数学基础知识-概率和统计初步

檄率与统计初步

I教学要求

1.掌握分类、分步计数原理.

2.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件的概率的意义，会计算一些等可能事

件的概率.

3.了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事

件的概率乘法公式计算一些事件的概率.

4.了解直方图与频率分布.

5.理解总体、样本的概念，了解抽样方法.

6.理解用样本均值估计总体均值，用样本标准差估计总体标准差.

7.了解一元线性回归.

II教材分析

本章内容介绍

本章的主要内容是概率和统计.在现实世界中，随机现象是广泛存在的.概率与统计

是从数量这一侧面研究随机现象规律的学科.概率论是用数学观点研究随机现象的基本性

质；统计是利用搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特征.本世纪以来，由于

生产和科学技术的飞速发展，概率与统计在工农业生产和科学技术中都获得了越来越广泛

的应用，成为研究自然现象，处理工程乃至公众事业问题的有力工具.在现代社会中，虽

然还不能确切地预报未来，然而学习本章知识有利于更好地处理各种不确定因素，这对中

等职业学校学生毕业后参加工作或进一步学习都有很大帮助.

本章第1节介绍了两种计数原理.第2~3节介绍随机事件的概率及相关性质.首先通

过一些简单具体的随机现象进行分析，引入了必然事件、不可能事件和随机事件的概念，

由分析事件发生的频率的定义与事件发生可能性（概率）的关系，介绍了一般的随机事件,

并引入概率的统计定义，用例题介绍了统计概率的应用，接着通过“投掷硬币”和“掷骰

-66-

子”引出古典概率，并介绍了古典概率的应用.紧接着研究了互斥事件和概率的加法公式,

相互独立事件与概率的乘法公式.第4节主要介绍了频率分布直方图的画法.第5~6节介

绍的是数理统计的一些初步知识.数理统计是一门研究随机现象统计规律性的科学.它以

概率论为基础，利用试验或观察到的数据，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计

和推断.教材首先联系学生初中学习的统计初步知识，进一步研究了总体和样本的有关概

念；接着介绍了用样本均值、标准差估计总体均值、标准差.第7节简单地介绍了一元线

性回归的原理.回归分析是研究变量之间相互关系的一种重要的数理统计方法，也是一种

应用很广泛的数量分析法.

本章教学中需要注意的问题：

(1)要注意区分样本及样本观测值.例如，对总体，抽取〃个个体。，…4,构

成一个容量为〃的样本(。，…的一组数值.

(2)在画频率直方图时，注意纵轴表示频率与组距的比值，而不是频率.

(3)总体数字特征的估计，用(=估计总体均值，用s=J」一支(斗-if来估

〃仁\〃T汽

计息体标准差，而不是用］：工(七一£)2来估计总体标准差.

(4)本章的统计计算比较复杂，应学会用计算器来计算.

本章教学重点

1.事件的概率的定义，以及运用古典概率公式计算等可能事件的概率.

2.概率的加法公式.

3.绘制频率分布直方图.

4.总体与样本的概念.

5.用样本均值、标准差估计总体均值、总体标准差.

本章教学难点

1.绘制频率分布直方图.

2.样本均值、样本标准差的计算.

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本章学时安排如下（仅供参考）

10.1分类、分步计数原理约2学时

10.2随机事件和概率约3学时

10.3互斥事件与相互独立事件的概率约2学时

10.4直方图与频率分布约1学时

10.5样本和抽样方法约2学时

10.6用样本均值、标准差估计总体均值、标准差约3学时

10.7一元线性回归约1学时

本章小结与复习约2学时

III教学建议和习题答案

10.1分类、分步计数原理

1.分类计数原理：完成一件事，完成它有〃类办法：在第1类办法中有g种不同的

方法；在第2类办法中有吗种不同的方法……在第〃类办法中有此种不同的方法.那么

完成这件事共有N=叫+”+…叫种不同的方法.

2.分步计数原理：完成一件事，完成它有〃个步骤：做第1步有㈣种不同的方法；

做第2步有〃马种不同的方法……做第n步有啊种不同的方法.那么完成这件事共有

N二叫x吗x…啊种不同的方法.

3.在解给定的具体问题时，弄清分类计数原理和分步计数原理的根本区别，确定是

分类问题，还是分步问题是非常关键的.要做到准确无误，需要对两个原理有全面深刻

的认识.

如果完成一件事有几类方法，这几类方法彼此之间是互相独立的，不论用哪一类方法中

的哪一种，都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就应用分类计数原理；如果完

成一件事要分成几个步骤，各步骤都是不可缺的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事,

而完成每一个步骤各有若干种方法，求完成这件事的方法种数，就应用分步计数原理.

需要注意的是：

（1）“做一件事，完成它有〃类方法”，这是对能够完成这件事所有方法的分类.分类

时，首先要根据这件事的特点确定一个分类的标准，然后在所确定的分类标准下进行分类;

-68-

其次，分类要满足如下要求：完成这件事的任何一种方法必须包含于某一类之中，且仅包

含于该类之中,只有满足这些条件，才能应用分类计数原理.

(2)“做一件事，完成它需要分成〃个步骤”，这是指完成这件事的任何一种方法都

要分成〃个步骤.分步时，首先要根据这件事的特点确定一个分步的标准；其次，分步要

满足如下要求：完成这件事必须且只需连续完成这〃个步骤.只有满足这些条件，才能运

用分步计数原理.

4.讲解例题时要紧扣基本原理解这些例题的目的，重点放在加深对基本原理的理解上.

教材中的例1、例2、例3均是分类、分步计数原理的简单应用.这些例题都是单独应

用分类计数原理或分步计数原理就可以解决的问题.对这类问题要给予高度的重视，学生

只有熟练掌握了这类问题，才能进一步解决较复杂的问题.

课堂练习答案

1.11

2.(1)12(2)60

习题10.1答案

1.60

2.42

3.16,10

4.⑴36(2)16

10.2随机事件和概率

1.为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察，观察的过程称为试验.概率论里所

研窕的试验具有以下特点：

(1)在相同的条件下试验可以重复进行；

(2)每次试验的结果具有多种可能性,而且在试验之前可以明确试验的所有可能结果;

(3)在每次试验之前不能确定该次试验出现哪一种结果.

在概率论中，将试验的结果称为事件.

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2.在一定的条件下必然要发生的事件叫做必然事件，记作。；在一定的条件下不可

能发生的事件，叫做不可能事件，记作0；在一定的条件下随机试验的结果，叫做随机事

件.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，

它的发生呈现出一定的规律性.

3.一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率%总是接近于某个常数,

n

在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).概率从数量上反映了一

个事件发生的可能性的大小.

4.记随机事件A在〃次试验中发生了加次，那么有

0<m<n

0<—<1

n

于是可得：OWP(A)W1

很显然，必然事件的概率是1,不可能事件的概率为0.

5.在实际计算中，即使在重复试验次数〃充分大时，频率通常也只能作为概率的近似

值，即&A)《丝■.

n

6.若随机试验模型满足以下两个条件：

(1)基本事件的总数是有限的；

(2)每一个基本事件发生的可能性是相等的.

则称此随机试验模型为古典概率.

7.若基本事件的总数为n,事件4包含的基本事件数为小,则事件A的概率为P(A)=—.

n

在利用古典概率讲题时，应重点分析清楚公式P(A)=%中的基本事件总数〃、事件A包含

n

的基本事件数加的确定方法.

课堂练习10.2.1答案

1.(1)必然事件(2)随机事件(3)不可能事件(4)必然事件

2.(1)0.8,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91(2)0.9

-70-

课堂练习10.2.2答案

97

⑴高⑵高(3)-----

100

习题10.2答案

1.(1)0.52,0.51,0.52,0.52(2)0.52

2.⑴0.90(2)0.64

3.⑴006(2)0.04

10.3互斥事件与相互独立事件的概率

1.不可能同时发生的事件叫做互斥事件.如果事件…,4中的任何两个都是互

斥事件，那么则称44,…,人彼此互斥.从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各

个事件所含的结果组成的集合彼此互不相交.

2.两个事件其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件通常记作

从集合的角度看，由事件彳所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组

成的集合的补集.

3.如果事件A、B互斥,那么事件A+8发生(即A、8中有一个发生)的概率，等于事

件A,8分别发生的概率的和，即：P(A+B)=P(A)+P(B)

4.如果事件A，…,4彼此互斥，那么事件4+A2+…发生(即44,…，4中有

一个发生)的概率,等于这〃个事件分别发生的概率的和，即互斥事件的概率的加法公式为:

p(a+4+…+A)=p(A)+p(A2)+-P(A“)

5.对立事件的概率的和等于1,即P(A)+P(Q=P(A+X)=1,于是则有

P(A)=1-P(A)

6.事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相

互独立事件.

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7.两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即

P(AB)=P(A)P(B)

8.在同一试验下来考虑事件a，4,…,4,如果事件4人,…,凡相互独立，那么这〃

个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即相互独立事件的概率的乘法公

式为：

P(A•4••…A)=P(A)•尸(4)••…P(A)

9.本节教学的难点是如何正确地把应用题中“至少……”、至多……”等分解成易求

(或已知)其概率的几个事件的和，特别是正确理解与它们意义相同的另外的说法.如向3

座互相毗邻的敌军火库发射1枚炮弹.只要射中其中任何1座，这3座军火库就会因连续

爆炸而被摧毁.不少学生不能把“3座军火库被摧毁分解成“第一座被摧毁”、“第二座被

摧毁”、“第三座被摧毁”三个事件的和.建议利用学生对“或”字的理解，引导他们先把

“至多”“至少”转化为用“或”字连接的几种情况，再用事件的并来解决问题.并提醒

学生注意不要遗漏.

10.两个事件4、B相互独立与互斥是两个不同的概念.前者指两个事件之一是否发

生对另一方的概率没有影响.而后者是指两个事件不可能同时发生.判断两个事件是否互

斥.只考虑它们是否会同时发生，丝毫不涉及它们发生的概率的大小；判断两个事件是否

相互独立，就一定要考虑其中一个事件发生对另一个事件发生的概率是否有大小变化的影

响.这两个概念虽然没有明显的联系，但在某些条件下，两者也有一定的关系.例如，当

P(A)>0,P(8)>0时，如果A、B互斥,则A、8一定不相互独立.事实上有

4口8=0,JP(AA^)=O.

•.*P(A)>0,P(B)>0,JP(A)P(8)w0.

/.P(AAB)P(A)-P(B).

在教学中，可以安排一些鉴别“互斥”与“相互独立”的练习题，使学生通过对比，

更好地区别这两个概念.

课堂练习10.3.1答案

1.(1)0.82(2)0.38(3)0.24

2.0.58

-72-

课堂练习10.3.2答案

1,不是相互独立的

33

习题10.3答案

1.(1)0.52(2)0.29

2.0.83

3.(1)0.0001,0.0005,0.001(2)0.0016

4.0.22*0.83=0.02048

5.0.96*0.97=0.9312

6.(1)0.12(2)0.42(3)0.58

10.4直方图与频率分布

1.极差在一组数据中最大值和最小值的差叫做极差.

2.组距组距是指一个小组的两个端点之间的距离.

3.组数例如，鳌="=72,要将数据分成8组.

组距33

4.频数和频率

用选举时唱票的方法，对落在各个小组内的数据的个数进行累计，我们就可以得到落

在各个小组内的数据的个数，这个个数叫做各个小组的频数.每一小组的频数与数据总数

的比值叫做这一小组的频率.

5.频率分布直方图

在直角坐标系中，以横轴表示身高，纵轴表示频率与组距的比值，画出一系列矩形，

矩形以组距为底，以频率与组距之比为高，这就是频率分布直方图.

在统计工作和质量管理中，直方图是一种常用的工具.以频率为高的直方图叫做频率

直方图.本节使用频率直方图是因为

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频率

频率密度X组距二X组距二频率,

于是每一个小矩形的面积恰好等于随机变量落在这个区间的频率，从而便于导出连续型随

机变量的概率分布的概念.

存经济管理中使用频数直方图较多，主要原因是在统计数据和作图中使用它比较

方便.

在质量管理工作中，通常以质量特征值为横坐标，以频数为纵坐标作直方图，从直方

图的形状可以观察出质量特征值的分布状态，从而判断生产过程是否正常，是否稳定.若

有异常状态，可根据直方图的形状分析原因，采取措施.

正常的直方图是左右基本对称的，呈中间高，两边低的山峰形状，它一般表示生产过

程处于稳定状态.

生产过程若出现异常、不稳定状态，则直方图可能出现各种不正常形状.

课堂练习答案

根据所给数据，列出频率分布表:

频率—1

分组频数(m)累积频率

16.95〜17.0530.0500.050

17.05-17.1540.0670.117

17.15-17.2560.1000.217

17.25-I7.3590.1500.367

17.3577.45140.2330.600

17.45~17.55100.1660.766

17.55〜17.6570.1170.883

17.65-17.7540.0670.950

17.75~17.8530.0501.000

合计601

-74-

在直角坐标系中，以横轴表示长度，纵轴表示频率与组距的比值，画出频率分布直方

图:

根据频率分布表，得到累积频率分布图:

习题10.4答案

略

10.5样本和抽样方法

1.本节的教学基本要求是会判断总体、个体、样本、样本的容量，会用样本抽样的3

种常用方法进行抽样.

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2.在讲解总体、个体、样本、样本的容量时，一定要把它们的内涵及其关系阐述清楚,

并举出一些例子加以说明总体、个体、样本三者之间的关系是，所有的个体构成了总体,

样本取自于总体，因此，样本是总体的一部分，没有个体就没有总体.

3.用样本的数量特征去估计总体的数量特征是统计的重要思想方法.在教学中要向

学生指出为什么要从总体中抽取样本.在统计学中，采用抽取样本，用样本的情况去估计

总体的情况的原因有两点：

(1)在很多情况下总体包含的个体数目往往很多，甚至无限，不可能一一考察；

(2)有些试验带有破坏性.

4.简单随机抽样、等距抽样、分层抽样是3种常用的抽样方法.这3种抽样方法的共

同特点是在抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平

性.其中简单随机抽样是最基本的抽样方法，在等距抽样和分层抽样时都要用到简单随机

抽样方法.当总体中的个数较少时，常采用简单随机抽样；当总体中的个数较多时，常采

用分层抽样.采用不同的方法抽样后，用样本的特性估计总体的准确程度是不同的.所以

应当根据总体情况，适当选择相应的抽样方法，以提高估计总体的特性的准确程度.

课堂练习10.5.1答案

1.总体指这批零件的直径；个体指每个零件的直径；样本指这25个零件的直径；样

本容量是25.

2.样本容量为3,是小样本.

3.略

课堂练习1052答案

1.这10个数据是一个简单随机样本.

2.略

3.略

4.略

-76-

习题10.5答案

1.一般地，把考察对象的全体叫做总体；每一个考察对象叫做个体；从总体中抽出的

一部分个体，叫做总体的一个样本；个体的数目叫做样本容量.

一般情况下，总体的量比较大，研究起来有很大的难度，也没有必要，因此，选取具

有代表性的样本，通过样本研究总体.

2.总体是指该学校2005年新生的上网时间；个体是指该学校2005年每个新生的上网

时间；样本是指被抽出的20名学生的上网时间；样本容量为20.

3.采取等距抽样.将总体（320人）的每一个个体作编号.在1~16之间取一个随机数字,

然后每隔16固定一个，那么被抽到的20个号码，就组成了总体的一个样本.

4.每名学生被抽到的可能性为5%,高一、高二、高三分别抽取15人，20人，10人.

5.大型商店、中型商店和小型商店分别抽取2家，4家和15家.

10.6用样本均值、标准差估计总体均值、标准差

1.本节主要是讨论用样本均值、标准差估计总体均值、标准差，它是根据样本的信息,

对总体的特征做出推断，即统计推断.统计推断是数理统计的主要内容，概率知识是推断

的基础.

2.均值反映了样本和总体的平均水平，方差和标准差则反映了样本和总体的波动大小

程度.方差和标准差在比较两组数据波动大小时是等价的.标准差的优点是其度量单位与

原数据的度量单位一致，有时比较方便.在教学中应向学生指出，样本方差越大，样本的

波动就越大.从一个总体中抽取的样本方差与总体方差有密切的联系.总体方差可用样本

方差来估计，样本容量越大，样本的方差就越接近总体方差，在统计学里常用样本方差来

估计总体方差.平均数、方差和标准差的计算工作量较大，一般采用计算器进行.这个计

算过程也是培养学生计算能力和耐心严谨作风的过程，必须要重视，要让学生动手.

3.本教材定义的样本方差是

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/=^—[（^1-X）2+（W-%）2+--+（X„-X）2].

72-1

为什么要除以〃-1,而不是除以〃，这是因为参加求和的〃个离差X-嚏，X2-L-,

受约束条件f（匕-6=0制约，只有（〃-1）个量可以自由变化.它是总体的无偏估计量.

r=l

课堂练习答案

1.该校学生的平均体重为46.7kg.

2.此距离的均值约为2808m,标准差约为32.66m.

习题10.6答案

1.这批钉子的总体均值约为2.124cm,标准差约为17.13.

2.该地区双职工年平均收入约为6187元，标准差约为478.

3.样本均值为13.41mm,样本标准差为0.076mm.

10.7一元线性回归

1.对未来事件的预测是经济管理、生产和经营等有关人员制定决策的重要依据，而要

进行科学的预测，常常需要根据已知的变量和所要估计的变量之间的相互关系来进行分

析，然后才能做出准确可靠的决策.回归分析和相关分析，可以确定变量之间存在的某种

关系，从而可以在某种精度下，用来预测未知变量的值.

回归一词是英国科学家高乐顿（Golton,1822-191