等差数列的前n项和

2.3等差数列的前n项和(二)前n和公式：共5个量，由三个公式联系，知三可求二.

通项公式：知识回顾:等差数列{an}倒序相加法公式2可化为:它的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的离散点,横坐标为n，纵坐标为

Sn.当A≠0，即d≠0时，上式是关于n的二次函数,且常数项为零.导思：等差数列{an}的判定方法：导学：例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B导思：Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d例、已知两个等差数列{an},{bn},它们的前n项和分别记为Sn,Tn,例3.解法2：由已知得：例3.典型例题1(1)已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为(

)A.5 B.4 C.3 D.2(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27,则公差d=

.

(3)在项数为2n+1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n的值为

.

思路分析:(1)(2)利用项数为2n的等差数列中,S偶-S奇=nd的性质求解或转化为用基本量a1,d求解;(3)利用项数为2n-1的等差数列的性质求解.解析:(1)由题意得S偶-S奇=30-15=5d,故d=3.∵S偶-S奇=6d,∴d=5.(3)∵等差数列有2n+1项,S奇-S偶=a中,∴a中=15.又S2n+1=(2n+1)a中,∴165+150=(2n+1)×15,∴n=10.答案:(1)C

(2)5

(3)10方法总结关于奇数项和与偶数项和的问题,用等差数列的性质求解,能简化计算.例4.一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d.解：由题意知，S奇+S偶=354,S偶:S奇=32:27.列方程组解得：S奇=162，S偶=192，S偶-S奇=6d=30，所以d=5.随堂练习：跟踪训练探究二、求数列{|an|}的前n项和已知等差数列{an},求{|an|}的前n项和的步骤:(1)确定通项公式an;(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号,即判断数列{an}是先负后正,还是先正后负;(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值,转化为{an}的前n项和求解,转化过程中有时需添加一部分项,以直接利用数列{an}的前n项和公式;(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.

变式训练2

已知数列{an}的通项公式是an=4n-25,求数列{|an|}的前n项和.解:∵an=4n-25,∴an+1=4(n+1)-25,an+1-an=4,a1=4×1-25=-21,∴数列{an}是以-21为首项,公差为4的等差数列.∴数列{an}中前6项均小于0,从第7项起均大于0.①当n≥7时,|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an)=(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6)=Sn-2S6=2n2-23n+132.②当n≤6时,|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-2n2+23n.等差数列前n项和的性质：小结①③②④则Sn最大。则Sn最小。不等式法求的最值：小结⑤