高中数学人教版（A版）选择性必修 第一册(2019)-高三数学二轮复习讲练测之讲案 专题二十二 圆锥曲线的“三定”与探索性问题【教师版】新高考

专题25圆锥曲线的“三定”与探索性问题

纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注

重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常

常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最

值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.

一、定点问题

求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量X,y看成常数，把方程的一端

化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，

这样就得到一个关于x,y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点.

例1.已知0为坐标原点，过点尸（“一1）作两条直线分别与抛物线C：Y=4y相切于点％、B,A3的中

点为M，则下列结论错误的是（）

A.直线A8过定点（。，2）；

B.PM的斜率不存在；

C.y轴上存在一点N,使得直线N4与直线N3关于y轴对称；

D.4、“两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.

【答案】A

【分析】根据导数求出切线斜率，得出切线方程，进而可得直线A5方程，即可求出直线A8定点判断A：联

立直线A8方程和抛物线求出点M的横坐标可判断B；设N（0，b）,可得仁+女=二-----二当6二—1时

-4

11।

满足条件，可判断C；可求出一7+——7=1,即可判断D.

X+1K+I

【解析】设A（Xi，y）,区（工2，%），♦；.•・.・・过点4的切线方程为）,-%=:不。一司），即

422

y——x^=—xix——xffy=­xlx——x[t同理过点B的切线方程为y二万/不一1工；，

将3，—1）分别代入上式，得-1=5%—y,-l=^x2-y2,

・•・直线AB的方程为]x-y+l=O，••・直线AB过定点（。，1），故A选项错误，符合题意；

x2=4y

联立方程得：X2-2OV-4=0，△=4。2+16>0，则玉+%2=2。，^-^=-4,

-x-y+l=O2

，点M的横坐标为五士三二a,1轴，故B选项正确，不符合题意:

2

设N（0,b）,由题意得不工0,电。0,设直线附、的斜率分别为占、J

则匕+启=$+-=（产…）5+£）=2〃（一八1），

%）x2X1-x2-4

当力=一1时，勺+&=0,即直线N4与直线N5关于y轴对称，C选项正确，不符合题意;

•・•点A到准线的距离为%+1，点B到准线的距离为%+1，

)1+%+2

[+]=y+—+2=y+/+2

二,D选项正确，不符合题

•••y+i%+i(y+i)(%+D,，%+乂+%+1(衰)+y+%+i

1O

意，故选A.

【点睛】思路点睛：直线与抛物线的综合何题的求解策略:

（1）有关直线与抛物线9=2〃%（。＞0）相交所得的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物

线的焦点且与抛物线交于A,B两点，则可直接使用公式|阴=苞4+和+〃求解；若不过焦点，则用一般的

弦长公式求解；

（2）涉及中点、距离等问题时，一般要利用根与系数的关系及“设而不求，整体代入''思想求解.

例2.（多选题）（2021江苏南通市•高三期口）已知抛物线C：产=4尤其焦点为凡P为直线x=-2上任意

一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为4,B,斜率分别为肌，&2,则（）

,,1

A.k】k,=一一B.必-如=2

■2

C.48过定点（2,0）D.目的最小值为8

【答案】AC

【分析】设尸（2,0）,4不y）,8（与必）则城=4加，”2=4也，对抛物线的方程两边求导，可得切线的斜

率、切线的方程，联立两切线方程求得P的横坐标，可判断A；由切线的斜率相减，化简可判断B；求得A8

的直线方程，结合恒过定点，可判断C；由抛物线的定义和基本不等式可判断D.

【解析】由题意可得尸（2,0）,抛物线的准线方程为x=-2,设4（内，），1）,8（乙,必），

则#=4玉，£=4x2，由）2=4%得工=二，求导得f=^2y=^

44,2

所以工；=,所以过A的切线的方程为x-x\='^"（y-X），

化为尸工），-支■①，同理可得过B的切线方程为x="y-"②，

242'4

由①②解得x=2遏，由尸的横坐标为-2,即绳二-2,则M必二-8，攵必=/一二一：,故A正确;

44乂必2

因为"5处胡=.不为定值’

故B错误;

因为"的直线方程为），-y—入二立■工-与，即厂丁什------x匚

Xl-X2I4）乂+必%+丁2

4

整理得¥=（%-2）,所以A8恒过定点（2,0）,故C正确;

y+%

将|AF卜忸耳转化为到准线的距离，HR\AFjBFl=（xi+1）（X2+I）=x\X2+（A1+X2）+1=（，M）+1+

16

-^-+—=5+—+—>5+2=9

"y2y当且仅当协|=阅时取得等号，所以|A4忸目的最小值为

(44)144厂N16

9,故D错误，故选AC.

例3.（2021四川南充市•高三月考（文））设尸为椭圆C：±+±二1的右焦点，不垂直于x轴且不过点产

43

的直线，与。交于M，N两点，在△J0RV中，若NM/W的外角平分线与直线MN交于点?，则P的横坐

标为.

【答案】4

22

【分析】根据椭圆方程?十三=1,设由椭圆的第二定义得到

\MF\=2--X19\NF\=2--X2,设P（m,叫,然后根据外角平分线定理，立扁=扁求解•

【解析】如图所示:

因为椭圆方程为?+?=1,所以〃=2,6=百,c=l,所以椭圆的右焦点是r（1,0）,所以离心率为

\Mk'\Ml

e=-=\，设由椭圆的第二定义得：,口?

所以四周=2_：对闪周=2_；勺，

2—X.

/、\MF\\MP\_2

设。（八〃），由外角平分线定理得扁=扁，即，化简得

1

5

2（%一-4）=3〃2（七一%），解得m=4,所以P的横坐标为4.

1）

例4.（2021江西吉安模拟）已知椭圆。：乂+[石

1（。＞6＞0）经过点尸＞/3,-,且离心率e=——

a2b2\2）2

（1）求椭圆C的方程;

（2）已知斜率存在的直线/.与椭圆相交于A，8两点，点。松一,0总满足乙4QO=N8QO,证明：直线

/过定点.

【答案】（1）二+y2=l；（2）证明见解析.

4

【分析】⑴由离心率6=*可得/=4ZA再根据椭圆过点尸（退,；）可得2+.=L联立可得答案•

（2）设直线/的方程为了=丘+〃?，A（x，yJ,8（9,%），将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，又因

为NAQO=/BQO,所以心Q+原Q=。，将韦达定理代入得出答案.

【解析】（1）因为椭圆£=的离心率°=乎，所以e2=l—\=[*]，即

y231

/二4/，又椭圆。：与十=l（a>b>0）经过点'代入椭圆方程可得不十/二1,

a

31

~2----2=I

联立方程组可得《a24b2,解得/=4，6=1,所以椭圆C的方程为三+y2=].

〃2=4/4

（2）设直线/的方程为y="+m,A（X,yJ,8（毛,%），

2

x2_

消去,得(

联立方程组《1+>=11+4A:2|x2+8A7nr+4/n2-4=0,A=16(4A:2-nz2+1)>0,即

y=kx+m

—8初74〃/一4

M<4k2+1,x+Xj=

{1+4公'-1+4出

y_kx^+/nkx+/n

'万.2+2=0

因为NAQO=N3QO,所以心。+即o=0.-47346

X.----x-------&——

323'323

4行+x2)-^^-/n=0,

即（处+机）x-+{kx+/〃)%1-

2323

得2kl4=-4)-8kmo,化简得根=-辰，直线）的方程为

y=R（上一6）,所以，直线/恒过定点（6,0）.

【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆方程和直线过定点问题，解答本题的关键是由NAQO=N8QO,所以

473A0/3

"0+原2=0，即23%+in-%---（--玉-十七）一：而二°，将韦达定理代入，属于中档题.

3

例5.已知抛物线。的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点41,2)为抛物线C上一点.

(1)求抛物线。的方程.

⑵若点8(1,—2)在抛物线C上，过点8作抛物线。的两条弦BP与3。若总产履Q=-2,

求证：直线PQ过定点.

【解析】(1)若抛物线的焦点在工轴上，设掘物线方程为炉=or,代入点41,2),

可得。=4,所以抛物线方程为)2=4k

若抛物线的焦点在)，轴上，设抛物线方程为r=〃少，代入点41,2),

可得片/所以抛物线方程为/=5.

综上所述，抛物线C的方程是V=4x或/=3，.

(2)证明：因为点8(1,—2)在抛物线。上，所以由(1)可得抛物线C的方程是＞2=4尤

易知直线8尸，〃。的斜率均存在，设直线出尸的方程为)，+2=41—1),将直线8b的方程代入

y1=4x,消去y,得Rx2—(2R+42+4)X+(〃+2)2=0.设P(jq,y),则％i=—m一，

所以*梦，用一铝换点P坐标中的匕可得Q((kf)2,2—2勒从而直线PQ的斜率为

2A+4

k-2+2*23+4左"9k

(女+2)2；=一K+2，+必+4=—以+2女+2,故直线段的方程是y-2+2&=_.+2々+2［戈一伏一】)、

在上述方程中，令x=3,解得y=2,所以直线尸。恒过定点(3,2).

例6.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(LO)，过直线八x=2S侧的动点P作PHJJ于点"，U/PF的角平

分线交K轴于点M,且|P"|二VZ|MF|,记动点P的轨迹为曲线r.

(1)求曲线厂的方程；

(2)过点F作直线m交曲线「于4B两点，点C在［上，旦BC"无釉，试问：直线〃■是否恒过定点？请说明理由.

【答案】(1)9+*=1；(2)答案见解析.

【解析】⑴设PQy），由题可知|MF|=|PF|，所以鼠=鬻=¥，即由罟E=f，

化简整理得?+y2=L即曲线r的方程为:+y2=t.

（2）由已知可得直线m的斜率不为0,•••可设直线m的方程为#=町+1,

联立方程组k+丫？=］消去4得（娥+2）y2+2ny-l=0,A>0恒成立，

记4alM）,3。23），则C（2,y2），则以+为=一/，以必=一品，匕=叱+L

・•・直线AC的斜率为A=帘，直线AC的方程为y-y2=^（x-2）,

即”爷口一2+骨，又卷=$=熹书

・,・直线4c的方程为y="可（4—2+》=左二？a—5・•.直线北过定点0）.

X^-22女一222

二、定值问题

定值是证明求解的一个量与参数无关，解这类试题时要会合理选择参数（参数可能是宜线的斜率、截距，也可能

是动点的坐标等），使用参数表达其中变化的量，再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的

斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题

解决.

22

例1.（2021湖北大课改联考）已知椭圆C:三十汇=1的左右顶点分别为A5,过“轴上点M（-4,0）作一

42

直线尸。与椭圆交于P,。两点（异于AB）,若直线AP和的交点为N,记直线MN和AP的斜率分别

为占，&，则匕:&=（）

11

A.-B.3C.—D.2

32

【答案】A

【分析】首先利用三点共线表示点N的横坐标，并利用方程联立，得出尸，。两点坐标关系，代入3,即可

k2

求值.

【解析】设N（x,y），。（丹，y）,。（电,力），设直线。。的方程：x=my4,

=上

x,+2x+2

由P,N、A和Q,N,8三点共线可知，

%_y

W-2x—2

:2y(4-2)+2%(％+2)2%(加%-6)+2%(2)

一,(尢2—2)+%(％+2)一%(四2-6)+%(%]-2)

.x=2my)，2-6y-2y2-।、=2冲a+6y6%⑴

3%一必’3凹一必

x=my-4

联立J22得(加+2)y?—8〃iy+12—0,△=64/n2-48(/M2+2)=16(〃/—6)>0,/M2>6>

三+二=1

142

8m123,、

M+%=，%%=，••阳M二尹+%），

〃/+2m2+2

代入⑴得x+4=^^=3,右专k.x4-2j21

—=------=I---------=—故选A.

k2x+4x+43

【思路点睛】本题的思路利用韦达定理设而不求，巧妙运用X+%与X%关系化简，从而达到求值目的.

例2.（多选题）（2021•河北张家口市•高三期末）抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线/过点凡斜率左＞0,

且交抛物线C于A,8（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为孙91旭于4，Bqj.加于耳，下列

结论正确的是（）

ULUULUi「

A.若BF=3FA，则％=J3B.两+国=1

C.若k=l,则|A.=12D.幺尸片二90。

【答案】ABD

【分析】对A,延长B4.交准线冶于。，根据相似得出NA4Q=60。即可求解；对B,联立直线与抛物

线，利用韦达定理即可求解；对C,将B中A换为1,利用弦长公式即可求出；对D,利用

NBBF=.NAA,尸=ZA,FA可得.

【解析】延长B4,交准线加于Q.

设|E4|=|A411n,|四=|鹤|=3l恒@=),

3」四八_.

则△QAA[SAQBB[=>；—7—1---rn------——nx—故NAAQ=60。，故阳8二百，■正确;

\QB\忸叫x+4/3r9

…(xT)

设4（彳乂）,3&,%），联立直线与抛物线，得攵2A*2一（2二+4）一丫+公=0,

y2=4x

Jk2+41111X.+X-y-^-2

•••M+W=F，g=L二网+同一.+]+.+广中2+(%+xj+]=，故B正确

若k=l,则玉+工2=6,|蝴=%+/+2=8,故C错误;

•;/BB、F=NB/B,ZAA.F=ZA.FA,+/)以=180。一片回+180。-/4尸:9。。故

D正确，故选ABD.

【点睛】本题考查抛物线焦点弦问题，解题的关键是正确理解抛物线的定义，利用定义得出线段关系求解.

例3.（2021.云南师大附中高三月考（文））已知点。为坐标原点，抛物线V=3x与过焦点的直线交于A,B

两点，则次•丽等于•

【答案】-227

16

【分析】由题知抛物线丁=34的焦点厂(1,()),进而分直线AB斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.

【解析】设A弓，y,8与，％,当直线A3斜率不存在时，yl=p=-.y2=-p=-f

\7\722

所以双正仔斗口力权也+心三.

39

当直线A5斜率存在时，设方程为％=冲+1(加工0),与抛物线联立方程得：y2-3my--=0,所以

，,丽•丽=("，乂]・[4,/]=:弁£+y)，2=-%.故答案为：鼻.

4VJ/VJ16lo

【点睛】本题考查过抛物线的焦点的弦的性质，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关

键在于根据己知条件分直线斜率存在和不存在两种情况讨论：此外，掌握过抛物线焦点的弦的相关性质，

能够快速解题.

例4.在直角坐标系wy中，曲线的点均在C?：。-5)2+V=9外，且对G上任意一点M,M到直线

尢=-2的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.

(I)求曲线G的方程;

(II)设PC%,%)(y*+3)为圆g外一点，过尸作圆G的两条切线，分别与曲线G相交于点A,R和C,

D.证明：当尸在直线x=Y上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.

【解析】(【)解法1：设M的坐标为(x,y),由已知得卜+2|=而二分彳-3,

易知圆C?上的点位于直线冗=-2的右侧.于是尢+2>0,所以J(x—5)2+/=x+5.

化简得曲线G的方程为V=20x.

解法2:由题设知，曲线G上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线％=-5的距离，因此，曲线q

是以(5,0)为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，故其方程为V=20x.

(II)当点P在直线x=T上运动时，P的坐标为(—4,%),又先工±3,则过「且与圆。2相切的直线的斜率

攵存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为

y—%=-H4)^|Jkx—y+yo+4k=O.于是%+则=整理得72A?+)，；-9二0.

收+1

设过P所作的两条切线PAPC的斜率分别为匕/2,则勺,22是方程①的两个实根，故

=

k,+k2②，由1°'得-20)，+20(.%+4K)=0.③

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为加%,%，%，则%%是方程③的两个实根，所以

*%二22^④，同理可得％⑤

于是由②，④，⑤三式得y必附=则%+：产。+外)「00回+"+6。+】6帙］

"21

二顿th%+16%］=64Go所以当尸在％=T上运动时，四点A3,C力的纵坐标之积为定值6400.

她

22

例5.已知椭圆，+斗=1(〃>6>0)的焦距为2近，且经过点卜夜,1).过点0(0,-2)的斜率为2的直线

/与椭圆交于AB两点，与x轴交于P点，点A关于工轴的对称点C,直线8。交工轴于点Q.

(1)求女的取值范围；

(2)试问：|。"・|凶是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.

【答案】(1)-8,-*)=(¥，+8；(2)答案见解析.

【解析】(1)由已知得生=1,c=拒，・・.。=2,b=厄,所以椭圆方程为三+工=1

a42

设直线/的方程为丁=丘一2,与椭圆］+?=1联立得。+2二卜2-8米+4=0.

、

由A=64公一］6（1+2r）>0得公>g,所以攵e-oo,-

，+<X>・

（2）令A（X|,yJ,8（毛,必），则。（不，一,），则大+工2=言^7'g二i±2.

1I乙Ki十乙K

2（2

由y=收一2中，令y=0得巧,二1，即尸1层°

设直线BC的方程为丁=纪”（不一为）—令y=0得x=一%+」%

将y=g一2,必=3-2代入上式得:

F416k

_七%+百%.2烟/一2（%+/）,172F_iZ2F_^

。一下丁一不+看）-4=屐q_4

1+2二

所以|0斗|凶=阵|.同='.|24|=4,为定值.

K

三、探索性问题

解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后再推理论证，检验说明假设

是否正确.其解题步骤为：

（1）先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程（组）或不等式（组）.

（2）解此方程（组）或不等式（组），若有解则存在；若无解则不存在.

（3）得出结论.

例1.（2021•江西赣州期末）如图，已知抛物线用：/=2〃），（〃>0）的焦点为尸（0』），过焦点户作直线交抛

物线于A,8两点，在A,8两点处的切线相交于N,再分别过A,B两点作准线的垂线，垂足分别为C,D.

（1）求证：点N在定直线上；

（2）是否存在点M使得△8DV的面积是AACN的面积和AABN的面积的等差中项，若存在，请求出点N

的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，N士等,T

【分析】⑴由题意设直线AB:y=Ax+l,A（x”y）,网程必），将直线F抛物线方程联立求出两根之

和、两根之积，求出直线AN:y=±x-二以及直线=-迂，将两直线联立求出交点印证.

2424

（2）由（1）知点N为C。的中点，取A5的中点E,则EN=A。；」。,利用抛物线的定义可得

3s_C4.CC_AFCNBFCN

A力—2匕N,、JBN—LAEIY+3&BEN，MACN—3，MBDN_2,根据

2s3=5*”/，可得28F=AF+AB，即超二一2%，结合韦达定理即可求解.

【解析】（1）由题知〃=2,所以M:f=4y,设直线45:、=依+1,A（ay）,外J必），

y="+1x+X）=4k/

联立《\,得f一4京一4=0,所以二，对丁二土求导得），=彳，所以直线AN的斜率为

IX=4），、百“2=T142

■2

八『彳,所以直线AN:y—y=5（％-演）即AN:y=£x—3-①

同理直线BN:y=Ex-迂②

24

x=\+x^=2k

2

联立①和②得，所以点N的坐标为（2攵,一1）,即点N在定直线），=-1上.

/=一1

，4

AC+8。

（2）由（1）知点N为。。的中点，取A8的中点E,则EN=由题知4C+3O=A3,

2

「°ENCNENDN「ENCNABCN

所以A8=2EN,所以=S^AEN+=-—+—；—=2X---=---

.。ACCNAFCNeBDDNBFCN

而S^ACV==2，S^BDN==2*

若存在点N满足题意，则22^^=3。5+3”服，即2M=AF+AB,

所以2（为-0）=°—x+w—%即々=一2五③

\x+%=4A

又因为[

[中2=-4

万

将③代入④解得2二土注，由（I）知M2攵1）即-11,经检验，存在N1±—&,-1满足题意.

4

【点睛】关键点点睛：木题考查了直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由A（4y）,网与,必），求出

点N的坐标为（2上—1）以及％=-2百，考查了计算能力、推理能力.

22

例2.（2021•安徽安庆市•高三一模（文））已知椭圆C：]+a=1（。>6>0）直线/:

x—46》+百=0过椭圆的左焦点尸，与椭圆C在第一象限交于点M，三角形MFO的面积为也，4、

4

8分别为椭圆的上下顶点，?、。是椭圆上的两个不同的动点

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线小的斜率为心八，直线。5的斜率为即8,若2MM+&@=°，问直线R2是否过定点，若过定

点，求出定点；否则说明理由.

2

【答案】（1）^+/=1；（2）直线P。过定点（0,3）.

【分析】（1）根据直线工一4by+6=0过左焦点尸，得到c=JJ，再由三角形MFO的面积为包，求

4

得点M的坐标，代入椭圆方程求解；（2）设直线修的方程为了=丘+1,则的方程为丁=-2"-1,分

别与椭圆方程联立求得点P,Q的坐标，写出PQ的直线方程求解.

【解析】（1）直线/：工一46），十6=0过左焦点尸，所以尸卜石,0）,c=B

又由从而椭圆经过点.

242\）

由椭圆定义知2a=!+J12+』=4,即。=2,故椭圆的方程为C：—+/=1.

2V44

y=kx+\

（2）设直线24的方程为丁="+1,则Q8的方程为），=一2米一1,由广2,、，得

x~+4y=4

/-8k1-4公、

（4公+1）38收=（）,从而点尸坐标为

、4炉+1'4新+1,

有二得（原2+1片+16"=0,从而点Q坐标为/76k16储-1、

由，J6F+ri6Z:2+lJ，

由条件知Aw0,从而直线尸。的斜率存在，心”=吃上1

PQ4k

所以直线尸。的方程为y一黑二察［十篇〉即"筌过定点（。,3）,故直线

PQ过定点（0,3）.

【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方

程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②

从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.

22

例3.（2021•江西重点中学协作体联考）己知椭圆。：5+写=1（4＞匕＞0）,长轴为4,不过原点。且不平

行于坐标轴的直线/与C有两个交点A,B,线段A3的中点为直线OM的斜率与直线/的斜率的乘积为定

值-%

（I）求椭圆C的方程；

（2）若直线/过右焦点尸2,问尸轴上是否存在点。，使得三角形为正三角形，若存在，求出点。，若不

存在，请说明理由.

【答案】（I）£+£=1：（2）不存在这样的点。，理由见解析.

43

【分析】（1）由题意可得。=2,设点A（x，yJ,8（/必），利用点差法可得心8MoM=—」.即可求出

a~

b,从而得解；（2）设直线/：），=4（工-1）,联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可表示出点

M，假设存在点。，求出MQ的直线方程，从而得到。点坐标，利用弦长公式求出、眼。|,由

△ABQ为等边三角形，则|MD|二等|A5|，即可得到方程，即可判断；

【解析】⑴由题意可知：勿=4,所以。=2,设点A（/y）,8（々%），A,8在椭圆上,

.i+£-i

z+从-1..........①

09

i+A=i

3.y2fy+必二3

因为心广府历=一日③

Xy+X24

由①•②得N—g+K—4=0,即可一石iy一％=0,所以B•山=一£

2

a~ab~b~CTx2-x1x1+x2a~

22

由③得-与7，，〃=3，..・椭圆C方程为：工+匕=1.

a"443

x2y2

（2）设直线/：y=-x-l）联立，工十7=得(3+442)工2—8攵21+4&2-12=0,

y=k(x-1)

Sk24F—12

3+4欠2

:.yi+y2=k(xl-1)+k(x2-\)=k(xi+x2)-2k=kx^---2k=--^-

D+QKDI，K

必3k

(3+4亡3+4FJ

3k144、

假设存在点。，则历。的直线方程为：y+X-,D0,-----r

3+4-一一%3+4F>I3+4公

心4攵2-12」2(1+灯

所以|A81=717/卜］一司=VI*弘

(3+4吃3+4/3+4火2

|MD|=Jl+4-.竺二-。4|%|炉71

V/3+奴3+4改

若△A5O为等边三角形则：|加/）|二等朱鬻会工"+27S方程无

|AB|，

实数解，，不存在这样的点n

【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去M或y）建立一元二次方程，然后借

助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面.不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

例4.一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕0转动，长杆MN通过N处较链与ON

连接，MN上的栓子。可沿滑槽A8滑动，旦DN=ON=1,MN=3.当栓子。在滑槽A5