安徽省2024届新高考数学模拟预测卷（八）（含答案解析）

2024安徽新高考模拟预测卷（八）（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据所给图形结合补集的韦恩图表示得出所求的集合表示式，由此得解.【详解】依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是，因集合，集合，则有，所以图中阴影部分表示的集合是.故选：C2.使得“”成立的一个必要且不充分的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可.【详解】使成立的一个必要不充分条件，满足不等式的范围包含，但不完全一致，A选项解集为或，成立，A选项正确；B选项解集为，为充要条件，B选项错误；C选项解集为，不成立，C选项错误；D选项错误；故选：A.3.已知非零向量，，且、、不共面．若，则（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由向量平行，得到，利用系数对应相等构建关系，即求得x，y，即得结果.【详解】且，∴，即，又、、不共面，∴，解得，，.故选：B.4.将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（）A. B.36 C.48 D.60【答案】A【解析】【分析】根据盒子内小球的个数进行分类讨论，由此求得不同的总数.【详解】将编号为1、2、3、4、5的5个小球，根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组.当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，故3个小球的编号只能是1、2、5的在一个盒子里，故只有一种分组方法，再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共6种，再分配到三个盒子中，此时，共有种.综上所述，不同的放法种数为6+36=42种.故选：A5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，始与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是说：“有一个边长为丈的正方形水池，在池的正中央长着一根芦苇，芦苇露出水面尺．若将芦苇拉到池边中点处，芦苇的顶端恰好到达水面．问水有多深？芦苇多长？”该题所求的水深为（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】A【解析】【分析】设水深为尺，根据题意列出有关的方程，进而可求得的值，即可得出结论.【详解】设水深为尺，依题意得，解得．因此，水深为尺.故选：A.【点睛】本题考查中国数学史，考查考生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.6.设复数（是虚数单位），则A.i B. C.-1+i D.-1-i【答案】D【解析】【分析】先化简，结合二项式定理化简可求.【详解】，，故选D.【点睛】本题主要考查复数的运算和二项式定理的应用，逆用二项式定理要注意配凑出定理的结构形式.7.已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数n的值为（）A.4041 B.4039 C.2021 D.2020【答案】B【解析】【分析】由于等差数列的前项和存在最大值，则首项，公差；又可得；再根据等差数列的性质和前项和公式即可求出结果．【详解】∵等差数列存在最大值且，∴首项，公差，即等差数列为递减数列，∴，∵，所以∴，.所以满足的最大正整数的值为.故选：B．【点睛】本题考查等差数列的性质及其前n项和的性质，属于中档题.8.设且，若函数有三个极值点，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数，分别求得时以及x>0时函数对应的极值点情况，再结合题意，即可求得参数范围.【详解】当时，，；对，其开口向上，对称轴为，且，故当，即，也即或时，在恒成立，故在没有极值点；当，即，也即时，存在，使得，故，>0，y=f(x)单调递增；在，，y=f(x)单调递减，y=f(x)在有一个极值点；当x>0时，，令，；故当时，>0，单调递增；当时，，单调递减，又，故当，即时，恒成立，在单调递减，无极值点；当>0，即时，，故存在，满足；又当趋近于时，趋近于，趋近于，故存在，满足；故当时，，y=f(x)单调递减；当时，>0，y=f(x)单调递增；当时，，y=f(x)单调递减，故此时在存在个极值点；综上所述，若y=f(x)有个极值点，则y=f(x)在有一个极值点，在存在个极值点，此时，且，故故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考察利用导数由函数的极值点个数，求参数的范围问题；解决问题的关键是：能够利用导数研究时，以及x>0时，的单调性和极值点个数对应的参数范围，从而结合题意，解决问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法中正确的是（）A设随机变量X服从二项分布，则B.已知随机变量X服从正态分布且，则C.；D.已知随机变量满足，，若，则随着x的增大而减小，随着x的增大而增大【答案】ABD【解析】【分析】对于选项都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项根据方差的性质，即可判断选项C.【详解】对于选项设随机变量，则，所以选项A正确；对于选项因为随机变量，所以正态曲线的对称轴是，因为，所以，所以，所以选项B正确；对于选项，，故选项C不正确；对于选项由题意可知，，，由一次函数和二次函数的性质知，当时，随着x的增大而减小，随着x的增大而增大，故选项D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.（2021·全国高二专题练习）10.1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为，，下列结论正确的是（）A.卫星向径的取值范围是B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】ABD【解析】【分析】根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确；，当比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误.根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在处取得极大值B.有两个不同的零点C.D.若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A选项，，定义域为，，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，函数在时取得极大值也是最大值，故A对，B选项，时，，，当时，如下图所示：函数有且只有唯一一个零点，故B错，C选项，当时为单调递减函数，，，，故C对，D选项，，故，由于函数在上恒成立，，设，定义域为，则，设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．（第14题答对第一空得3分，答对第二空得2分.）12.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2．给出以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确结论的序号是__【答案】③④【解析】【分析】利用向量的加减运算可判断①②③；根据向量的数量积的定义可判断④⑤.【详解】连接交于O，则O为的中点，对于①，；对于②，；对于③，；对于④，,由题意可知≌，则，故④；对于⑤，由题意知，则，故不是直角，故；故正确结论的序号是③④，故答案为：③④13.某公司计划建设一个游乐场，规划游乐场为如图所示的四边形区域，其中三角形区域中，百米，百米，三角形区域是以为斜边的等腰直角三角形，现计划在三角形区域内修建水上项目，则的最大面积为______【答案】平方百米【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用点坐标以及点的轨迹求得的最大面积.【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，设，则，，所以的面积为，由于，所以点在以为圆心，为半径的圆上，设，则，所以，所以当时，三角形的面积取得最大值为平方百米.故答案为：平方百米【点睛】求解三角形面积有关问题，要选择合适的三角形面积公式.求解三角形面积最值有关问题，可先求得三角形面积的表达式，然后根据表达式的结构，考虑利用三角函数、不等式等知识来求最值.14.若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，，，…，(a，b)．若，则＝_______；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为_______．【答案】①.②.【解析】【分析】构造函数，，求导，则，由正弦函数的图象可知成立，根据函数的性质，即可求得的最大值．【详解】解：设，，则，则，，有如下性质：．则，的最大值为，故答案为：，．【点睛】本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知为等差数列，是公比为正数的等比数列，（1）求和的通项公式;（2）设满足，记的前项和为，求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为，由条件结合等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程求，再由通项公式求解；（2）根据分组求和法求和.【小问1详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，由题意得:解得:，；【小问2详解】由题意知，当时，当时，+1令则，16.四棱锥中，底面为矩形，，，平面与平面的交线为.（1）求证：直线平行于平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意证得平面，结合线面平行的性质定理证得直线，再由线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设，取的方向向量，根据，，利用向量的夹角公式，求得，进而求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为底面是矩形，可得，又因为平面，平面，所以平面，因为平面，且平面平面，所以直线，又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：以点为原点，，垂直于平面的直线分别为轴、轴和轴，建立如图空间直角坐标系，则，则，设，取的方向向量，因为，，可得，又因为，可得，即，解得，即，设平面法向量，则，取，可得，所以，设平面的法向量为，则，取取，可得，所以，所以，由图象可得，二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.17.为了丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁比赛的情况，得到如下统计表：乙丙丁比赛的次数606050甲获胜的次数203040以上表中的频率作为概率，求解下列问题.（1）如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.（ⅰ）求甲至少胜一场的概率；（ⅱ）如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为，求的分布列与期望；（2）记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为，那么以什么样的出场顺序才能使概率最大，并求出的最大值.【答案】（1）（ⅰ）（ⅱ）分布列见解析，期望为（2）出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为【解析】【分析】（1）先求得甲与乙比赛获胜概率为，与丙比赛获胜概率为，与丁比赛获胜概率为，再根据独立性乘法公式，结合对立事件即可求解甲至少胜一场的概率；按分布列的求解步骤即可求解分布列，进而求得期望；（2）由于乙、丙、丁有6种出场顺序，分别求得概率，从而可确定最大值.【小问1详解】甲与乙比赛获胜概率为；与丙比赛获胜概率为；与丁比赛获胜概率为；（ⅰ）则甲至少胜一场的概率（ⅱ）的可能取值为0，2，4，6则，，，，所以的分布列为0246【小问2详解】若出场顺序为乙丙丁：；若出场顺序为乙丁丙：；若出场顺序为丙乙丁：；若出场顺序为丙丁乙：；若出场顺序为丁丙乙：；若出场顺序为丁乙丙：；故出场顺序为丙丁乙或乙丁丙时概率最大，最大值为.18.双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后（在同一直线上），满足.（1）当时，求双曲线的标准方程；（2）过且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，点是线段的中点，试探究是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.【答案】（1）（2）是定值，定值为【解析】【分析】（1）延长与交于，根据，得到，再设，利用双曲线的定义求解；（2）设，利用双曲线的定义得到两渐近线所在直线方程，设直线方程为，联立求得即可.【小问1详解】解：如图所示：延长与交于，因为，所以，设，则，即，，故方程为；【小问2详解】设，则，，两渐近线所在直线方程为：，设直线方程为，将渐近线两侧平方与