13.3-13.4 等腰三角形 课题学习 最短路径问题

13.3等腰三角形13.4最短路径问题基础过关练1．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A． B．C． D．2．下列说法中，正确的个数是（

）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．若等腰三角形有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（

）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BD等于（

）A．18 B．4 C．2 D．15．已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为（）A．4 B．5 C．6 D．86．等腰三角形周长为35，其中两边长之比为3∶1，则底边长为______．7．如图，在△ABC中，若AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠BDC＝_____．8．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A,B到它的距离之和最短，作图并说明．

9．如图，在等边△ABC中，AB＝18，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒4个单位的速度移动．点P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：BP＝______，BQ＝______；(2)当点Q到达点C时，PQ与AB有何位置关系？请说明理由；(3)在点P、Q的运动过程中，△BPQ是否能构成等边三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；(4)若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，并且都按逆时针方向沿△ABC的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置．10．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：AB＝AC；(2)若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周长.能力提升练1．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（

A．18° B．20° C．30° D．15°2．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE=2，则BE的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．95．如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．26．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=36°，∠C=50°，则∠CDE7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，a＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P（1）当t=_________时，△PBQ为等边三角形（2）当t=_________时，△PBQ为直角三角形8．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=6，AC=4，BC=7．(1)求PA+PB的最小值，并说明理由．(2)求周长的最小值．9．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．(1)补全图形；(2)求证：△BDF是等腰三角形；(3)求证：AB+BD=2AC．10．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)特例启发，解答题目题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．拓展培优练1．如图，在△ABC中，AB=AC, AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论A． B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD2．如图，已知∠ABC=60°，点D为BA边上一点，BD=10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则的长是（

）A．5 B．52 C．53 3．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为（

A．80° B．70° C．60° D．50°4．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A． B． C． D．5．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+26．如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为_______.7．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD8．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．(1)求该斜坡的高度BD；(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）9．如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图①），点为其交点.（1）探求与的数量关系，并说明理由；（2）如图②，若分别为上的动点.①当的长度取得最小值时，求的长度；②如图③，若点在线段上，，则的最小值=.10．△ABC和△ADE(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或PA+PC=PB）成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC

13.3等腰三角形13.4最短路径问题基础过关练1．如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方案中，最节省材料的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：故选：D．2．下列说法中，正确的个数是（

）①三条边都相等的三角形是等边三角形；②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；③有两个角为60°的三角形是等边三角形；④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形，此选项符合题意．②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，此选项符合题意．③有两个角为60°的三角形是等边三角形，此选项符合题意．④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形，此选项符合题意．故选：D．3．若等腰三角形有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数是（

）A．50° B．80° C．65°或50° D．50°或80°【答案】D【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形，∴当50°是底角时，顶角=180°−50°+50°当50°是顶角时，符合题意；综上所述，等腰三角形的顶角度数为50°或80°．故选D．4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BD等于（

）A．18 B．4 C．2 D．1【答案】C【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，∴BC=∵CD⊥AB，，∴∠A+∴∠BCD=∴BD=故选：C．5．已知等边三角形ABC，AB＝2，则其周长为（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】等边三角形ABC的周长=3AB=6．故选C．6．等腰三角形周长为35，其中两边长之比为3∶1，则底边长为______．【答案】5【详解】解：设等腰三角形的一边长为3x，则另一边长为x，则等腰三角形的三边有两种情况：3x，3x，x或x，x，3x，则有：①3x+3x+x=35，得x=5，所以三边为：15、15、5，5+15>15，符合三角形三边关系，则底边长为5；②x+x+3x=35，得x=7，所以三边为7、7、21，7+7<21，不符合三角形三边关系，舍去．综上，该等腰三角形的底边长为5．故答案为：5．7．如图，在△ABC中，若AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠BDC＝_____．【答案】72°##72度【详解】解：设∠A＝x．∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝2x．∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝2x．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x．在△ABC中x+2x+2x＝180°，解得：x＝36°，∴∠BDC＝∠C＝72°，故答案为：72°．8．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A,B到它的距离之和最短，作图并说明．

【答案】图见解析，说明见解析【详解】解：如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置．由轴对称的性质可知AD=CD，则AD+BD=CD+BD=BC，在街道上任取一点不同于D点的E，连接CE，BE，根据两点之间线段最短可知BE+CE＞BC，则点D即为所求；9．如图，在等边△ABC中，AB＝18，点P从点A出发沿AB边向点B以每秒2个单位的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒4个单位的速度移动．点P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒．(1)用含t的代数式表示：BP＝______，BQ＝______；(2)当点Q到达点C时，PQ与AB有何位置关系？请说明理由；(3)在点P、Q的运动过程中，△BPQ是否能构成等边三角形？如果能，请求出t的值；如果不能，请说明理由；(4)若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，并且都按逆时针方向沿△ABC的三边运动，请问经过几秒点P与点Q第一次相遇？并说明相遇的位置．【答案】(1)18－2t，4t(2)PQ⊥AB，理由见解析(3)能，t＝3(4)经过18秒点P与点Q第一次在点C处相遇【详解】（1）解：根据题意得∶AP=2t，BQ=4t，∴BP=18-2t，故答案为：18－2t，4t；（2）解：结论：PQ⊥AB，理由如下：当点Q到达点C时，BQ＝BC，即4t＝18，此时t＝4.5，∴BP＝18－2t＝9＝12AB，即此时点P为AB∵△ABC是等边三角形，∴PQ⊥AB；（3）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴当BP＝BQ时，△BPQ是等边三角形，∴18－2t＝4t，∴t＝3，即当t＝3时，△BPQ是等边三角形；（4）解：∵点Q的速度大于点P的速度，∴当点Q比点P多运动BC＋AC＝36个单位时，两点第一次相遇，即4t＝2t＋36，∴t＝18，∵4t＝72＝18×3＋18，∴点P、Q在点C处相遇，即经过18秒点P与点Q第一次在点C处相遇．10．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：AB＝AC；(2)若∠BAC＝60°，BE＝1，求△ABC的周长.【答案】(1)证明见解析(2)△ABC的周长为12【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵D是BC中点，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中DE=DFBD=CD∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（2）证明：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°∴∠EDB＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BDE中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周长＝4×3＝12．能力提升练1．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（

A．18° B．20° C．30° D．15°【答案】D【详解】解：∵三角形ABC是等边三角形，又∵AD⊥∴BD=CD，∠EDB=在△BDE和△CDEBD=CD∠∴△BDE∴，又∵三角形ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°∴∠ACE=故选：D2．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE=2，则BE的长为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】解：如图，连接AD，∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，∴∠ADC=90°，∵DE⊥AB于点E，EA=2，∴∠DEA=90°，∠DEB=90°，∴∠BAD=60°，∠EDA=30°，∴AD=2AE=4，∴AB=2AD=8，∴BE=AB-AE=8-2=6，故选：B．3．如图，在△ABC中，点E、D分别在AB、AC的延长线上，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE=BC，PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA=GP；②CP平分∠BCD；③BP垂直平分CE，其中正确的结论有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【详解】解：①∵AP平分∠BAC，∴∠CAP=∠BAP，∵PG∥AD，∴∠APG=∠CAP，∴∠APG=∠BAP，∴GA=GP，故①正确；②∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，如图，过点P分别作PL,PK,PM垂直与AC,BC,AE，垂足分别为L，K，M，则PL=PK=PM∴点P也位于∠BCD的平分线上，∴∠DCP=∠BCP，故②正确；③∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BH∴BP垂直平分CE，故③正确；故选：D．4．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】解：如图，连接PB，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴PB＝PC，∴PC+PE＝PB+PE，∵PE+PB≥BE，∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度，CP+EP的最小值是：8．故选：C．5．如图，∠AOB＝60°，P是∠AOB角平分线上一点，PD⊥AO，垂足为D，点M是OP的中点，且DM＝4，如果点C是射线OB上一个动点，则PC的最小值是（）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【详解】∵P是∠AOB角平分线线上一点，且∠AOB＝60°∴∠AOP＝12∠AOB＝30°∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM＝4∴OP＝2DM＝8∴PD＝12OP∵C点是OB上一个动点∴当PC丄OB时，PC的值最小此时PC＝PD＝4∴PC的最小值为4故选C6．如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC=36°，∠C=50°，则∠CDE【答案】44°##44度【详解】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD＝12∠ABC＝18°，∠AFB＝∠EFB∴∠BAF＝90°−18°＝72°＝∠BEF，∴AB＝BE，∴BF是ΔABE边AE上的中线，∴AF＝EF，∴BD是AE的中垂线，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°−∠ABC−∠C＝180°−36°−50°＝94°，∴∠BED＝∠BAD＝94°，∵∠BED是ΔDCE的一个外角，∴∠CDE＝94°−50°＝44°，故答案为：44°．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，a＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P（1）当t=_________时，△PBQ为等边三角形（2）当t=_________时，△PBQ为直角三角形【答案】

83##22【详解】（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，a＝4cm，∴∠B=60°，AB=8cm，∴当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形，由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，∴BP=AB−AP=（8−2t）cm，∴8−2t=t，解得t=8∴当t=83时，△故答案为：83（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B=60°，∴当△PBQ为直角三角形时，只能是∠PQB=90°或∠BPQ=90°，当∠PQB=90°时，如图，∴∠BPQ=30°，∴BQ=12BP∵BP=（8−2t）cm，BQ=tcm，∴t=12（8−2t解得t=2；当∠BPQ=90°时，如图，∴∠PQB=30°，∴BQ=2BP，∴t=2（8−2t），解得t=16综上所述，当t=2或t=165时△故答案为：2或1658．如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若AB=6，AC=4，BC=7．(1)求PA+PB的最小值，并说明理由．(2)求周长的最小值．【答案】(1)6，理由见解析(2)10【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短PA+PB=AB=6；原因：两点之间，线段最短．（2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，∴点C关于直线m的对称点是点B，则PB=PC，∵C△∵AC=4，要使周长最小，即AP+PC最小，当点P是直线m与AB的交点时，PA+PB最小，即PA+PB=AB，此时C△9．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB，交BC于点D．点A与点E关于直线BC对称，连接BE，CE，延长AD交BE于点F．(1)补全图形；(2)求证：△BDF是等腰三角形；(3)求证：AB+BD=2AC．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【详解】（1）解：补全图形如下：；（2）证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠BAD=22.5°，∴∠ADC=∠BDF=90°-22.5°=67.5°，∵点A与点E关于直线BC对称，∴∠EBC=∠CBA=45°，∴∠ABF=90°，∴∠AFB=90°-∠BAD=90°-22.5°=67.5°，∴∠BDF=∠AFB，∴BF=BD；∴△BDF是等腰三角形；（3）证明：过D作DK⊥AB于K，如图：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠KAD，∵DK⊥AB，∴∠AKD=90°=∠ACD，在△ACD和△AKD中，∠ACD=∴△ACD≌△AKD（AAS），∴AC=AK，CD=DK，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠KBD=45°，∴△KBD是等腰直角三角形，∴BK=DK，∴BK=CD，∵AB=AK+BK，∴AB=AC+CD，∴AB+BD=AC+CD+BD=AC+BC=AC+AC=2AC．10．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1)特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)特例启发，解答题目题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）(3)拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．【答案】(1)＝(2)＝，解答过程见解析(3)CD＝1或3【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵点E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，AE＝BE，∵ED＝EC，∴∠BDE＝∠BCE＝30°，∴∠BED＝∠ABC－∠BDE＝30°，∴∠BDE＝∠BED，∴BD＝BE，∴AE＝DB．故答案为：＝．（2）过E作EF∥BC交AC于F，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中∠DEB=∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF＝AE，即AE＝DB，故答案为：＝．（3）解：CD＝1或3，理由是：分为两种情况：①如图3，过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∵AM⊥BC，∴BM＝CM=12BC∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AB＝1，AE＝2，∴AB＝BE＝1，∵EN⊥DC，AM⊥BC，∴∠AMB＝∠ENB＝90°，在△ABM和△EBN中，∠ABM=∴△AMB≌△ENB（AAS），∴BN＝BM=1∴CN＝1+1∴CD＝2CN＝3；②如图4，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，则AM∥EN，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝1，∠BAC＝60°，∵AM⊥BC，∴BM＝CM=12BC=12∵DE＝CE，EN⊥BC，∴CD＝2CN，∵AM∥EN，∴∠BEN＝∠BAM＝30°，∴BN＝12BE＝12（AB＋AE）＝∴MN＝BN－BM＝1，∴CN＝MN－CM＝1，∴CD＝2CN＝1，即CD＝3或1．拓展培优练1．如图，在△ABC中，AB=AC, AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB, DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论A． B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD【答案】C【详解】解：∵AB=AC, AD是△ABC∴AD⊥∴，故选项A、D结论正确，不符合题意；又AD是∠BAC的角平分线，DE⊥∴DE=DF，故选项B结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD=BC，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．2．如图，已知∠ABC=60°，点D为BA边上一点，BD=10，点O为线段BD的中点，以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，连接DE，则的长是（

）A．5 B．52 C．53 【答案】A【详解】连接OE，如图所示：∵BD=10，点O为线段BD的中点，∴OB=OD=5，∵以点O为圆心，线段OB长为半径作弧，交BC于点E，∴OE=OB=OD=5，∴∠ABC=∴△OBE即BE=OE=OB=5，故选：A．3．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2=40°，则∠1的度数为（

A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】A【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，∵a∥∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．4．如图，已知圆柱的底面直径BC=，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为（）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在RT△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=3，所以AC=3，∴从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为2AC=6，故选D．5．如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2 C．4 D．4+2【答案】C【详解】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．6．如图，在ΔABC中，AB=AC，点D，E都在边BC上，∠BAD=∠CAE，若BD=9，则CE的长为_______.【答案】9.【详解】因为△ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,∠BAD=∠CAE,∠ABD=∠ACE,所以△ABD≅△ACE(ASA),所以BD=EC，EC=9.7．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD【答案】10°或100°【详解】解：如图，点D即为所求；在ΔABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，由作图可知：AC=AD，，；由作图可知：，，，，．综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．故答案为：10°或100°．8．为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡