数列基础知识及例题

三、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列性质等比数列性质

an+「an=d(nNl)；a-a^=d(n>2)弧=q(n之1),乙=q(n>2)

1、定义n

ana、1

4=q+(〃-1Hn-1

2、通项a,=acq

公式n-m

=

an=4+(〃-%)d(〃,meN*)ClnClmq

(□+〃”)〃

q=l,S=na)；

S„=2n

3、前n项和q",Sn=^2=W

n(n-l)

S“=〃q+2d1-qH

a、A、b成等差数列QA二一；a、A、b成等比数列O一=2

2aA

an是其前k项an.k与后k项an+k的等差中现，（不等价于A?=ab,只能=）;

4、中项

即：aJn-k+a^k

an是其前k项an.k与后k项q的

n2

等比中项，即：a：=az-an+k

若m+n=p+q,则+&=a(t+4若m+n=p+q,则QJ=用%特别地,若

5、下标和公式

+=2

特别地,若m+n=2p,则amanaPm+n=2p,则

等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾等比数列的第k项与倒数第k项的积等于

两项的和，即：首尾两项的积，即:

6、首尾项性质

勾+。〃=%+Qi=…=4+J）Cl\dndidn-\Clkdn-｛k-\）

｛a｝为等差数列,若叫n,p成等差数列,则｛aJ为等比数夕IJ,若■m,n,p成等差数列，则

aa成等差数列，成等比数列

（两个等差数列的和仍是等差数列）（两个等比数列的积仍是等比数列）

等差数列｛｝,｛匕“｝的公差分别为d,e，则数等比数列｛｝,｛4｝的公比分别为p,q,

7、结论

列用为等差数列，公差为"+e则数歹1」｛々;匕〃｝仍为等比数列，公差为

pq

取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新

新数列仍为等差数列，且公差为2d2

数列仍为等比数列，且公比为q-

无此性质；

若am=n,an=m(m=n),则a^n=0

若S=n,S=m（m。n）,贝!IS=-（m+〃）

innai+n无此性质；

无此性质；

若S〃=S”（加工〃），则Si=°

Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…成等差数列，S〃，S2〃「£”，S加一S2,“…•成等差数

公差为，n2d列，公比为g"

当项数为偶数2〃时，s偶一S奇二〃d当项数为偶数2〃时，s偶=0%

当项数为奇数2〃-1时，

S-_Cln

S偶Cln+lS奇"偶

当项数为奇数2〃—1时，s奇—s偶=。中

1）。中，二]

①定义法：%=q

%

①定义法：纥-%=（y（z?>2）

②等差中项概念；44+2产0）

②等差中项概念；级=%+缘+i（〃>2）

③函数法：a〃=cq"（c,4均为不为。的

③函数法：4=o〃+q（p,泌常数）关于n的

8、等差（等比）

常数，〃£N.）,则数列｛4｝是等比数列.

数列的判断方一次函数。数列凡｝是首项为p+q,公差为

法

p（w0）的等差数列；④数列｛an｝的前n项和形如

④数列但。｝的前项和形如$2

n=an+bnS“=A,”—g均为不等于0的常

（。，b为常数），那么数列但"是等差数列，数且q#l）,则数列｛4｝是公比不为1的

等比数列.

9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列

等差数列

一、填空题

1.在等差数列中已知ai=12,a6=27,则d=

2.在等差数列中已知4=一！，a7=8,则a尸_____________

3

3.（。+份2与（〃一与2的等差中项是

4.正整数前n个数的和是

2

5.数歹!]｛〃〃｝的前n项和Slt=3n-n,WUan=

二、选择题

1.在等差数列｛4｝中4+4]=40,则。4一々5+。6+/+4-为+40的值为（）

A.84R.72C.60D.4R

2.在等差数列｛《,｝中，前15项的和55=90,4为（）

A.6B.3C.12D.4

3.等差数列｛&〃｝中，4+%+%=—24,48+49+W0=78,则此数列前20项的和等于（）

A.160B.180C.200D.220

4.在等差数列｛4｝中，若4+q+G+4+%=450,则的值等于（）

A.45B.75C.180D.300

三、计算题

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛%｝的有关未知数：

（1）4=二,4=一，,5“二-5,求n及4；（2）J=2,n=15,an=-10,

66

2.设等差数列｛4｝的前n项和公式是S〃=5〃2+3〃，求它的前3项，并求它的通项公式

3.如果等差数列｛4｝的前4项的和是2,前9项的和是-6,求其前n项和的公式。

等比数列

一、填空题

1.若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中项是一

2.在等比数列｛aj中，

（1）若q=\S6=3^|,则a$=;

N10------------

(2)若Ss-7a3»则Q=

⑶若ai+a2+a3=—3,a[a2a3=8,贝US.尸.

3.在等比数列｛aj中，

(1)若a?•au=5,则a8-a9•a)0-an=___；

⑵若'+@2=324,a3+a4=36,则比+@6=；

4.一个数列的前n项和Sn=8“一3,则它的通项公式an=

二、选择题

3、已知（an）是等比数列，且an>o,a2a4+2a3a5+a.1^25,那么@3+45的值等于[]

A.5B.10C.15D.20

4、.等差数列｛an｝的首项ai=L公差dwo,如果a1，a2,as成等比数列，那么d等于[]

A.3B.2C.-2D.2或-2

5、.等比数列｛an｝中，a5+a6=a7-a5=48,那么这个数列的前10项和等于[]

A.1511B.512C.1023D.1024

6、.等比数列｛am中，a2=6,且a5-2a「a3=-i2,则④等于

A.6B.6•(-l)n2C.6•2n2D.6或6•(一1)"2或6•2n-2

数列求通项与求和常用方法归纳

一、知能要点

1、求通项公式的方法：

⑴观察法：找项与项数的关系，然后猜想检验，即得通项公式4；

Sin=,

⑵利用前n项和与通项的关系an=\cc

Sn-in:

⑶公式法：利用等差（比）数列求通项公式；

⑷累加法：如％卜1-累积法，如誓=/（川；

⑸转化法：4+1=44+8（加0,且比1）.

2、求和常用的方法：

⑴公式法:

22

〃q(q=l)

②s“=，q(i-夕")

(#1)

i-q

。)裂项求和:将数列的通项分成两个式子的代数差，即，然后累加时抵消中间的许多项.应掌握以下常见的裂项:

①

〃(〃+1)nw+1

(3)-7V-5=—(----------)；--------=-------<-r<-------=--------

k2k2T2k-1A+lkk+1(A+1)Ak2(k-l)kk-1k

④-----------5]

“5+1)(〃+2)2w(n+l)(714-1)(714-2)

⑤2(J〃+1—J-n)=—j=2/<1<-23=/=2(\!~n—J/〃-1)

+1vwVw4-Vw-l

⑶错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法

(这也是等比数列前n项和公式的推导方法).

⑷倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和

(这是等差数列前n项和公式的推导方法).

⑸分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时，常将"和式"中"同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

二、知能运用典型例题

考点1:求数列的通项

[题型1]an+i=an+f(ri)

解法：把原递推公式转化为《中-氏=/(〃)，利用累加法(逐差相加法)求解。

【例1】已知数列｛4｝满足％=g,/川=%+生^，求%。

[题型2]an+[=f(n)an

解法：把原递推公式转化为也=/(〃)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

【例2】已知数列｛凡｝满足q=3，求。〃。

3〃+1

［题型3］%+［=〃%+q(其中p,q均为常数，且〃仪〃一1)工0)。

【例3】已知数列｛4｝中，q=l,。，用=〃〃+3,求％。

n

［题型4］an+i=pa„+q

【例4】已知数列｛%｝中，《=。，勺讨=!〃〃+4)⑹，求为。

［题型5］递推公式为S〃与%的关系式.(或，=/(4))

S……•(〃=1)

解法：这种类型一般利用%=

S“—S“_1(n>2)

【例5】已知数列｛4｝前n项和S“=4一%-/.

⑴求an+与。“的关系；⑵求通项公式an.

数列求和

［题型1］公式法

【例7】已知｛%｝是公差为3的等差数列，数列也｝满足4=1也=；，。»向十%।=必广

⑴求｛4｝的通项公式;

(2)求也,｝的前71项和.

［题型2］裂项求和

【例8】S”为数列｛〃〃｝的前〃项和.己知4>0,4；+2。〃=4"+3.

⑴求｛4｝的通项公式；

(2)设2=—!—，求数歹U｛。｝的前〃项和.

［题型3］错位相减求和

【例9】已知数列｛4｝和也｝满足,4=2,］=l,%=24(nwN"),

b\+；&+\4++-^,=^I-KneN").

23n

⑴求凡与女；

⑵记数列｛〃/”｝的前n项和为T”,求7；.

［题型4］分组求和

【例10］已知｛〃〃｝是等差数列，满足囚=3,禽=12,数列｛九｝满足力=4,84=20,且｛瓦一“〃｝为等比数歹ij.

(1)求数列｛%｝和｛几｝的通项公式；

(2)求数列｛小｝的前〃项和.

例1,解：由条件知：/+［~an~------=--------=---------

1n2+nm+1）nn+\

分别令7?=1,2,3,……，代入上式得（〃一1）个等式累加之，即

（。2_〃1）+（〃3-4）+（々4_〃3）+........+（/一《1）

,+(--------)所以=1-----

n-1nn

11.131

va.=-,a=—+1——=—

12"2n2n

✓717

【例2】解：由条件知*L=_L,分别令〃=1,2,3,……,（〃一1）,代入上式得5-1）个等式累乘之，即

an〃+1

Ix^xlx……卫=2,又・k22

ci=—

〃3n

234naxn3

［例3］解:设递推公式《川=2a”+3可以转化为勺/一，=2（可一。即〃向=2勺一，=，=-3.故递推公式为

〃向+3=2（q+3）,令a=。〃+3,则4=%+3=4,且如=幺1二=2.所以｛2｝是以4=4为首项，2为公

b“。”+3

比的等比数列，则勿=4X2"T=29,所以生=2n+,-3.

【例4】解：在a〃z=$〃+g严两边乘以2向得：2向”向=1（2"・4）+1

22

令2=2"•凡,则%=§仇+1,解之得:久=3-2（,”

所以凡等=3（9一25

【例5】解：⑴由臬=4一%-贵得：Sm=4—a向一击

于是S,用一Sn=（an-）+（方-击）

所以atl+l=an-an+i+捕才=>atl+l=-a„+—.

（2）应用题型4（〃⑹=〃4+q〃，其中p,q沟为常数，且〃虱〃一1）①—1）工0）的方法，上式两边同乘以2川得：

2〃%=2〃q+2

由6=&=4-0「击=%=1.于是数列｛2”4｝是以2为首项，2为公差的等差数列，所以

2〃q=2+2(〃-1)=2〃na”=备

【例6】已知数列｛2｝中，4=1，。用求数列｛4｝的通项公式。

a

解：由4"二L。；两边取对数得Iga“川=2lg%+lg1,

aa

2n

令d=lga〃，则勿+1=2"+lgL再利用待定系数法解得：an=a(-)-\

aa

【例7】解：(1)依题aib2+b2=bi，bi=l,b2=^»解得％=2...2分

通项公式为册=2+3(/?-1)=3/?-1...6分

⑵由(I)知3出4产电,，b”产!6，所以也｝是公比为大的等比数列...9分

33

1-(»"31

所以电｝的前n项和50=—『=-----------7T...12分

11