历届中考数学基础知识题库

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单选题（经典例题高频考点-名师出品必属精品）

1、若关于X的一元二次方程x?-ax=0的一个解是则a的值为（）

A.IB.-2C.-ID.2

答案：C

解析：

把x・1代入方程1・ar=0得1+々=0,然后解关于〃的方程即可.

解：把x二-1x2-ax=01+a=0,解得a=-1.

故选C.

小提示：

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

2、如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△48。绕点。按顺时针方向旋转90。，得到夕0,则点

力的坐标为（）.

A.(2,1)B.(1,2)

C.(2,-l)D.(2,0)

答案：A

解析：

根据网格结构作出旋转后的图形，然后根据平面直角坐标系写出点8的坐标即可.

△月'"。如图所示，点夕（2,1）

故选力.

小提示：

本题考查了坐标与图形变化，熟练掌握网格结构，作出图形是解题的关键.

3、怖是整数，正整数n的最小值是（）

A.OB.2C.3D.4

答案：B

解析：

由Ji石=4,可知n=2.

•••倔I是整数，

V8n=V16=4,即n=2,选B.

小提示：

此题主要考察二次根式的应用.

4、下列图形中，内角和等于360。的是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

2

答案：B

解析：

根据多边形内角和公式，列式算出它是几边形.

解：由多边形内角和公式，180。(九一2)=360。，解得71=4.

故选：B.

小提示：

本题考查多边形内角和公式，解题的关键是掌握多边形内角和公式.

5、在平面直角坐标系彳如中，对于点PQ,y),我们把点P(-、+1"+1)叫做点尸的伴随点，已知点4的伴随

点为点的伴随点为点＜3的伴随点为4，…，这样依次得点44乙念…，An,若点儿的坐标为

(3,1),则点/曲的坐标为()

A.(0,-2)B.(0,4)C.(3,1)D.(-3,1)

答案：C

解析：

根据“伴随点”的定义依次求出各点，得出每4个点为一个循环组依次循环，用2021除以4,根据余数的情

况确定点儿⑼的坐标即可.

解：二・点公的坐标为(3,1),

•••点4的伴随点色的坐标为(T+13+1),即(0,4),

同理得：

人3(-3,1)，4(0,-2),45(3,1),…

」•每4个点为一个循环组依次循环，

.•2021+4=505

3

A—的坐标与4的坐标相同,

即力纳〃的坐标为（3,1）,

故选：C.

小提示：

本题主要考查平面直角坐标系中探索点的变化规律问题，解题关键是读懂题目，理解“伴随点”的定义，并能

够得出每4个点为一个循环组依次循环.

6、下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

答案：C

解析：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的

概念求解.

解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误.

故选C.

小提示：

此题主要考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

7、已知£=?=5,当匕+2d中0时，则鬻的值是（）

ba2d

4

A.5B.IOC.15D.20

答案：A

解析：

根据已知盛=：=5,得a=5b,c=5d,将其代入即可求得结果.

解：W=；=5

•"•a=5b,c=5d,

.a+2c_5b+2x5d_5(b+2d)_5

b+2d-b+2d-b+2d-

故选：A

小提示：

本题考查的是求代数式的值，应先观察已知式，求值式的特征，采用适当的变形，作为解决问题的突破口.

8、2020年7月20日，宁津县人民政府印发《津县城市生活垃圾分类制度实施方案》的通知，全面推行生活

垃圾分类.下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中

心对称图形的是()

AXXc4X

答案：B

解析：

根据轴对称图形和中心对称图形的概念去判断即可.

A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；

B、是轴对称图形也是中心对称图形，故满足题意；

5

C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；

D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不满足题意；

故选：B.

小提示：

本题考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是紧扣轴对称图形和中心对称图形的概念.

9、计算-1-3|+5结果正确的是（）

A.4B.2C.-2D.-4

答案：B

解析：

直接根据绝对值的代数意义及有理数的加法运算法则计算得出答案.

解：-1-31+5

=-3+5

=2.

故选

小提示：

此题主要考查了绝对值的代数意义及有理数的加法运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键.

10、下列运算结果正确的是（）

A.ci+a=a'B.=aC.（-a）3=a6D.a^a-a

答案：D

解析：

6

根据整式的运算直接进行排除选项即可.

解：4/+，无法合并，故此选项错误；

B、a*a=故此选项错误；

G（-，）=-，，故此选项错误；

〃、/+/=/,正确;

故选

小提示：

本题主要考查整式的运算，熟练掌握整式的运算是解题的关键.

填空题（经典例题高频考点-名师出品必属精品）

11、当_____时，分式器的值为0.

答案：％=2且y工一：

解析：

根据分式的值为零，分子等于0,分母不等于。即可求解.

由题意得：工一2=。且2y+1*0

解得：x=2且yH

故填：x=2且yH

小提示：

主要考查分式的值为零的条件，注意：分式的值为零，分子等于0,分母不等于0.

12、如图，在△力比中，力4=8,10,点〃为应'边的中点，点少是力。边上一点，连接被够XEDB沿DE

翻折，得到△〃Q，连接用PB,PA,若如经过"的中点片且尸。=2,则△力外的面积是一.

7

A

答案：誓#境巡

解析：

过点〃作〃以/出于点此设即与即交于点。，可得四边形夕〃处为平行四边形，而BD=DP,故平行四边形

BDPE为菱形,即得EP=BD=BE=CD=5,BPLED,又四边形加9为平行四边形，推出即二尸C二2,证明四边

形被％是平行四边形，可得班是中位线，从而建=76=1,在Rt△腕中，仇?二2伤，即知以应心

三DE・B0=2瓜=^BE・DM,推出〃0竽，根据与△应均等高，即可得答案.

解：过点〃作〃以仍于点M设ED与8尸交于点0,

•・•点〃是比边的中点，点厂是力。的中点,

：.DP//BEy

UBD=乙PDC、

又,//.EPD-乙EBD、

...乙EPD=乙PDC,

:.EP//BD、

8

••・四边形阳为平行四边形,

又,：BD=DP、

・•・平行四边形以力%'为菱形，

:.EP=BD=BE=DP=CD=5、BPLED,

四边形"四为平行四边形，

：.ED=PC=2,ED//CP,

•:DP"BE、gpDP//EG,

••・四边形被%是平行四边形，

:.EG=DP=\、PG=ED=2、

:.PG=CP、

.•.勿是△“'G中位线，

•:AE=AB・BE=8-5=3,

：.AG=EG-AE=5-3=2t

:.PF=^AG=lt

在Rt4BOE中、

BE=BD=5、E0=^DE=1,

.-.^68=V52-l2=2V6,

/.SABDE=-DE^BO=2V6=-BE-D^

22

.•.除华,

;平行线间的距离相等，△力加以所为底，高即为小,

9

.•.S"小‘欣华="”华=*

所以答案是：弋.

小提示：

本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题.

13、已知』+加什16能用完全平方公式因式分解，则勿的值为

答案：±8

解析：

利用完全平方公式的结构特征判断，确定出勿的值即可得到答案.

解要使得/+mx+16能用完全平方公式分解因式，

•••应满足/4-mx+16=(%±4)2,

•.•(%±4)2=x2±8%+16,

*771=±8,

所以答案是：±8.

小提示：

此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法、完全平方公式是解本题的关键.

14、如图，的是。。的直径，〃、是O。的切线，切点为4回交。。于点〃直线应是的切线，切点为〃,

交〃?于瓦若。。半径为LBC=4,则图中阴影部分的面积为一.

10

答案：百一广

解析：

连接0D、0艮AD,AD交0E于F,如图，根据切线的性质得到乙物。=90°,利用余弦的定义可计算出乙8=60°,

则根据圆周角定理得到乙月的二90°,乙板=120°,于是可计算出劭=1,AD=V3,接着证明朦为等边三角

形，求出冰/根据扇形的面积公式，利摘S阴匏部分=S腿影OAED-S运形AOD:SRADE+SRAOD-S鬲膨AOD选

行计算.

解:连接OD、OE、AD,A。交位于F,如图，

■「力。是。。的切线，切点为4

：.ABLACy

乙BAC=90°,

在欣△力回中，cosB=胎

“B=60°,

二.乙4勿=248=120°,

,••46为直径,

LADB^90°,

/.LBAD=90°-2.^=900-600=300,

在RtdADB中,BD=^AB=1,

11

:.AD-=痘BD=V3,

•••直线〃欧必都是O0的切线,

/.EA=ED,ADAE=90°-^BAD=90o-30°=60°,

••.△川必为等边三角形,

而如=放

必垂直平分AD,

/.乙力用=90°,

在Rt&AOF中,ZOAF=30°,

二S阴影滞分-S掰助彩OAED-S敏形AOD、

S»ADE'SLAOD-S扇形AOD、

120X7TX12

Yx（6）2+1XV3X1-

360

故答案为6-：江.

小提示：

本题考查圆的切线,圆周角定理，扇形面积公式，锐角三角函数求角，30。角直角三角形的性质，掌握和运用

12

圆的切线，圆周角定理，扇形面积公式，锐角三角函数求角，30。角直角三角形的性质是解题关键.

15、如果方程组的解与方程组［匕］：的解相同，贝|ja+b的值为.

答案：1

解析：

根据题意，把［1:代入方程组二联得到一个关于a,b的方程组，将方程组的两个方程左右两边

分别相加，整理即可得出a+b的值.

解：根据题意把仁Z3代入方程组窗lav-2'得

(y-O\UXTCLy—L

伊+4Q=5①

14b+3Q=2②’

①+②，得：7(a+b)=7,

则a+b=l,

所以答案是：1.

小提示：

此题主要考查了二元一次方程组的解的定义以及加减消元法解方程组.一般地，二元一次方程组的两个方程的

公共解，叫做二元一次方程组的解.注意两个方程组有相同的解时，往往需要将两个方程组进行重组解题.

16、如图，若△ABC/2XADE,且乙1=35°,贝IJ乙2=.

EA

13

答案：35°.

解析：

根据全等的性质可得：zCEAD=rCAB,再根据等式的基本性质可得乙1=乙2=35。.

解:vAABC^AADE,

ZEAD=4CAB,

ZEAD-乙CAD=4CAB—4CAD,

乙2=乙1=35°.

故答案为35。.

小提示：

此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解决此题的关键.

17、小明的身高为1.6m,他在阳光下的影长为2m,此时他旁边的旗杆的影长为15m,则旗杆的高度为

_____m.

答案：12

解析：

设这根旗杆的高度为xm,利用某一时刻物体的高度与它的影长的比相等得到卷=竽然后利用比例性质求x

即可.

设这根旗杆的高度为xm.

根据题意得卷=y

解得x=12(m),

即这根旗杆的高度为12m.

故答案为12.

14

小提示:

本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度(测量距离)；借助标杆或

直尺测量物体的高度.

18、在函数y=(%—l)2中，当*>1时」随x的增大而(填"增大"或“减小”)

答案：增大

解析：

根据其顶点式函数y=(X-I)?可知，抛物线开口向上，对称轴为％=1，在对称轴右侧v随x的增大而增大，可得到

答案.

由题意可知:函数y=(%-1产开口向上,在对称轴右侧y随x的增大而增大，又；对称轴为％=1,

,当%>1时,y随的增大而增大，

故答案为:增大.

小提示：

本题主要考查了二次函数的对称轴及增减性掌握当二次函数开口向上时，在对称轴的右侧p随/的增大而增大，

在对称轴的左侧y随x的增大而减小是解题的关键.

19、二次函数y=-2尸+3的最大值是.

答案：3

解析：

二次函数的顶点式y=a(%-九尸+b在％=h时有最值，a>0时有最小值为b,aV0时有最大值为瓦即可得出

答案.

.Q=-1<0,

二.y有最大值,

15

当％=2时，y有最大值为3.

所以答案是：3.

小提示：

本题考查了二次函数顶点式求最值，熟练掌握二次函数的表达式及最值的确定方法是解题的关键.

20、计算:V3xV5=.

答案：V15

解析：

根据二次根式乘法运算法则进行运算即可得出答案.

解：V3xV5=VTX5=A/15,

所以答案是：V15.

小提示：

本次考查二次根式乘法运算，熟练二次根式乘法运算法则即可.

解答题(经典例题高频考点-名师出品必属精品)

21、某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于

每千克70元，也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元，

日均多售2kg.在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时，按一天计算).

(1)如果日均获利1950元，求销售单价；

(2)销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少.

答案：(1)65；(2)当单价为65时，日获利最大，最大利润为1950元.

解析：

(1)若销售单价为x元，则每千克降低(70-x)元，日均多销售出2(70-x)千克，日均销售量为［60+2

16

(70-x)]千克，每千克获利(x-30)元，根据题意可得等量关系：每千克利润x销售量-500元二总利润，根据

等量关系列出方程即可；

(2)运用配方法配成顶点式，得顶点坐标，结合X的取值范围即可求得结论.

解：(1)设销售单价为x元，由题意得：

(x-30)[60+2(70-x)]-500=1950,

解得:XI=X2=65,

・「销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，

•»二65符合题意，

答：销售单价为65元时，日均获利为1950元；

(2)设销售单价为x元，可获得利润为y,由题意得：

y=(x-30)[60+2(70-x)]-500=-2x2+260x-6500(30这xW70).

...y=・2x2+260x・6500可化为y=-2(x-65),1950的形式，

二顶点坐标为(65,1950),

v30<65<70,

当单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1950元.

小提示：

此题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是根据题意表示出日均销售量，以及每千克的利

润.

22、已知关于X的二次函数y=x2-2mx+m2-1.

⑴求证：不论m为何实数，该二次函数的图象与“轴总有两个公共点；

(2)若N(m+2/2)两点在该二次函数的图象上，直接写出与及的大小关系；

17

⑶若将抛物线沿y轴翻折得到新抛物线，当1WXW3时，新抛物线对应的函数有最小值3,求m的值.

答案：⑴见解析

(2)%<y2

⑶m的值为1或-5

解析：

(1)计算判别式的值，得到A=4>0,即可判定；

(2)计算二次函数的对称轴为：直线x=m,利用当抛物线开口向上时，谁离对称轴远谁大判断即可；

(3)先得到抛物线沿y轴翻折后的函数关系式，再利用对称轴与取值范围的位置分类讨论即可.

⑴

证明:令y=0,则-2mx+m2-1=0

A=b2-4ac=(-2m)2—4(m2-1)=4>0

•.不论m为何实数，方程/-+n?-i=。有两个不相等的实数根

「•无论m为何实数，该二次函数的图象与不轴总有两个公共点

⑵

解:二次函数y=x2-2mx+m2-1的对称轴为：直线％=m

va=1>0,抛物线开口向上

」•抛物线上的点离对称轴越远对应的函数值越大

/M(m-1,%)N(m+2,y2)

・•・M点到对称轴的距离为：1

N点到对称轴的距离为：2

18

•<yz

⑶

解：:抛物线y=x2-2mx+m2-1=(x-m)2-1

二沿y轴翻折后的函数解析式为y=(x+m)2-1

•••该抛物线的对称轴为直线％=-m

①若一m<l,即/n>-l,则当x=l时，y有最小值

(1+m)2-1=3

解得

mi=1,m2=-3

:m>-1

.'.m=1

②若1工一小43,即一34加工一1,则当％=-m时，y有最小值-1

不合题意，舍去

③若一m>3,m<-3,则当％=3时，y有最小值

(3+m)2-1=3

解得】

Tn=-1,m2=-5

<-3

'-m=-5

综上，m的值为1或-5

小提示：

本题考查了抛物线与才轴的交点以及二次函数的最值问题，利用一元二次方程根的判别式判断抛物线与A■轴的

交点情况；熟练掌握二次函数的最值情况、根据对称轴与取值范围的位置关系来确定二次函数的最值是解本题

19

的关键.

23、如图，力〃是△力比的角平分线，龙、分别是△加9和勿的高.

(1)求证：/〃垂直平分)；

(2)gAB+AC=10,SAABC=15,求应的长.

答案：(1)见解析；(2)DE=3

解析：

(1)由角平分线的性质得应'二分:再根据M证明戊△力以匕仇△加囚得四二小从而证明结论；

(2)根据。£=坐得SM8D+S”cD="B・ED+/c-Dr=：OEG4B+AC)=15,代入计算即可.

(1)证明：・.•助是△力比的角平分线，DE、ZF分别是△力劭和△力切的高，

:.DE;DF、

在RSAED与RSAFD中.

(AD=AD

(DE=DF'

Rt^AED^Rt^AFD(//L),

:"E=AF,

\'DE=DFl

力〃垂直平分〃；

⑵解：:龙二4

20

111

•・SMBD+SAACD=豺8•ED+\AC-DF=\DE{AB+AQ=15,

-：Aff+AC=10,

二.DE=3.

小提示：

本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握这些知识点.

24、解方程：

('1)'x—-l=x2-l('2)'y—-3=2——3—-y

答案：(1)%=0；(2)无解

解析：

(1)先通分，把分母变为好-1,再去分母，求出解，最后检验；

(2)先通分，把分母变为y-3,再去分母，求出解，最后检验.

解：⑴W=W

x+11

x2-1=X2-1

X+1=1

x=0,

经检验％=0是原方程的解;

(2)—=2--

、'y-33-y

X-22(y-3),1

-----z-=----------I

y-3y—3------y-3

y—2=2y-6+l

y=3,

21

经检验y=3是增根，原方程无解.

小提示：

本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法，需要注意结果要检验.

25、如图，一次函数y=ax+b(a、b为常数,且a>0)与反比例函数/二^(女为常数，且*K0)的图象相交

于点43,4),与>轴交于点C.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)点，在x轴上，且，的坐标为(7.0),△业乃的面积为20,求一次函数的解析式.

答案：⑴片?；⑵/22.

解析：

(1)利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

(2)利用三角形面积求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式.

解：(1)•••反比例函数(在为常数，且4#0)的图象过点力(3.4).

.-.4=-3'

・4=12,

.••反比例函数的解析式为y=7;

22

(2)•••点2。在/轴上，的面积为20,

.••24=20,

:.PC=10,

-P(7.0),

・•・C(-3.0),

把力⑶4),r(-3,0)代入(a、b为常数,且a>0)得］彳，

l—3Q+D=0

解得卜智，

kb=2

.二一次函数的解析式为片22.

小提示：

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，三

角形面积，也考查了待定系数法求函数解析式.

26、如图，△ABC为。。的内接三角形，40平分NB4C交于点〃连接。。交8C于点£.

(1)如图1,求证：0D18C；

(2)如图2,延长。。交48于点£连接CF,延长C尸交。。于点〃求证：45="尸；

(3)如图3,在(2)的条件下，延长DF交。。于点M连接HM,若tan乙4OM=aHM=10,OF=通、求

线段4c的长.

图1图2图3

23

答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)10

解析：

(1)通过弧，弦，圆心角定理即可得到结果.

(2)通过垂径定理，得到弦BC被平分，然后由垂直平分线得性质，可得8尸=CF,再通过弧，弦，圆心角定

理证得结论.

(3)证明图中心1=N2,然后通过圆周角定理可证ND=乙N.最后通过全等求得AC=10.

解：⑴证明：如图1中，

•••40平分484c

•••Z.BAD=Z.CAD

FD=CD,

・••001BC.

(2)证明：如图2中，

图2

•••0D1BC,

24

BE=CE,

BF=CF,

・••(FBC=乙FCB,

:.~BH=AC,

A§=CH,

AB=CH,

•••HC-CF=AB-BF,

AF=HF.

(3)如图3中，连接4M,作直径4N,连接CN,AH,A"交。M于点G,^\AH1DM.

由对称性的得M。垂直平分A”.

:.AM=HM=10,

DM是直径，

LDMA=90°,

tanz.ADM=—=

AD2'

AD=20,DM=V102+202=10A/5,

AN=10V5,

25

VZ1+/.AMD=90°,ZD+Z-AMD=90°

Z1=ZD,

由tan乙4DM=空==,AM=10,可求得MG=2通，

AG2

•.•半径R='=5后

FM=OM-OF=4V5,FG=FM-MG=275,

MG=FG,

又•••/4H//BC,乙B=£N、

z2=zfi=乙N,

•••乙N=cD,

又•••AN=DM,乙NCA=Z.DAM=90°,

ANAC=ADMA{AAS),

:.AC=MA=10.

小提示：

本题属于圆综合题，主要考查弧，弦，圆心角关系定理，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识，第三

个问题解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

27、已知：如图，AD是4ABe的角平分线，DE1AB于点E,DF_LAC于点F,BE=CF,求证：4。是8C的中

垂线.

26

答案：见解析.

解析：

由AD是aABC的角平分线，DE-LAB,DFJ_AC,根据角平分线的性质，可得DE二DF,4BED二乙CFD=90°,继

而证得RQBED妾RtaCFD,则可得4B=4C,证得AB=AC,然后由三线合一，证得AD是BC的中垂线.

解：•.♦AD是/ABC的角平分线，OE1AB,DF1AC,

DE=DF,乙BFD=Z.CFD=90°,

在RtjBEO和RtdCFO中，

DE=DF

乙BED=/.CFD,

BE=CF

•••RtABED=RtACFD{SAS),

:.乙B=zf,

：.AB=AC,

•••AO是A48c的角平分线，

•••4D是8c的中垂线.

小提示：

此题考查了等腰三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质.注意掌握三线合一性质的应用.

28、图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆

弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过.图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形ABC和DE尸是闸机

的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和EF均垂直于地面，扇形的圆心角乙4BC=NOE5=28。，半径84=

ED=60cm,点力与点。在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm.

27

图①

(1)求闸机通道的宽度，即8c与EF之间的距离(参考数据：sin28。q0.47,cos28°«0.88,tan28°«0.53)

(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一

个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数.

答案：(1)8C与E尸之间的距离为66.4cm；(2)一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人.

解析：

(1)连接4。，并向两方延长，分别交EF于点M,N,则MNJ.3CMN_LEF,根据MN的长度就是BC与E尸

之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；

(2)设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为工人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检

票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟”列出分式方

程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为工人，根据题意列方程求解.

解：连接力。并向两方延长，分别交BGEF于点M,N.

由点力与点。在同一水平线上，BC,E尸均垂直于地面可知，MNIBC,MN1EF,所以MN的长度就是BC与

£产之间的距离.同时，由两圆弧翼成轴对称可得AM=DN.

在48M中，Z-AMB=90°,Z-ABM=28°,AB=60,

28

・•,sinUBM吟,

AM=AB-sin乙ABM

=60xsin28°«60x0.47=28.2.

MN=AM+DN+AD=2AM+AD=28.2x2+10=66.4.

:.BC与E/7之间的距离为66.4cm.

(1)解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为工人.

根据题意，得•一3=罢

解，得％=30.

经检验％=30是原方程的解

当％=30时，2%=60

答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人.

解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为工人.

根据题意，得詈+3=詈.

解.得％=60

经检验％=60是原方程的解.

答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人.

小提示：

本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质.

29、如图，已知48为半圆。的直径，〃为半圆上的一个动点(不含端点)，以。尸、OB为一组邻边作团POBQ,

连接OQ、AP,设OQ、4P的中点分别为M、N,连接PM、ON.

29

（1）试判断四边形。MPN的形状，并说明理由.

（2）若点?从点4出发，以每秒15。的速度，绕点0在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为加.

①是否存在这样的t,使得点。落在半圆。内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由.

②试求：当£为何值时，四边形OMPN的面积取得最大值？并判断此时直线PQ与半圆。的位置关系（需说明理

由）.

答案：（1）四边形如印为矩形，理由见解析；（2）①当8<t<12时，点。落在半圆。内；②当L6s时，

四边形〃例科的面积取得最大值，此时网与半圆。