广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高二年级上册1月期末质量监测数学试题

广东省深圳市龙岗区2023-2024学年高二上学期1月期末质

量监测数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.直线后-），+1=0的倾斜角为（）

A.士B.三C.”

4T

636

2.曲线y=e，在点（0,1）处的切线的斜率为（）

A.0B.1C.eD.-1

22

3.双曲线工-2=1的左右焦点分别是6与0M是双曲线左支上的一点，且|巾|=7,

916

则附用=（）

A.1B.13C.1或13D.3

4.已知等比数列｛《,｝满足4+4=3,43+4=12,则生+&=，()

A.24B.36C.48D.108

3

5.已知数列｛4｝的前〃项和为S”，满足5,=》"-3,则勺=（）

A.%=3"B.an=23"C.%=63"D.an=6"

6.已知则点A到直线6c的距离为（）

AGR2Gx/6D,逞

A•1D・1Lr•1

3333

7.已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为尸，斜率为左的直线/经过点尸，并且与抛

物线。交于43两点，与丁轴交于点M,与抛物线的准线交于点N,若AF=2MN，则

k=（）

A.6B.亚C.±72D.±V3

8.过点（1M）可以做三条直线与曲线），=胧，相切，则实数。的取值范围是（）

A.,0)B.C.W)ID.卜加

一、多选题

9.数列｛《｝的前〃项和为S”，已知S.=-2〃2+i5〃，则下列说法正确的是（）

A.｛q｝是递减数列B.%=-23

C.当〃>3时，«M<0D.当〃=4时，S”取得最大值

10.若焦点在入轴上的双曲线C:工+上=1的焦距为4,则下列结论正确的是（）

4-A2-2

A.2=1B.2=5

C.离心率是逑D.两条渐近线的夹角为60

3

11.已知圆O:/+y2=1，点P是直线/：工-丁-2=0上一动点，过点p作圆。的切线Q4,

PB，切点分别为A和8,线段的中点为M,则下列说法正确的有（）

A.若PAPB=0，则这样的点户只有一个

B.四边形A08P面积的最小值为1

C.直线A8恒过点

D.平面内存在一定点。，使得线段QM的长度为定值

12.正方体ABC。-ABCQ的棱长为1，点尸为底面正方形ABCD上一动点（包括边界）,

则下列选项正确的是（）

A.直线A4与平面AC"所成的角的正弦值为平

B.若点尸为耳。中点，点做为AQ中点，则直线CM和反夹角的余弦值为|

C.若/尸。。=30。，则依•尸G的最小值为上手

D.若点E在8。上，点尸在C8,上，则E尸的长度最小值为*

三、填空题

13.已知a=（2,T,l）力=（-4,匹-2）,若人仍,则大的值为.

14.已知｛q｝为等差数列，4+4=10,%=4,则%=.

15.已知尸为椭圆江+*=1的右焦点，?是椭圆上一动点，点M为圆

43

（x-3）2+（y-3）2=l上一动点，则归例|+|尸产|的最大值是.

16.已知矩形A3。中AB=0,BC=1,将矩形沿着对角线8。对折，形成一个空间四

边形当AC'二包时，二面角4—8D—C的余弦值为.

3

试卷第2页，共3页

四、解答题

17.已知圆C经过4(5,1),8(-1,一7)两点，且圆心C在直线/:“+>1=0上.

(I)求圆C的标准方程：

⑵过点A的直线4被圆C截得的弦长为8,求直线的方程.

18.已知数列｛叫满足。用=2q+6-2"吗=4.

⑴证明数列移｝为等差数列，并求见；

⑵求数列｛q｝的前〃项和S..

19.已知函数/(%)=/—3炉+3.

⑴判断函数/(力的单调性，并求出/(x)的极值；

⑵若函数g(x)=/(x)-⑪?+3x在区间(0,+功上单调递增，求实数。的取值范围.

20.如图，在四棱锥S-ABC£>中，SA±CD,AD/IBC,ADLAB,SB=SD,AB=AD.

4,A

⑴求证：SA_L平面48CQ；

(2)若&1=45=40=1,8C=2,SN=/ISC(0</1<1),若平面8DN与平面S£>C夹角的余

弦值为g,求实数2的值.

21.已知椭圆C:5十》1过点小，左焦点为产(-6,0),过点N(l,0)的宜线/与

椭圆C交于AB两点，动点M在直线x=4上，直线AM、5M、Ml的斜率分别为

%、右、%.

⑴求椭圆C的标准方程；

(2)问是否存在实数之，使得匕+自=义/恒成立，如果存在，请求出力的值，如果不存

在，请说明理由.

22.已知函数f(x)=or+lnr+l,awR.

(1)证明：当时,/(x)<0；

⑵若/(x)工肥2K恒成立，求。的取值范围.

参考答案：

1.B

【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围,

求出倾斜角的大小.

【详解】解：直线后-y+l=O即‘=£*+1,故直线的斜率等于G，设直线的倾斜角等

于。，

则a,a＜乃，且tana=6，故a=?,

故选：B.

2.B

【分析】根据导数的几何意义，即可求解.

【详解】因为所以y|z=c°=i,

根据导数的几何意义可知，曲线J=e'在点(0,1)处的切线的斜率为1.

故选：B

3.B

【分析】根据双曲线的定义即可求解.

【详解】M是双曲线《-亡=1左支上的一点,

916

a2=942=3

所以』+从=25'解得：

c=5

由双曲线定义可知1MHMI=2a=6,用=7,所以|M周二13.

故选：B.

4.C

【分析】通过"&="计算即可.

【详解】设等比数列的公比为0,

则见+4=不(6+/)，即岂”=如，同理^1二炉，

v7

a3+a4+a2

所以*二守，所以弩=9，

%+%4+。2123

所以4+线=48.

故选：C.

答案第1页，共18页

5.B

【分析】利用।求出｛为｝为首项为6,公比为3的等比数列，从而求出通

项公式.

【详解】S“=13q「3①中，当〃=1时，%=；36-3,解得4=6,

3

当〃22时，S~=5%__3②，

式子①•②得，3叁3&…即4=3%T，

故｛&｝为首项为6,公比为3的等比数列，

故%=6-31=2.3".

故选：B

6.C

【分析】利用空间点到直线的距离公式计算求解即可.

【详解】因为A(l,lJ),B(l,O,l),B(S(LT,l),所以朋=(0,1,0),

_\BA-BC\|-1|73

所以胆在8C上投影的长度为d=L|^j=g=1-，

所以点A到直线BC的距离为加'丁=/I=乎.

故选：C

7.D

【分析】设准线与x轴的交点为尸，过A作准线的垂线，垂足为4,,根据抛物线的定义以

及三角形的性质可得MM=2|/VV|,根据含30角的直角三角形的性质可得答案.

【详解】当A在第一象限时，

设准线与x轴的交点为P,过A作准线的垂线，垂足为A,

因为OM//PN,且。为尸”的中点，

所以OM为三角形PEV的中位线，即|用/|二|MV|,

所以AF=2MN=FN,又根据抛物线的定义卜耳二|A4'|,

所以MM=2|A/|=2|/VT|,

所以在直角三角形A4'N中，Z4%V=60%

答案第2页，共18页

所以ZA&=60,此时2=石,

根据对称性，当A在第四象限时，k=-G，

故选：D.

8.A

【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点（1M）,代入化简得。=（-片+Ao+l）e'。，将问题

转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.

【详解】设切点为・"=&、，.・・），'=5+1”，

・•・川处的切线斜率无=（毛+1）/，则过点P的切线方程为尸伉+1）铲（%-毛）+不。”，

代入点（1,。）的坐标，化简得a=（f：+与+l）e",

,:过点（1M）可以作三条直线与曲线C:y=疣'相切，

・•・方程0=（-*+%+1）*有三个不等实根.

令/（力=（一/+1+1”，求导得到广（力=（*-]+2）汽

可知/（力在（-8,-2）上单调递减，在（-2,1）上单调递增，在（1,+向上单调递减，

如图所示，

答案第3页，共18页

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方

程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及

等价转化，数形结合思想，属于中档题.

9.ABD

【分析】当〃=1，求出处,当〃22时，4.=S“-S”T，进而判断选项A,令〃=10判断选项

B;令72=4判断选项C;根据s”的表达式求解最值，判断选项D.

【详解】当〃=1,《=$=—2x12+15x1=13,

当〃N2时，S“T=_2(〃_1)2+15(〃_1)

则二S“-S〃_]=-4〃+17,«>2,则〃=1满足题意，故。“=-4〃+17,故选项A正确；

须=-4乂10+17=-23,故选项B正确；

当〃=4时，《=1>0,故选项C错误；

当〃=?时，S.取最大值，但是“cN,所以当〃=4时，S“取最大值，故选项D正确;

4

故选：ABD

10.ACD

【分析】首先根据双曲线的性质求；I，即可求离心率和渐近线方程，即可判断选项.

答案第4页，共18页

【详解】由题意可知，双曲线的标准方程为C:VJ1,其中2r=4

4-22-/1

即/=4—2,b2=2—A»即/=/+从=6-24=4,得2=1,故A正确;

此时C：,_y1,离心率e=3==2石,故C正确;

a63

双曲线的渐近线方程为丁=±2>±）%=土与

aV3

所以其中一条直线的斜率为包，倾斜角为30,所以两条渐近线的夹角为60,故D正确.

3

故选：ACD

11.ABD

【分析】对于A：设出切线方程，根据直线与圆相切列式，得到关于斜率的二次方程，利用

韦达定理可得答案；对于B：通过计算得到床边形A惭=-1，求出的最小值即可;

对于C：求出以。户为直径的圆的方程，与已知圆做差可得公共弦所在直线方程，根据方程

可得定点；对于D：转化为求点M的轨迹，如果点M的轨迹是一个圆即可.

【详解】对于A：设P（p,p-2）,过点尸作圆。的切线，切线斜率不存在时显然不满足题意，

设切线方程为尸女（x-p）+p-2,

即kx-y-pk+p-2=01

则卜整理得（〃2-1*+2〃（2-〃）%+（2-〃）2-1=0

则方程的根为小，

又尸AP8=0，所以攵/，AM>8=T

所以（2-2）解得〃=1,即若PA/8=0,则这样的点尸只有一个，A正确;

P“T

答案第5页，共18页

对于B：S四…P=2sA0P=2xlx|OA|x|AP|==加*1

要四边形A08P面积的最小值为1,则|OP|最小，

当|。耳为点。到直线x-y-2=0距离时最小，

此时|。”=专=应,

所以四边形AOBP面积的最小值为点二1=1，B正确；

对于C：由于直线A8为以0P为直径的圆与圆O:/+y2=i的公共弦，

设P(p,p-2),则以OP为直径的圆的方程为卜-,=P2-1

即f-pX+VTp—ZjynO,结合J+V=],

两圆方程做差可得px+(p-2)y-l=o,

变形为P(x+y)-2y-l=0,令

即直线AB恒过点

对于D：由选线C得直线的方程为px+(p-2)y-l=0,即2y+l=〃(x+)，)

又直线OP的方程为(〃—2)x—=0,即〃(x—y)=2x

两式相乘得(2y+l)〃(x-y)=2卬(1+y),

当〃工0时，(2y+l)(x-j)=2x(A+y),整理得

当P=0时,直线A8与直线。尸的交点为10,-5,满足

答案第6页，共18页

故直线A5与直线OP的交点轨迹方程为1-+即为点M的轨迹方程，故

存在点使得线段QM的长度为定值乎，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：①两相交圆的方程做差可得公共弦所在直线方程;

②是否存在一定点Q，使得线段QM的长度为定值，即求点M的轨迹是否是圆.

12.BCD

【分析】对于A,根据线面角的向量求法进行计算求解即可；对于B,根据异面直线夹角的

向量求法进行计算求解即可；对于C,先求出P点轨迹，再根据向量的运算律将所求向量进

行转化，结合定点到圆上一点距离最小值求法进行计算求解；对于D,将问题转化为求异面

直线的距离，结合其计算公式进行求解即可.

【详解】对于A,对于正方体4BC。-A&GA，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(1,O,O),c(o,1,0),A(0,0,1),4(1,1,1),

则做=(OJl),AC=(-l,l,0),A.=(-1,0,1),

设平面AC"的法向量为〃=(x,y,z),

答案第7页，共18页

n-AC=-x+y=0,、

所以，令x=l,则

〃•AD、=-x+z=0

所以直线A4与平面AC"所成的角的正弦值为卜os〃，做卜品32瓜..A

=—f=—T==--,故A

及xQ3

错误；

对于B,如图所示，

CMAF

所以直线CM和■夹角余弦值为gsCM,A尸卜1____2

CM^AFA/65/6-3»故B正确;

--X一

22

因为。A_L平面A8CO,DPu平面48cO,所以。〃_LDP,

又因为/尸口。=30。，所以「。=立，

3

所以尸在以。为圆心，立为半径的圆上（正方形A8CO内的部分）,

3

取的中点。,

答案第8页，共18页

则PBPG=P8(PC+CC)=PBPC==隔一；,

由于］邳函-曰邛_曰,所以PQ2+(茅用_1=4-^5

则产区•尸G的最小值为土二叵，故c正确；

3

对于D,若点E在8D上，点尸在C4上，

则E厂的长度最小值即异面直线8。和C4的距离，

设加=(〃,b,c)为直线8。和eq的法向量，

又因为08=(1,1,0),Cg=(1,0,1),3g=(0,0,1),

m-DB=a+b=0

则令a=T,Mm=(-1,1,1),

m-CB1=a+c=0

\BB.•mi.R

所以异面直线3。和CBi的距离为L_^_l==叱，

\m\G3

即EF的长度最小值为立，故D正确.

3

故选：BCD

【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有:

(1)定理法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；

(2)空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；

(3)转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.

13.2

【分析】利用空间向量平行的坐标计算法则求解即可.

【详解】因为a/彷，所以劝，

答案第9页，共18页

2=-42

又因为。=(2,T,l),b=(-U,-2),所以卜】=Zr,解得.A=--

2.

l=-22x=2

故答案为：2

14.6

【分析】根据等差数列的性质，因可求解.

【详解】根据等差数列的性质可知，4+4=%+%=10,又％=4,

所以％=10—4=6.

故答案为：6

15.10

【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化1PM+|尸产利用数形结合，即可

求|PM|+|P尸|的最大值.

【详解】设点F'为椭圆的左焦点，点C为圆的圆心，

点尸为圆外的点,I尸M的最大值为|PC|+1,|P尸|+|"1=4,即|尸耳=4-|尸产1,

|PM|十|PF|的最大值为|「（-仍广|+51。尸|+5,

如图，当MCRP四点共线时,『”成立，

C（3,3）,r（-l,0）,|cr|=7（3+1）2+32=5,

所以|PM|+|PP|的最大值为5+5=10.

故答案为：10

16.-/0.75

4

【分析】在△ABO和△8CO中，分别过点AC'作AM_L8£）,CN_L8。，根据

AC=4M+MN+NC,平方，将向量关系转化为数量关系，代入求解即可得到二面角余弦值.

答案第10页，共18页

【详解】在△A8O和△BCD中，分别过点AC'作AM_L8DCN_L8O,

由=代入/6+心=648=历5£>=1,

得AM=,所以DM=\IAD2-AM2=J1一：=,

同理，CN=旦,BN=—，所以MN=包,

333

设二面角A—8D—C'大小为。(04。<兀)，

则AM与NC'夹角为兀-。，

由AC'=AM+MM+NC；，

平方得，AC1=AM2+MN2+NC2+2AM-MN+2AM-NC+2MN-NC，

221223

所以一=—+—+—+0+2x—COS(JI-。)+0解得cos。=-

33333949

所以二面角A-BD-C的余弦值为3:

【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有:

(1)定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；

(2)空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；

(3)转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.

17.⑴(不可+(y+3)2=25

(2)x=5ȣ7x-24y-l1=0

答案第11页，共18页

【分析】（1）根据圆心所在直线设出圆心坐标，结合圆过的点列出方程求解圆心进而求圆的

方程；

（2）先求出圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况求解方程即可.

【详解】（1）因为圆心c在直线/：x+y+i=o上，

所以设C（4—4—1）,

因为圆C经过A（5,l）,8（—1,-7）两点，

所以（5-4+（1+〃+1）2=（4+1）2+（一°-1+7）2,

解得a=2,即。（2,-3）,半径r=J（5—2）2+（l+3『=5,

所以圆。的标准方程为（x-2），（y+3）2=25

（2）因为过点A的直线4被圆C截得的弦长为8,

所以C到直线2。距离d==

当直线，。斜率不存在时，直线x=5满足题意；

当直线4斜率存在时，设直线方程为丁=攵（工-5）+1,即--y-5攵+1=0,

|2&+3-5&+1|7

所以d=~门1=3,解得女=三，

"2+124

此时直线方程为y=（（x—5）+1,gp7x-24y-Il=0.

综上所述，直线％的方程为x=5或7x—24y—11=0

18.（1）证明见解析，可=（3〃-1）,2"

（2）S.=（3〃-4）-2川+8

【分析】（1）根据题意构造等差数列，结合等差数列的概念证明并求解通项公式即可；

（2）利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）因为*=24+6-21所以符噬+3,

所以爵喙=3为定值，

答案第12页，共18页

所以｛墨｝是首项为母=2,公差为3的等差数列，

所以祟=2+3（〃-1）=3〃一1,所以4=（3〃-1）.2"

（2）由（1）知，（=（3〃一1>2”,

所以S.=2X2+5X22++（3«-1）.2\

所以2S〃=0+2x2?++（3«-4）.2w+（3n-l）-2n+1,

所以-S”=4+3X（22++2”）一（3〃一1>2向

4-9"41

=4+3XT^2__（3〃_]卜2""=_（3〃_4>2"“一8,

所以邑=（3-4）.2田+8

19.⑴/⑺在（-与0）和（2,+co）单调递增，在（0,2）单调递减，极大值3,极小值T

⑵（―⑼

【分析】（1）根据函数直接求导，结合导数与函数的关系求解单调性和极值即可；

（2）将问题转化为恒成立问题，参变分离后利用基本不等式求最值进而求得答案.

【详解】（1）由/（X）=丁-3^+3,则7（x）=3f-6x=3x（x-2）,

当xvO或」>2时,用%）>0,/（力单调递增，

当0<x<2时，r（x）<0,/（X）单调递减，

所以/（x）极大值为/（0）=3,极小值为/（2）=-1,

所以“X）在（—,0）和（2,一）单调递增，在（0,2）单调递减，极大值3,极小值-1

（2）由题意得，^（X）=/（X）-OK2+3x=A3-（3+a）x2+3x+3,

所以/（工）=3工2-2（3+办+32。对工£（0,4<»）恒成立，

则2a《3x+5—6对x«0”）恒成立，

因为3x+5—622小工3—6=0,当且仅当3x=：,即x=l时等号成立，

所以2«40,即所以实数。的取值范围为（7,0]

答案第13页，共18页

20.(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)取中点E,连接SE,AE,由线面垂直可证得BD/面”号进而可得SA工BD,

再利用线面垂直即可证得结果；

(2)由(1)可知，SA_L平面A6CO,且AD1AB,以A为原点，ADAB,AS所在的直

线为X，¥z轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和平面S0C的一个法向

量，利用空间向量夹角的坐标运算即可求解.

【详解】(1)取8。中点E,连接5£4号

因为SB=SD,AB=AD,则SE工BD,他_13。,且跖^^人后=£：,

又SE,AEu面所以AD/面1s4E,S4u而&4E.则SAIRD,

又因为SAJ_8,BOcC0=O,8RCDu平面ABC。，所以SA_L平面A8CD

(2)由(1)可知，SA_L平面A5CD,且ADSAB,以A为原点，ADAB,AS所在的直

线为％¥z轴建立空间直角坐标系，

因为S4=A8=AO=1,8C=2,SN=/ISC(0<；1<1),

所以4(0,0,0),8(0,1,0),0(1,0,0)所(0,0,1),C(2J,0),

SC=(2,l,-l),DC=(l,l,0),SD=(l,0,-l),

所以SN=(244，),N(2；M,l—/i),BD=(l,T,0),BN=(2；l,/lTl-4)

设平面SDC的一个法向量而一(西g,2,),

mDC=x.+y.=0

则''令再=1，可得》=T，Z]=1,所以历

mSD=xi-zl=0

设平面BDN的一个法向量为n=(x,,y2,z2),

="必=。，令％=],可得必=鹏=3

则

nBN=-22+y2-(2-l)+z2(1-2)=01一九

ULII111—32

所以〃=--

I1-4

因为平面50V与平面SDC夹角的余弦值为;,

答案第14页，共18页

./［、［1—34

lx（T）+lx「~

1-A11

所以|cosm,〃|=?解得：4=方或2=0,

1-3A

1-2

21.（!）—+/=1

4

(2)A=2,理由见解析

【分析】(1)直接根据题目条件列方程组求解即可;

(2)设出宜线/的方程，与椭圆联立，利用韦达定理计算4+为，勺，发现他们之间的关系进

而可得实数2的值.

【详解】(1)由己知得/+/=,解得/=4,6=i,

a2-b2=3

所以椭圆C的标准方程为工+丁=1；

4

(2)当直线/的斜率存在时，

设直线/的方程为：y=k(x-l),A(s，yJ,8(毛,％)，/(4,6)，

y=Z:（x-1）

消去y得(1+止卜2-8公X+软2—4=0,

联立X.

—+y2=1

14

8k24k2-4

所以X]+工2=T7而'R2=y7/

川A+k_%（y-m）（1-4）+（%-加）（办-4）

'x\~49-4（5-4）（占-4）

,出+）’2%—4（X+）'2）T〃（N+毛）+8〃?

-4（^+x,）+16

答案第15页，共18页

-l)x2+女(工2-1)为一4［左(王一1)+&(々-1)］一〃?(丹+x2)+8w

X\X?-4(%)+Xj)+16

2例，G-(m+5&)(X］+%)+8&+

rw-4(±+X2)+16

2M4公一4)8公(〃?+52)

+8%+8加

1+4公1+4公

4k2-432k2匕

---------y+16

\+4kr21+4公

8m(1+35)#

12(1+3&2)-3

tnm

又k、=---=—

34-13

要勺+&=/1%恒成立，即勺—g=g（2—/l）=0恒成立,

所以;1=2,

当直线/的斜率不存在时，A1，亨，81，-苧

..7，n2，n2〃?.mm,此时K+&=2k%,

k\+k、=)----+--------=——，匕=----=—

'21-41-43r4-13

综上所述：存在实数4=2,使得K+&=义付恒成立.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下:

（1）设直线方程，设交点坐标为（百方）（七,%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X（或y）的一元二次方程，注意△的判断;

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为芭+占，*/2（或凹+为，乂为）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

22.（1）证明见解析

答案第16页，共18页

(2)(-oo,2]

【分析1(1)将题意转化为证明m(x)=T+hu+lW0,直接求导证明即可.

(2)根据题意将不等式进行参变分离，得到。4犬上竺二1在(0,+力)上恒