数学-湖南省长沙市（炎德英才大联考）长郡中学2025届高三上学期月考试卷（三）试题和答案

得分本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。1.设集合A={1,2},B={2,3},C={1,2,3,4},则A.A∩B=B.AUB=CC.AUC=C2.在复平面内，复数z1对应的点和复数z₂=1+2i对应的点关于实轴对A.5B.√5C.—3—4iD.—3+3.已知向量a,b满足|a|=3,|b|=2√3,且a⊥(a+b),则b在a方向上的A.3B.—3C.—3aD.—a4.已知函数f(x)的定义域为R,f(5)=4,f(x+3)是偶函数，Vx₁,x₂∈(3,十一),A.f(0)<4C.f(2)>45.若正四棱锥的高为8,且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱A.24B.32C.966.已知曲线y=e²在x=1处的切线l恰好与曲线y=a+lnx相切，则实数a的值为数学试题(长郡版)第1页(共8页)7.在直角坐标系中，绕原点将x轴的正半轴逆时针旋转角)交纵坐标且△OAB的面积,则B点的纵坐标为AA8.已知双曲线C(a>0,b>0)的左顶点为A,F(c,0)是双曲线C的右焦点，点P在直线x=2c上，且曲线C的离心率是A.2√6B.2√3二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)9.函数)的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有A.f(x)的最小正周期为2π是f(x)的最小值个单位长度，可得到函D.把函数y=f(x)的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y=3sin2x的图象数学试题(长郡版)第2页(共8页)A.若B₁P与平面ABCD所成的角为,则点P的轨迹长度为11.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C:y²=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90°,180°,270°后所得三条曲线与C围成的(如图阴影区域),A,B为C与其中两条曲线A.开口向上的抛物线的方程为C.直线x+y=t截第一象限花瓣的弦长的最大值为D.阴影区域的面积大于4选择题答题卡题号123456789得分答案三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12.若(x—1)⁵=ao+ajx+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+asx⁵,则a₂=则实数a的取值范围是数学试题(长郡版)第3页(共8页)14.设Tn为数列{an}的前n项积，若T,+an=m,其中常数m>0,数列四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c—a)(b+(1)求A;(2)若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=√3,求数学试题(长郡版)第4页(共8页)16.(本小题满分15分)AC=1,AA₁=2.(2)若直线BA₁与平面BCC₁B₁所成角的正弦值,求平面A₁BB₁与平面BCC₁B₁夹角的余弦值.数学试题(长郡版)第5页(共8页17.(本小题满分15分)人工智能(AI)是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟.某公司研究了一款答题机器人，参与一场答题挑战.若开始基础分值为m(m∈N*)分，每轮答2题，都答对得1分，仅答对1题得0分，都答错得一1分.若该答题机器人答对每道题的概率均为,每轮答题相互独立，每轮结束后机器人累计得分为X,当X=2m时，答题结(1)当m=3时，求机器人第一轮答题后累计得分X的分布列与数学期望；(2)当m=4时，求机器人在第6轮答题结束且挑战成功的概率.数学试题(长郡版)第6页(共8页)18.(本小题满分17分)已知椭圆(C)的长轴是短轴倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3.A,B是椭圆的左、右顶点，过A,B分别做椭圆的切线，取椭圆上x轴上方任意两点P,Q(P在Q的左侧),并过P,Q两点分别作椭圆的切线交于R点，直线RP交点A的切线于I,直线RQ交点B的切线于J,过R作AB的垂线交IJ于K.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若R(1,2),直线RP与RQ的斜率分别为k₁与k₂,求k₁k₂的值；(3)求证：数学试题(长郡版)第7页(共8页)19.(本小题满分17分)对于函数f(x),若实数xo满足f(xo)=xo,则称xo为f(x)的不动点.的不动点的集合为A.以minM和maxM分别表示集合M中的最小元素和最大元素.(1)若a=0,求A的元素个数及maxA;(2)当A恰有一个元素时，a的取值集合记为B.。数学试题(长郡版)第8页(共8页)二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.)*。*。,又....A₁C₁D,所以AC//平面A₁C₁D,同理可证BC//平面A₁C₁D,又因为ACNB₁C=C,且AC,B₁CC平面AB₁C,所以平面AB₁C//平面A₁C₁D,因为B₁PC平面AB₁C,所以B₁P//AB,CD的中点E,F,连接EF,AF,BF,可得点P在线段EF上运动，若A₁P⊥BP,因为AAA₁⊥平面ABCD,且BPC平面ABCD,所以AA₁⊥BP,A₁P∩A₁A=A₁,A₁P,A₁AC平面A₁AP,故BP工平面A|AP,又APC平面A₁AP,故BP⊥AP,所以点P在以AB为直径的圆上，又因为AB=2AD=2,可得线段EF与以AB为直径的圆只有一个交点F,所以当点P与F重合时，即当且仅当P为CD的中点时，能使得A₁P⊥BP,所以CAF,EF,可得点P在线段AF上运动，沿着AF将直角△AA₁F和平面△ADF展开在一个平面上，如图所示，在对于B,根据A项分析，由可解得x=0或x=2,即xa=2,代入可得yx=2,对于C,如图，设直线x+y=t与第一象限花瓣分别交于点M,N,即得M(t+1-√2t+1,√2t+1-1),N(√2t+1-1,t+1-√2t+1),则弦长为|MN|=√2(t+2-2√2t+1)²=√2|t+由图知，直线x+y=t经过点A时t取最大值4,经过点O时t取最小值0,即在第一象限部分满足0<I<4,在抛物线)上取一点P,使过点P的切线与直线OA平行，由y'=x=1可得切点坐标为..下的面积必大故原图中的阴影部分面积必大故D正确.下三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)设g(x)=x²+4x+a-2,对称轴为x=-2,g(x)在(-0,-2)上单调递减，在(-2,+0)上单调递增，∴g(1)>0,且g(-2)<0,即解得-3<a<6,所以a的取值范围是(-3,6).②若d≠0,则1-a-1=dm²-dma-1∴解得因为∠BAD=3∠CAD,事*事*因为,故……13分,解得AC=3.因为A₁C⊥AB,AC,ABC平面ABC,ACNAB=A,所以A₁C⊥平面ABC.……………(2)易知A₁C,AC,BC两两相互垂直，分别以CA,CB,CA₁为x,y,z轴建立空间直角坐(0,-k,√3),CB=(0,k,0),CC设平面BCC₁B₁的法向量n=(x,y,z),令x=√3,则y=0,z=1,所以平面BCC₁B₁的一个法向量n=(√3,0,1),设直线BA与平面BCC₁B₁所成的角为0,则,解得k=1,………10分可令z=1,则x₀=√3.yo=√3,可所以平面A₁BB₁的一个法向量m=(√3,√3,1),设平面A₁BB₁与平面BCC₁B₁的夹角为α,则15分所以第一轮答题后累计得分X的分布列为：X432……………………8分情况①:前5轮答题中，得1分的有3轮，得0分的有2轮，第6轮得1分；情况②:前4轮答题中，得1分的有3轮，得—1分的有1轮，第5、6轮都得1分，…15分地地所以椭圆C的标准方程………(2)设过点R的切线方程为y-2=k(x—1),即y=kx+(2—k),由△=0→64k²(2—k)²=4(4k²+3)[4(2—k)²—12],因为AI//K'K//JB,设P,Q两点处切线斜率分别为k₁,k₂,过R点的椭圆的切线方程为y-yo=k(x—x₀),即y=kx+(y₀—kx₀),由△=0,得64k²(kx₀—y₀)²=4(4k²+3)[4(kx₀—yo)²-12],只需证即k₂(4-x³)+y₀(2+x₀)=k₁(x²-4)+y(2-x₀)4(k₁+k₂)+2x,yo=(因为所以上式成立，成立.……………………17分所以g(x)在上调递增；单调递减，注意到g(1)=0,所以g(x)上恰有一个零点x=1,且又g(e-²)=—e-²<0,所以,所以g(x)上恰有一个零点x。,即f(x)在上恰有一个不动点x=1,上恰有一个所以A={x。,1},所以A的元素个数为2,当a>0时,其定义域为(0,+一),设F(x)=4ax²-2x+1,则△=4—16a,又h(1)=0,所以h(x)在(0,+)上恰有一个零点x=1,即f(x)在(0,+○)上恰有一个不动点x=1,符合题意；②当时，△>0,故F(x)恰有两个零点x₁,x₂(x₁<x₂).又因为F(0)=1>0,F(1)=4a-1<0,所以0<x₁<1<x₂,所以h(x)在(0,x₁)上单调递增，在(x₁,x₂)上单调递减，在(x₂,十)上单调递