；

（2）由等腰直角三角形的性质可得=ZB=NPHC=NC=45。,ZBPH=90°,

由“ASA”可证=AHAD,可得依二包），可得结论；

（3）①由QM是AP的中垂线，QN是尸。的中垂线可求解：

②如图2,过点A作A/7L8C于“，过点。作QGJ.8C于G,连接AE,DF,由“A4S”

可证AAPH三APDG,可得47=PG=1,PH=DG=2,由勾股定理可求PE,PF的长,

即可求解.

【解答】(1)解：一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是底边上的中线，

故答案为：②；

(2)证明：如图1,延长BA,CD交于点“，连接

vZfi=ZC=45°,

:.NBHC=90。,BH=CH,

••,P为8c的中点，

:.BP=PC=HP,NB=ZPHC=NC=45°,ZBPH=90°,

.-.ZBPH=ZAPD,

.-.ZBPA^ZHPD,

:.ABPA=AHPD(ASA),

：.AP=PD,

•.•点Q是A£＞的中点，

AQ=DQ,

:.AQ+AP=PD+I)Q,

r.PQ是AAPD的''周长平分线”；

(3)①如图2,连接QM并延长交8c于点E,连接QV并延长交BC于点尸，则点E,点

F为所求，

D

图2

②如图2,过点A作于"，过点。作DGJ.BC于G,连接AE,DF,

图2

­.•Zfi=ZC=45°,

.\ZBAH=ZB=45°,ZC=ZCDG=45°,

：.AH=BH,DG=CG,

AB=&,CD=2V2,

，AH=BH=1,DG=CG=2,

・・・NA尸。=90。,

:.ZAPH-^ZDPG=90°=ZAPH+ZPAH,

:"PAH=ADPG,

又・.・AP=DP,ZAHP=NDGP=90°,

:./^APH^APDG(AAS),

.・.AH=PG=1,PH=DG=2,

vAP=PQ,N4PZ)=90。，点。是AD的中点,

AAQ=PQ=QD,PQLAD,

・・,点M,点N分别是AP,DP的中点，

.•.QE是AP的中垂线，QF是DP的中垂线，

1.AE=PE,DF=PF,

-AE2=AH2+HE\

/.PE2=1+(2-PE)2,

同理可求PF=3,

2

:.EF=PE+PF=—.

4

【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理等知识，理解三角形的“周长平分线”的定义并运用是解题的关键.

7.（2021秋•诸暨市期中）【了解概念】

在凸四边形中（内角度数都小于180"）,若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称

该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边.

【理解应用】

（1）邻等四边形A38中，Z4=30。，NB=7CP,则NC的度数=130。:

（2）如图，四边形ABCZ）为邻等四边形，43为邻等边，且NA="PC,求证：^ADP^\BPC；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，回为邻等四边形ABCD的邻等边，且四边与x轴重合，已知

A（2,0）,C（九26）,。（5,3&）,若在边河上使的点P有且只有I个，求

m的值.

【考点】相似形综合题

【分析】（1）分三种情况考虑：①由8C为邻等边，②由4）为邻等边，③由C£>为邻等边，

根据邻等四边形的定义即可求解；

（2）根据相似三角形的判定解答即可；

（3）分两种情况：①若点8在点A右侧，如图1,过点。作DGLx轴于点G,过点C作

轴于点”，由他为邻等边，则有Nm8=NA3C=Nr>PC,可证

可得丝=丝，设点p（〃,0）,由三角函数可求N3AO=60。，可求5、C横坐标之差为2,

BCBP

3（〃?+2,0）,将AP,BP,AD,BC,代入得：*_（a+4）〃+2（机+14）=0,由于在边A8

上使=的点P有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，运用根的判别

式即可求得答案；

②若点3在点A左侧，如图2,过点。作DG，元轴于点G,过点。作轴于点”，

根据AAPQsABCP,可得理=丝，同①方法即可求得答案.

BCBP

【解答】解：(1)①若5c为邻等边，则NC=NB=70。，

ZD=360°-ZA-ZB-ZC=190°

不为凸四边形，所以舍去；

②若AD为邻等边，则ND=N4=30。，

ZC=36()o-ZA-ZB-ZC=230o(舍)；

③若CD为邻等边，则NC=ZD,

ZC=ZD=(360°-ZA-ZB)2=130°,

/.ZC=130°.

故答案为：130；

(2)证明：・.•四边形ABC。为邻等四边形，43为邻等边，

/.ZA=ZB,

,;ZA=/DPC,

,\ZA=ZB=ZDPC,

•.•ZA+ZADP+ZAPD=180°,ZAPD+ZDPC+ZBPC=180°,

:.ZADP=ZBPC,

:2DPsM3PC;

(3)①若点3在点A右侧，如图1,过点。作。GJ_x轴于点G,过点。作CH,无轴于点

H,

・・•川为邻等边，

:./BAD=ZABC,

­,ZDPC=ZBAD,

:.ZBAD=ZABC=ZDPC,

・・・ZB4D+ZADP+ZAPD=180。，乙针D+/DPC+/BPC=T80。,

ZADP=/BPC,

/.AADP^ABPC,

A尸AD

..----------,

BCBP

设点P(〃,0),

•.•A(2,0),。(5,3匹，

.♦.G(5,0),

DG=3x/3,AG=3,

_DG3>/3rz

「.tan/DAG=-----=------—y/3,

AG3

/.ZZMG=60°,

:"DPC=/BAD=6O0,

9=6,

.-.AD=-PG

sinZDAGsin60°

由(2)知，MDPsXBPC,

:.ZCBP^ZPAD=6O°,

•/C(w,2x/3),

CH=2^3,

.BH二CH262pc=CH

tanNCBPtan60°-'_sinNC8P-sin60。一

BP=m+2—n,AP=n—2，

AP_AD

n—2_6

4m+2-n

n2-(m+4)〃+2(m+14)=0,

・・・在边AB上使NOPC=N84O的点P有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根,

/.△=[-(m+4)]2—4x1x2。〃+14)=0,

/.m=±4>/6,

・・•点5在点A右侧,

m=4>/6；

②若点8在点A左侧，如图2,过点。作。轴于点G,过点C作轴于点”，

・.・42,0),0(5,3®

.\ZZMG=60°,

:.ZDAB=ZCBA=ZCPD=120°,

•.­ZZMB+ZAPD+ZADP=180°,ZAPD+ZCPD+ZCPB=180°,

:.ZADP=NCPB,

:.\APD^\BCP,

APAD

..---=---,

BCBP

由①得：8("z+2,0),C(m,2向,P(n,0),

AP=2-n,BP=n—m—2,4)=6,BC=4,

2-n_6

4n—in-2

n2-(m+4)n+2(m+14)=0,

・・•在边•上使NDPC=ZB4Z)的点F有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根,

△=[一(加+4)]2-4xlx2(m+14)=0,

m=±4^6,

・・•点3在点A左侧，

/.m=-4\/6；

综上所述，m=±4".

图2

【点评】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证

新定义图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程根的判别式，利用相

似三角形的性质构造关于"的一元二次方程是解题关键.

8.(2021秋•驻马店期中)定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形.

(1)矩形是垂等四边形(填“是”或“不是”);

(2)如图1,在正方形A8CD中，点E,F,G分别在A£>,AB,BC边上.若四边形DEFG

是垂等四边形，且NEFG=9O°,AF=CG,求证：EG=DG；

(3)如图2,在RlAABC中，ZACfi=90°,—=2,AB=26，以AB为对角线，作垂

BC

等四边形ACB。，过点。作C8的延长线的垂线，垂足为E,且AABC与相似，求四

边形ACB。的面积.

【考点】相似形综合题

【分析】(1)根据“垂等四边形”的定义进行分析；

(2)通过AAO/三ACDG的性质推知£)F=DG；然后根据四边形OEFG是垂等四边形的性

质知EG=Ob；最后由等量代换证得结论；

(3)如图2,过点。作OQLAC,垂足为F,构造矩形CEZ)在RtAABC中，利用勾股

定理求得AC=2,BC=1.再由垂等四边形四边形AC8O的性质知AB=8=2右.

分两种情况：当AACBSABED时，利用相似三角形