苏教版学高中数学选修统计案例回归分析讲义

学习目标核心素养

1.会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图1.通过学习线性回归分析，

认识变量间的相关关系.提升数据分析、数学建模素

2.了解线性回归模型，能根据给出的线性回归方程养.

系数公式建立线性回归方程.(重点、难点)2.通过对相关关系的学习，

3.了解回归分析的基本思想、方法及简单应用.提升数学运算、数学抽象素养.

自主预习。揣新相

Z.1ZHUYIJXITAZX1ZNI1I

K新知初探G

1,线性回归模型

(1)线性回归模型的概念：将b=a+bx+£称为线性回归模型,其中a+3”是确定性函数，£称为

随机误差.

(2)线性回归方程:直线错误！=错误！+错误!x称为线性回归方程，其中错误!称为回归截距，错误!

称为回归系数，错误!称为回归值，其中

错误！

其中错误！=错误!错误!巧，错误！=错误!错误!必

2.相关关系

(1)壁系数是精确刻画线性相关关系的量.

(2)相关系数々错误！

=错误!.

(3)相关系数/•具有的性质：

1|心1；

2川越接近于1,x,y的线性相关程度越强；

3M越接近于0,x,y的线性相关程度越挹.

(4)相关性检验的步骤：

1提出统计假设外：变量x,y不具有线性相关关系；

2如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1—0.95=0.05与/7—2在附录2中查出一个r

的临界值々,05（其中1—0.95=0.05称为检验水平）；

3计算样本相关系数广；

4作出统计推断：若力＞々.05,则否定Ho,表明有95%的把握认为x与y之间具有线性相关关系；

若用4/D.05,则没有理由拒绝原来的假设H0,即就目前数据而言，没有充分理由认为y与x之间有线性

相关关系.

思考1:在回归直线方程错误！=错误！+错误!*中，当一次项系数错误!为正数时，说明两个变量有

何相关关系？在散点图上如何反映？

［提示］说明两个变量正相关，在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势.

思考2:有什么办法判断两个变量是否具有线性相关关系?

［提示］作出散点图，看这些点是否在某一直线的附近，或通过计算线性相关系数.

—初试身手」

1•若回归直线方程中的回归系数错误！=0,则相关系数为（）

A.r=1B.r=—l

C.r=0D.无法确定

C［因为错误！=错误！=0时，有错误！（必一错误！）（上错误！）=0,故相关关系/"=错误！=0.］

2.下列结论正确的是（）

1函数关系是一种确定性关系；2相关关系是一种非确定性关系；3回归分析是对具有函数关系的两

个变量进行统计分析的一种方法；4回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方

法.

A.12B.123

C.124D.1234

C［函数关系和相关关系的区别是前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故12正确；回归分析

是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种方法，故3错误，4正确.］

3.某考察团对10个城市的职工人均工资x（千元）与居民人均消费y（千元）进行调查统计，得出

P与x具有线性相关关系，且线性回归方程为错误！=0.6%+1.2.若某城市职工人均工资为5千元，

估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为()

A.66%B.67%

C.79%D.84%

D匕/与x具有线性相关关系，且满足回归方程错误！=0.6x+1.2，该城市居民人均工资为错误!

=5，，可以估计该城市的职工人均消费水平错误！=0.6x5+1.2=4.2,.•.可以估计该城市人均

消费额占人均工资收入的百分比为错误！=84%」

4.已知回归直线方程为错误！=2—2.5x,则x=25时，错误!的估计值为.

—60.5[因为错误！=2—2.5x,又*=25,所以错误！=2—2.5x25=—60.5.即

错误!的估计值为-60.5.]

合作探究。提素养

HEZU。TAZJIUTISUYANG

队大型]回归分析的有关概念

【例1】(1)有下列说法：

1线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；

2利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；

3通过回归方程错误！=错误!X+错误！，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；

4因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.

其中正确的命题是(填序号).

(2)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程错误！=错误!x+错误！+e(单位：亿元)，

其中错误！=0.8,错误！=2,同40.5,如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超

过_______亿.

(1)123(2)10.5[(1)1反映的正是最小二乘法思想，故正确.2反映的是画散点

图的作用，也正确.3解释的是回归方程错误！=错误!X+错误!的作用，故也正确.4在求回归方程之前

必须进行相关性检验，以体现两变量的关系，故不正确.

(2)由题意可得：错误！=0.8x+2+e,当x=10时，错误！=0.8xl0+2+e=10+e,又

|e|<0.5,.'.9.54错误！410.5.

故今年支出预计不会超过10.5亿.]

规律方法

1.在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然

后利用最小二乘法求出回归直线方程.

2.由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值.

3.随机误差的主要来源

(1)线性回归模型与真实情况引起的误差；

(2)省略了一些因素的影响产生的误差；

(3)观测与计算产生的误差.

Q跟蹋训练

1.下列有关线性回归的说法,不正确的是(填序号).

1自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；

2在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；

3线性回归方程最能代表观测值x,y之间的关系；

4任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.

4［只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程.］

岭型2求线性回归方程

【例2］某班5名学生的数学和物理成绩如下表：

学生

ABCDE

学科成绩

数学成绩(X)8876736663

物理成绩(y)7865716461

(1)画出散点图；

(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；

(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩.

［思路探究］先画散点图，分析物理与数学成绩是否有线性相关关系，若相关，再利用线性回归模型

求解.

［解］(1)散点图如图所示.

y

90-

80-.

70-*

••

60-*

501-----1----1-------1-----1-----1-----1-----1----->

5560657075808590人

(2)由散点图可知y与*之间具有线性相关关系.

因为错误！=错误！X(88+76+73+66+63)=73.2,

错误！=错误！x(78+65+71+64+61)=67.8,

错误!物=88x78+76x65+73x71+66x64+63x61=25054,

错误!耀误！=882+762+732+662+632=27174.

所以错误！=错误！=错误!.625,

错误！=错误!一错误!错误!,67.8—0.625x73.2=22.05.

所以y对x的回归直线方程是错误！=0.625X+22.05.

(3)当*=96时，错误！=0.625x96+22.05^82,即可以预测他的物理成绩是82.

规律方法

1•求线性回归方程的基本步骤

2.需特别注意的是，只有在散点图大致呈直线时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则求出的

回归方程毫无意义.

。跟踪训练

2.某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场调查中发现，此商品的销售单价x(x取整数)

元与日销售量y台之间有如下关系：

X35404550

y56412811

(1)y与*是否具有线性相关关系？如果具有线性相关关系，求出回归直线方程.(方程的回归系数

保留一位有效数字)

(2)设经营此商品的日销售利润为。元，根据(1)写出。关于x的函数关系式，并预测当销售单

价X为多少元时，才能获得最大日销售利润.

［解］(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性

相关.

设回归直线为错误！=错误!x+错误！.由题知错误！=42.5,错误！=34,

则求得错误！=错误！=错误!，一3,

错误！=错误!一错误!错误！=34—(—3)x42.5=161.5,

..错误！=—3x+161.5.

(2)依题意有P=(—3x+161.5)(—30)=—3/+251.514845=—3错误!

2+错误!一4845.

.•.当丫=错误!2时，。有最大值，约为426,

即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.

1aM3线性回归分析

［探究问题］

1.作散点图的目的是什么？

［提示］直观分析数据是否存在线性相关关系.

2.下表显示出变量y随变量x变化的一组数据，由此判断表示y与x之间的关系最可能的是

.(填序号)

X45678910

y14181920232528

1线性函数模型；2二次函数模型；3指数函数模型；4对数函数模型.

［提示］画出散点图(图略)，可以得到这些样本点在一条直线附近，故最可能是线性函数模型.故填

【例3】10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：

X74717268767367706574

y76757170767965776272

其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩.

(1)y与x是否具有相关关系？

(2)如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程.

［思路探究］可先计算线性相关系数r的值，然后与々.。5比较，进而对x与y的相关性做出判断.

［解］(1)由已知表格中的数据，求得错误！=71,错误！=72.3,

r=错误！*0.78.

由检验水平0.05及〃-2=8,在课本附录2中查得4.05=0.632，因为0.78>0,632,

所以y与x之间具有很强的线性相关关系.

(2)y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为

错误！=错误！+错误!X,则有错误！=错误!，1.22,

错误！=错误!一错误!错误！=72.3—1.22x71=—14.32.

所以y关于x的回归直线方程为错误！=1,22A—14.32.

规律方法

1,线性回归分析必须进行相关性检验；若忽略，则所求回归方程没有实际意义.

2.加越接近于1,两变量相关性越强，M越接近于o,两变量相关性越弱.

3.关于两个变量x和y的7组数据如下表所示:

X21232527293235

1132

y711212466

55

试判断x与y之间是否有线性相关关系.

［解］错误！=错误！x(21+23+25+27+29+32+35)*27.4,

错误！=错误！x(7+11+21+24+66+115+325)«81.3,

错误!浦误！=212+232+252+272+292+322+352=5414,

错误!物=21x7+23x11+25x21+27x24+29x66+32x115+35x325

=18542,

错误!婕误！=72+112+212+242+662+1152+3252=124393,

.■/=错误！

=错误！

«0.8375.

-.0.8375>0,755,

.”与y之间具有线性相关关系.

g课堂小结n

1.本节课的重点是线性回归方程的求法，及线性回归分析，相关关系；难点是恰当选择模型，求解

回归方程.

2.注意，回归直线方程一定过样本中心点(错误！，错误！).

当堂达标。国叩基

DAZGTAZGDABIACGUSHUAZC

1,判断(正确的打"门，错误的打"X")

(1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.()

(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.()

(3)若相关系数r=0,则两变量x,y之间没有关系.()

［答案］(1)V(2)x(3)V

2.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用*(万元)4235

销售额y(万元)49263954

根据上表可得回归方程错误！=错误!x+错误!中的错误!为9.4,据此模型预报广告费用为6万元

时销售额为()

A.63.6万元B.65.5万元

C.67.7万元D.72.0万元

B【样本点的中心是(3.5,42)，则错误！=错误!一错误!错误！=42—9.4x3.5=9.1,

所以回归直线方程是错误！=9.4x+9.1,把x=6代入得错误！=65.5.］

3.设某大学生的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本

数据(为，/)(/=1,2，…，77),用最小二乘法建立的回归方程为错误！=0.85—85.71,则下列

结论中正确的是_______(填序号).

(1)y与x具有正的线性相关关系；

(2)回归直线过样本点的中心(错误！，错误！)；

(3)若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.8