三角函数难题训练

三角函数难题训练三角函数难题训练三角函数难题训练三角函数难题训练编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角函数难题训练）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为三角函数难题训练的全部内容。1、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥,原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处,使∠ADC=30°（如图所示）．（1)求调整后楼梯AD的长；(2）求BD的长．（结果保留根号）2、如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离,在海岸线PQ上点E处测得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在点F处测得∠AFP=60°,∠BFQ=60°，EF=1km．（1）求证AB=AE；（2)两个岛屿A和B之间的距离为多少km(结果精确到0。1km）（参考数据：根号3≈1。73，cos74°≈0。28，tan74°≈3。49，sin76°≈0.97,cos76°≈0.24）3、一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2)，测得CG=10cm,则两个三角形重叠（阴影)部分的面积为多少？4、如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上,点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC=；②S△ABC+S△CDE≥S△ACE;③BM⊥DM;④BM=DM．正确结论的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3,则下列结论正确的是(）A、S1=S2=S3B、S1=S2＜S3C、S1=S3＜S2D、S2=S3＜S16、在矩形ABCD中,有一个菱形BFDE（点E,F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题①若，则tan∠EDF=，;②若DE的平方=BD•EF，则DF=2AD．则（）①是真命题，②是真命题B、①是真命题，②是假命题C、①是假命题，②是真命题D、①是假命题,②是假命题7、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=6，D是AC上一点,若tan∠DBA=，则AD的长是多少?8、在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高,F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=DE中,一定正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个如图,两个高度相等且底面直径之比为1:2的圆柱形水杯,甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（)10、如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行,在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时,往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．11、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,DC=5，AB=4倍根号2，∠B=45°动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．(1）求BC的长;（2)当MN∥AB时,求t的值；（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．12、如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠C=90°,BC=16,DC=12，AD=21．动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发,在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动,点P,Q分别从点D,C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t(秒）．（1）设△BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式；(2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形；(3)当线段PQ与线段AB相交于点O,且2AO=OB时，求∠BQP的正切值;（4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．13、水务部门为加强防汛工作，决定对程家山水库进行加固．原大坝的横断面是梯形ABCD,如图所示，已知迎水面AB的长为10米，∠B=60°，背水面DC的长度为10倍根号3米,加固后大坝的横断面为梯形ABED．若CE的长为5米．（1）已知需加固的大坝长为100米,则需要填方多少立方米;（2)新大坝背水面DE的坡度为多少？（计算结果保留根号)14、如图15，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D,经测量景点D位于景点A的北偏,东30°方向上,景点D位于景点B的正北方向,还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km，AD=8km.景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(结果精确到0。1km）求景点C与景点D之间的距离（结果精确到1km)（参考数据：EMBEDEquation.3≈1。73，EMBEDEquation.3≈2。24，sin53°=cos37°=0.80,sin37°=cos53°=0。60，tan53°=1.33，tan37°=0。75，sin38°=cos52°=0。62，sin52°=cos38°=0。79，tan38°=0.78，tan52°=1.28,sin75°=0.79,cos75°=0。26,tan75°=3。73）15某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点EMBEDEquation.DSMT4处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米，探测线与地面的夹角分别是30°和60°（如图），试确定生命所在点C的深度．（结果精确到0.1米,参考数据：EMBEDEquation.DSMT4，EMBEDEquation.DSMT4)16、（1）如图16-1，16-2，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定,变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律。(2）根据你探索到的规律,试比较18°，35°，50°,62°,88°,这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小比较大小,（在空格处填写“＜"“＞”“或”“＝‘’）若α=45°，则sinαcosα若α＜45°，则sinαcosα若α＞45°，则sinαcosα利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小。sin10°、cos30°、sin50°、cos70°1、解：(1)已知AB=6m，∠ABC=45°，∴AC=BC=AB•sin45°=6×=3,已知∠ADC=30°．∴AD=2AC=6．答：调整后楼梯AD的长为6m;（2）CD=AD•cos30°=6×=3,∴BD=CD—BC=3-3．答：BD的长为3-3(m）．解:（1）相等（1分）因为∠BEQ=30°,∠BFQ=60°，所以∠EBF=30°,所以EF=BF（2分)又因为∠AFP=60°,所以∠BFA=60°．在△AEF与△ABF中,EF=BF,∠AFE=∠AFB，AF=AF，所以△AEF≌△ABF,所以AB=AE（5分）（2）方法一：作AH⊥PQ，垂足为H，设AE=x则AH=xsin74°，HE=xcos74°HF=xcos74°+1（7分）Rt△AHF中，AH=HF•tan60°．所以xsin74°=（xcos74°+1）•tan60°即0。96x=（0.28x+1)×1。73所以x≈3.6，即AB≈3。6km答：两个岛屿A与B之间的距离约为3.6km．（10分）方法二：设AF与BE的交点为G,在Rt△EGF中，因为EF=1，所以EG=（7分）在Rt△AEG中，∠AEG=76°，AE=EG÷cos76°=÷0.24≈3。6答：两个岛屿A与B之间的距离约为3。6km．(10分）3：过G点作GH⊥AC于H,如图,∠GAC=60°,∠GCA=45°,GC=10cm,在Rt△GCH中，GH=CH=GC=5cm，在Rt△AGH中,AH=GH=cm，∴AC=（5+)cm，∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积=•GH•AC=×5×（5+）=25+4、解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形, ∴AB=BC,CD=DE，∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，∴∠ACE=90°;∵△ABC∽△CDE∴==①∴tan∠AEC=,∴tan∠AEC=；故本选项正确;②∵S△ABC=a2,S△CDE=b2,S梯形ABDE=（a+b）2，∴S△ACE=S梯形ABDE—S△ABC—S△CDE=ab，S△ABC+S△CDE=(a2+b2）≥ab(a=b时取等号）,∴S△ABC+S△CDE≥S△ACE；故本选项正确；④过点M作MN垂直于BD，垂足为N．∵点M是AE的中点，则MN为梯形中位线，∴N为中点，∴△BMD为等腰三角形，∴BM=DM；故本选项正确；③又MN=（AB+ED）=（BC+CD),∴∠BMD=90°，即BM⊥DM;故本选项正确．故选D．5、解：设三角形的三边长分别为a、b、c，∵分别以△ABC的边AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，∵AE=AB,∠ARE=∠ACB，∠EAR=∠CAB，∴△AER≌△ACB,∴ER=BC=a，FA=b,∴S1=ab，S3=ab，同理可得HD=AR=AC，∴S1=S2=S3=．故选A．6、解：①设CF=x，DF=y,BC=h,则由已知菱形BFDE，BF=DF=y由已知得：=得：=，即cos∠BFC=,∴∠BFC=30°，由已知∴∠EDF=30°∴tan∠EDF=，所以①是真命题．②已知菱形BFDE，∴DF=DE由已知△DEF的面积为:DF•AD，也可表示为：BD•EF，又DE2=BD•EF，∴△DEF的面积可表示为:DE的平方即:DF的平方，∴DF•AD=DF2，∴DF=2AD,所以②是真命题．故选：A．7、解：作DE⊥AB于E点．∵tan∠DBA==,∴BE=5DE，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴AE=DE．∴BE=5AE，又∵AC=6，∴AB=6．∴AE+BE=5AE+AE=6，∴AE=，∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2．8、解：①∵BD、CE为高，∴∠BDC=∠CEB=90°，又∵F为BC的中点，∴DF=BC，EF=BC,∴DF=EF；②∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴AD：AB=AE：AC；③∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵DF=CF，EF=BF,∴∠BEF+∠CDF=120°,∴∠BFE+∠CFD=120°，∴∠DFE=60°，又∵DF=EF，∴△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC•[sin∠BCE+sin(60°-∠BCE)]，不一定等于BC；⑤∵∠ABC=45°,∴BE=BC=DE．正确的共4个．故选C．9、甲液体的体积等于液体在乙中的体积．设乙杯中水深为x，则π×12×16=π×48×x，解得x=4．在直角△ABP中，已知AP=43，AB=83，∴BP=12．根据三角形的面积公式可知直角△ABP斜边上的高是6，所以乙杯中的液面与图中点P的距离是16-6—4=6．故选B．10、解：∵飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方,俯角分别为60°和30°，到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=30°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-60°=90°，即△ABC为直角三角形，∵AB=6千米，∴BC=AB•cos30°=6×32=33千米．Rt△ABD中，BD=AB•tan30°=6×33=23千米，作CE⊥BD于E点，∵AB⊥BD,∠ABC=30°，∴∠CBE=60°，则BE=BC•cos60°=323，DE=BD—BE=32，CE=BC•sin60°=92，∴CD=DE2+CE2=（32）2+(92）2=21千米．∴山头C、D之间的距离根号21千米．11、解：(1)如图①，过A、D分别作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，则四边形ADHK是矩形．∴KH=AD=3．在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=42•22=4BK=AB•cos45°=42•22=4．在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC=52—42=3．∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2）如图②,过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形．∵MN∥AB，∴MN∥DG．∴BG=AD=3．∴GC=10-3=7．由题意知，当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10—2t．∵DG∥MN，∴∠NMC=∠DGC．又∠C=∠C，∴△MNC∽△GDC．∴CNCD=CMCG，即t5=10-2t7．解得，t=5017．（3）分三种情况讨论：①当NC=MC时，如图③，即t=10-2t，∴t=103．②当MN=NC时，如图④，过N作NE⊥MC于E．解法一：由等腰三角形三线合-性质得EC=12MC=12（10-2t)=5—t．在Rt△CEN中，cosc=ECNC=5—tt，又在Rt△DHC中，cosc=CHCD=35，∴5—tt=35．解得t=258．解法二：∵∠C=∠C，∠DHC=∠NEC=90°,∴△NEC∽△DHC．∴NCDC=ECHC，即t5=5-t3．∴t=258．③当MN=MC时，如图⑤，过M作MF⊥CN于F点．FC=12NC=12t．解法一:(方法同②中解法一）cosC=FCMC=12t10—2t=35，解得t=6017．解法二:∵∠C=∠C，∠MFC=∠DHC=90°，∴△MFC∽△DHC．∴FCHC=MCDC,即12t3=10-2t5，∴t=6017．综上所述，当t=10分数线3、t=258或t=6017时，△MNC为等腰三角形．12、解（1)如图，过点P作PM⊥BC，垂足为M,则四边形PDCM为矩形．∴PM=DC=12．∵QB=16-t，∴S=12×12×（16-t)=96—6t（0≤t＜16)；(2）由图可知:CM=PD=2t，CQ=t．以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：①若PQ=BQ．在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得t=72；②若BP=BQ．在Rt△PMB中，BP2=（16—2t）2+122．由BP2=BQ2得：（16—2t)2+122=（16—t）2即3t2-32t+144=0．由于△=—704＜0,∴3t2—32t+144=0无解，∴PB≠BQ．③若PB=PQ．由PB2=PQ2，得t2+122=(16-2t)2+122整理，得3t2—64t+256=0．解得t1=163，t2=16（不合题意，舍去）综合上面的讨论可知：当t=72秒或t=163秒时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．（3）如图，由△OAP∽△OBQ，得APBQ=AOOB=12．∵AP=2t-21，BQ=16-t,∴2（2t—21）=16-t．∴t=585．过点Q作QE⊥AD，垂足为E．∵PD=2t，ED=QC=t，∴PE=t．在Rt△PEQ中，tan∠QPE=QEPE=12t=3029．又∵AD∥BC,∴∠BQP=∠QPE，∴tan∠BQP=3029；（4)设存在时刻t，使得PQ⊥BD．如图，过点Q作QE⊥AD于E,垂足为E．由Rt△BDC∽Rt△QPE，得DCBC=PEEQ，即1216=t12．解得t=9．所以，当t=9秒时，PQ⊥BD13、解：(1)分别过A、D作AF⊥BC,DG⊥BC，垂点分别为F、G，如图所示在Rt△ABF中,AB=10米，∠B=60°．所以sin∠B=AFAB，∴AF=10×3253，DG=5根号3；所以S△DCE=12×CE×DG=12×5×53=252根号3，需要填方：100×2523=1250根号3（立方米）；（2)在直角三角形DGC中，DC=103，所以GC=DC2—DG2=（103）2—(53）2=15，所以GE=GC+CE=20,所以坡度i=DGGE=5320=34；答：（1）需要土石方1250根3立方米．(2)背水坡坡度为4分之根3．14、解:(1)如图1，过点D作DE⊥AC于E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于F在Rt△DAF中，∠ADF=30°，∴AF=EMBEDEquation.3AD=EMBEDEquation.3×8=4∴DF=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3=4EMBEDEquation.3∴在Rt△ABF中，BF=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3=3∴BD=DF—BF=4EMBEDEquation.3-3sin∠ABF=EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3，在Rt△DBE中，sin∠DBE=EMBEDEquation.3∵∠ABF=∠DBE，sin∠DBE=EMBEDEquation.3∴DE=BD·sin∠DBE=EMBEDEquation.3×（4EMBEDEquation.3—3）=EMBE