完全平方公式

1.6完全平方公式（1）回顾与思考

对于一般的两个二项式的积,看准有无相等的“项”和符号相反的“项”;

仅当把两个二项式的积变成公式标准形式后，才能使用平方差公式.

在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,做到不弄错符号、当第一(二)数是乘积且被平方时要注意添括号,是运用平方差公式进行多项式乘法的关键.完全平方公式

一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b

米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图1—6).图1—6

用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较.abba法一直接求总面积=(a+b)；2法二间接求总面积=a2+ab+ab+b2.你发现了什么?探索:(a+b)2=a2+ab+b2.2公式:完全平方公式(1)你能用多项式的乘法法则来说明它成立吗?(2)小颖写出了如下的算式:(a−b)2=[a+(−b)]2她是怎么想的?你能继续做下去吗?(a+b)2=a2+2ab+b2;a2−2ab+b2.

(a−b)2=

(a+b)2=推证

(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;利用两数和的完全平方公式

推证公式

(a−b)2=[a+(−b)]2=

2

+

2

+

2

aa(−b)(−b)=a22ab−b2.+

初识完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.(a−b)2=a2−2ab+b2.结构特征:左边是的平方;二项式右边是a2+b2a2+b2(两数和)(差)a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2.=(a−b)2a+ba−b两数的平方和+加上−(减去)2ab2ab这两数乘积的两倍.用自己的语言叙述上面的公式语言表述:两数和的平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的两倍.22(差)(减去)aabba2ababb2a−ba−baaabb(a−b)bb(a−b)2(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2几何解释(a+b)2=a2+2ab+b2a2b2abab

aba+b

a+bab

a2ababb2(a+b)2

a+2ab+b22=(a-b)2a-2ab+b22=aaa-bba-bb(a-b)2b2abab

a2ababb2(a-b)2=a22ab+b2例题解析

例1利用完全平方公式计算：(1)(2x−3)2

；(2)(4x+5y)2;(3)(mn−a)2

使用完全平方公式与平方差公式的使用一样,

注意

先把要计算的式子与完全平方公式对照,明确个是a,哪个是

b.第一数4x22x的平方,()2减去第一数与第二数−2x3•乘积的2倍,•2加上+第二数3的平方.2=−12x+9

;解：(1)(2x−3)2

做题时要边念边写：

=随堂练习(1)(x−2y)2

；

(2)(2xy+x)2

；1、计算：(3)

(n+1)2−n2.本课小结本节课你学到了什么?注意完全平方公式和平方差公式不同：形式不同．结果不同：完全平方公式的结果是三项，即(a

b)2＝a2

2ab+b2;平方差公式的结果是两项，即(a+b)(a−b)＝a2−b2.有时需要进行变形，使变形后的式子符合应用完全平方公式的条件，即为“两数和(或差)的平方”，然后应用公式计算.在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边,做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；第一(二)数是乘积被平方时要注意添括号,是运用完全平方公式进行多项式乘法的关键.本课小结纠错练习指出下列各式中的错误，并加以改正：(1)(2a−1)2＝2a2−2a+1;(2)(2a+1)2＝4a2+1；(3)(

a−1)2＝

a2−2a−1.解:(1)第一数被平方时,未添括号;第一数与第二数乘积的2倍少乘了一个2;应改为:(2a−1)2＝(2a)2−2•2a•1+1;

(2)少了第一数与第二数乘积的2倍(丢了一项);应改为:(2a+1)2＝(2a)2+2•2a•1

+1;

(3)第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积的2倍错了符号;第二数的平方这一项错了符号;应改为:(

a−1)2＝(

a)2−2•(

a)•1+12;

纠错练习拓展练习下列等式是否成立?说明理由．(1)(

4a+1)2=(1−4a)2；(2)(

4a−1)2=(4a+1)2；(3)(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2；(4)(4a−1)(

1−4a)＝(4a−1)(4a+1).(1)

由加法交换律

4a+l＝l−4a.成立理由:(2)

∵

4a−1＝

(4a+1)，成立∴(

4a−1)2＝[

(4a+1)]2＝(4a+1)2.不成立．不成立．(3)∵(1−4a)＝−(

1+4a)即(1−4a)＝

(4a−1)＝

(4a−1)，∴(4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[

(4a−1)]＝

(4a−1)(4a−1)＝

(4a−1)2.(4)右边应为:

(4a−1)(4a+1).拓展练习1.6完全平方公式（2）教学目标、重点、难点教学目标1、熟记完全平方公式，说出公式的结构特征．2、会用完全平方公式推出三项式的完全平方的结果．3、会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式计算．此外，在推导三项式的完全平方公式的过程中，感悟换元变换的思想方法.提高灵活应用公式的能力．重点：运用完全平方公式、平方差公式、多项式乘法等进行运算．难点：几个公式的综合运用．完全平方公式共有

个：这2个公式的区别是

；联系是

．2a2+

2ab+

b2;

(a+b)2=(a−b)2=a2−

2ab+

b2;

左边括号内与右边第二项的符号不同左右两边的结构分别相同、第二项的符号与左边括号内的符号相同.

两个公式中的字母都表示什么?(数或代数式)

根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?完全平方公式在计算化简中有些什么用?这节课我们就来研究这个问题.回顾与思考

例1：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖……(1)第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？a2(2)第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？b2第三天多;多2ab.(a+b)2−

(a2+

b2)=读一读(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(a+b)2(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？∵(a+b)2=a2+

2ab+

b2读一读例题解析例2

：利用完全平方公式计算：(1)1022;

(2)1972.完全平方公式(a±b)2=a2±

2ab+

b2的左边的底数是两数的和或差.把1022改写成(a+b)2还是(a−b)2?a、b怎样确定？解：(1)1022＝(100＋2)2

＝1002＋2×100×2＋22

＝10000＋400＋4

＝10404公式的综合运用

例3

计算：(2)(a+b+3)(a+b−3);若不用一般的多项式乘以多项式,

怎样用公式来计算?因为两多项式不同,即不能写成()2,分析故不能用完全平方公式来计算,只能用平方差公式来计算.三项能看成两项吗?

平方差公式中的相等的项(a)、符号相反的项(b)

在本题中分别是什么？解:(a+b+3)(a+b−3)[(a+b)+3][(a+b)−3]=+3(a+b)(a+b)=()2−()2a+b3=a2+2ab+b2−9.公式的综合运用例3

计算：(1)(x+3)2−x2;(3)(x+5)2−(x−2)(x−3).本例两个小题的计算,可能用到哪些公式?

观察

&

思考

(x+3)2−x2的计算你能用几种方法?试一试.法二:平方差公式单项式乘多项式.解:(1)法一完全平方公式合并同类项(见教材);(x+3)2−x2=(x+3+

x)(x+3−x)=(2x+3)•3=6x+9;

阅读

44例3(3).思考本题的计算有哪几点值得注意?运算顺序;(x−2)(x−3)展开后的结果要添括号.随堂练习p27(1)962

；

(2)(a−b−3)(a−b+3).1、利用计算整式乘法公式：1、用完全平方公式计算:1012，982；2、⑴x2−(x−3)2;⑵(a+b+3)(a−b+3)课内练习

如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公式中的“b”换成“p”，那么

(a+b)2变成怎样的式子?(a+b)2变成(m+n+p)2.怎样计算(m+n+p)2呢?(m+n+p)2=[(m+n)+p]2逐步计算得到：=(m+n)2+2(m+n)p+p2=m2+2mn+n2+2mp+2np+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np扩展练习

把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语言叙述这一公式：

三个数和的完全平方等于这三个数的平方和，再加上每两数乘积的2倍.仿照上述结果，你能说出(a−b+c)2所得的结果吗?扩展练习53典型例题

例运用完全平方公式计算:(1)(a+3b)2;(2)(-x+3y)2;(3)(-m-n)2;(4)(2x+3)(-2x-3).解析(1)(a+3b)2=a2+2a·3b+(3b)2=a2+6ab+9b2.(2)(-x+3y)2=(3y-x)2=(3y)2-2·3y·x+x2=9y2-6xy+x2.(3)(-m-n)2=(m+n)2=m2+2mn+n2.(4)(2x+3)(-2x-3)=-(2x+3)2=-(4x2+12x+9)=-4x2-12x-9.题型一

乘法公式的变形应用例1已知(a+b)2=25,ab=6,求a2+b2,(a-b)2的值.解析因为(a+b)2=25,ab=6,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=25-2×6=13,(a-b)2=a2+b2-2ab=13-2×6=1.点拨在利用完全平方公式进行计算时,经常会遇到公式的如下变形:(1)(a

+b)2-2ab=a2+b2;(2)(a-b)2+2ab=a2+b2;(3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2);(4)(a+b)2-(a-b)2

=4ab.题型二

运用完全平方公式进行简便运算例2计算:1022.解析1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404.易错点

运用完全平方公式时弄错符号例计算:(-2a-3b)2.错解原式=4a2-12ab+9b2.正解原式=[-(2a+3b)]2=(2a+3b)2=(2a)2+2·2a·3b+(3b)2=4a2+12ab+9b2.错解提示只注意了中间的符号为“-”,就盲目套用公式是出错的根本

原因.知识点

完全平方公式1.下列各式正确的是

()A.(2a-1)2=4a2-1

B.

=x2+x+

C.(3m+n)2=9m2+n2

D.(-x-1)2=x2-2x+1答案

B

=x2+2x×

+

=x2+x+

.故选B.2.如图1-6-1所示,该几何图形的面积可以表示的公式是()

图1-6-1A.a2-b2=a(a-b)+b(a-b)B.(a-b)2=a2-2ab+b2C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.a2-b2=a(a+b)-b(a+b)答案

C由图形的整体面积等于各部分的面积之和,得(a+b)(a+b)=(a+b)2

=ab+b2+a2+ab=a2+2ab+b2,即(a+b)2=a2+2ab+b2.故选C.3.运用完全平方公式计算89.82的最佳选项是

()A.(89+0.8)2

B.(80+9.8)2C.(90-0.2)2

D.(100-10.2)2

答案

C对90与0.2进行平方计算与乘积计算比其他选项更加方便.4.运用完全平方公式计算:(1)(-2x+5)2;(2)(-m-2n)2;(3)

.解析(1)原式=(2x-5)2=(2x)2-2·2x·5+52=4x2-20x+25.(2)原式=(m+2n)2=m2+2·m·2n+(2n)2=m2+4mn+4n2.(3)原式=

-2·

x·

y+

=

x2-xy+

y2.5.计算:(1)9992;(2)

.解析(1)9992=(1000-1)2=10002-2×1000×1+1=1000000-2000+1=998001.(2)

=

=1002-2×100×

+

=10000-50+

=9950

.1.如果ax2+2x+

=

+m,则a,m的值分别是

()A.2,0

B.4,0C.2,

D.4,

答案

D∵ax2+2x+

=4x2+2x+

+m,∴a=4,

+m=

,∴m=

.故选D.2.已知x+y=-5,xy=6,则x2+y2=

.答案13解析∵x+y=-5,∴(x+y)2=25,∴x2+2xy+y2=25.∵xy=6,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=25-12=13.3.整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2,则A=

.答案4mn解析已知两数的和与其中一个加数,求另一个加数,用减法.A=(m+n)2-(m2-

2mn+n2)=m2+2mn+n2-m2+2mn-n2=4mn.4.计算:(1)(2a+5b)2;(2)

;(3)(-4a+3b)2;(4)(-x-y)2.解析(1)原式=4a2+20ab+25b2.(2)原式=

x2+4y2-2xy.(3)原式=16a2-24ab+9b2.(4)(-x-y)2=x2+2xy+y2.1.一个正方形的边长增加了2cm,面积相应增加了32cm2,则这个正方形的

边长为

.答案7cm解析设该正方形的边长为acm,则有(a+2)2-a2=32,化简,得4a+4=32,解得a=7,即这个正方形的边长为7cm.2.若4a2-(k-1)a+9是一个完全平方式,则k=

.答案13或-11解析因为4a2-(k-1)a+9是一个完全平方式,所以k-1=±12,解得k=13或-11.3.计算:(2a+3b)(2a-3b)-(a-3b)2=

.答案3a2+6ab-18b2

解析原式=4a2-9b2-(a2+9b2-6ab)=3a2+6ab-18b2.4.计算:(1)(3x-2y)2-(3x+2y)2;(2)(a-2b+1)(a+2b-1)-(a+2b)(a-2b);(3)(a+b)2(a-b)2.解析(1)原式=(9x2-12xy+4y2)-(9x2+12xy+4y2)=-24xy.(2)原式=a2-(2b-1)2-(a2-4b2)=a2-4b2+4b-1-a2+4b2=4b-1.(3)原式=[(a+b)(a-b)]2=(a2-b2)2=a4-2a2b2+b4.1.已知(2x+m)2=4x2+nx+9,则n的值为

()A.±6

B.±12C.±18

D.±36答案

B∵(2x+m)2=4x2+4xm+m2=4x2+nx+9,∴4m=n,m2=9,∴m=±3,n=±12,

故选B.2.已知a-b=3,则代数式a2-b2-6b的值为

()A.3

B.6

C.9

D.12答案

C由a-b=3,得a=b+3,则原式=(b+3)2-b2-6b=b2+6b+9-b2-6b=9,故选C.3.已知a-b=5,ab=4,求:(1)3a2+3b2的值;(2)(a+b)2的值.解析(1)因为a-b=5,所以(a-b)2=25,所以a2+b2-2ab=25,又ab=4,所以a2+b2=33,所以3a2+3b2=3(a2+b2)=3×33=99.(2)(a+b)2=a2+b2+2ab=33+2×4=41.一、选择题1.(2019广东梅州伯聪学校质检,3,★☆☆)如果9x2+kx+25是一个完全平方

式,那么k的值是

()A.30

B.±30

C.15

D.±15答案

B

k=±30时,原式=9x2±30x+25=(3x±5)2.2.(2019安徽安庆二十三校联考,8,★★☆)已知a+b=3,ab=2,则a-b的值是

()A.-1

B.1C.±1

D.以上选项都不对答案

C∵a+b=3,ab=2,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=32-4×2=9-8=1.∴a-b=±1.3.(2017江苏苏州工业园区期中,13,★☆☆)若(2a-3b)2=(2a+3b)2-N,则N表示

的代数式是

.二、填空题答案24ab解析因为(2a-3b)2=(2a+3b)2-N,所以N=(2a+3b)2-(2a-3b)2=4a2+12ab+9b2-(4a2-12ab+9b2)=24ab.4.(2019江苏连云港海州期中,21,★☆☆)先化简,再求值:(x-1)(3x+1)-(x+2)2+5,其中x2-3x-1=0.三、解答题解析原式=3x2+x-3x-1-x2-4x-4+5=2x2-6x.因为x2-3x-1=0,所以x2-3x=1,原式=2(x2-3x)=2×1=2.1.(2019江苏东台第二联盟期中,7,★☆☆)下列式子中,计算正确的是

(

)A.(-a-b)2=a2-2ab+b2B.(a+2)(a-2)=a2-2C.(a+5)(a-2)=a2+3a-10D.3a3·2a2=6a6

答案

C

A.原式=a2+2ab+b2;B.原式=a2-4;D.原式=6a5.2.(2018山东淄博临淄一中期中,7,★★☆)设(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A=

()A.30ab

B.60abC.15ab

D.12ab答案

B(5a+3b)2=25a2+30ab+9b2,(5a-3b)2+A=25a2-30ab+9b2+A,∴A=60ab.3.(2017江苏仪征第三中学周考,21,★☆☆)已知x2-5x=14,求(x-1)(2x-1)-(x+

1)2+1的值.解析原式=2x2-x-2x+1-(x2+2x+1)+1=x2-5x+1,将x2-5x=14代入,得原式=14+1=15.一、选择题1.(2019陕西中考,5,★☆☆)下列计算正确的是

()A.2a2·3a2=6a2

B.(-3a2b)2=6a4b2C.(a-b)2=a2-b2

D.-a2+2a2=a2

答案

D

A.原式=6a4;B.原式=9a4b2;C.原式=a2-2ab+b2.2.(2019广西北部湾经济区中考,6,★☆☆)下列运算正确的是

()A.(ab3)2=a2b6B.2a+3b=5abC.5a2-3a2=2D.(a+1)2=a2+1答案

A2a与3b不是同类项,不能合并,B错误;5a2-3a2=2a2,C错误;(a+1)2=a2+2a+1,D错误.故选A.3.(2019四川资阳中考,9,★★☆)4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片按如

图1-6-2的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形,图中空白部分的面积为S1,

阴影部分的面积为S2.若S1=2S2,则a、b满足

()

图1-6-2A.2a=5b

B.2a=3bC.a=3b

D.a=2b答案

D

S1=

b(a+b)×2+

ab×2+(a-b)2=a2+2b2,S2=(a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+2b2)=2ab-b2,∵S1=2S2,∴a2+2b2=2(2ab-b2),整理,得(a-2b)2=0,∴a-2b=0,∴a=2b,故选D.4.(2019吉林长春中考,15,★★☆)先化简,再求值:(2a+1)2-4a(a-1),其中a=

.二、解答题解析原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1,当a=

时,原式=8a+1=2.1.(2019四川内江中考,6,★☆☆)下列运算正确的是

()A.m2·m3=m6

B.(m4)2=m6C.m3+m3=2m3

D.(m-n)2=m2-n2

答案

C

2.(2019四川达州中考,3,★☆☆)下列计算正确的是

()A.a2+a3=a5B.a8÷a4=a4C.(-2ab)2=-4a2b2D.(a+b)2=a2+b2

答案

B

A.a2与a3不是同类项,不能合并,故此选项错误;B.a8÷a4=a4,故此选项正确;C.(-2ab)2=4a2b2,故此选项错误;D.(a+b)2=a2+2ab+b2,故此选项错误.故选B.3.(2019贵州安顺中考,4,★☆☆)下列运算中,计算正确的是

()A.(a2b)3=a5b3

B.(3a2)3=27a6C.a6÷a2=a

D.(a+b)2=a2+b2

答案

B

A.(a2b)3=a6b3,故选项A不合题意;B.(3a2)3=27a6,故选项B符合题意;C.a6÷a2=a4,故选项C不合题意;D.(a+b)2=a2+2ab+b2,故选项D不合题意.故选B.1.已知:a2-b2=(a-b)(a+b);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a4-b4=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3);……,按此规律,回答下列问题:(1)a5-b5=(a-b)(

);(2)若a-

=2,你能根据上述规律求出代数式a3-

的值吗?解析(1)a4+a3b+a2b2+ab3+b4.(2)当a-

=2时,a3-

=

=

=

=2×(4+3)=2×7=14.2.图1-6-3(a)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,沿图中虚线用剪刀均分

成四个小长方形,然后按图1-6-3(b)的方式拼成一个正方形.

图1-6-3(1)按要求填空:①图1-6-3(b)中阴影部分的正方形的边长等于

;②请用两种不同的方法表示图1-6-3(b)中阴影部分的面积.方法1:

;方法2:

;③观察图1-6-3(b),请写出(m+n)2,(m