第十一章 三角形（4个易错点）

第十一章三角形单元复习提升（易错点）易错点1判断钝角三角形某边上的高线是否正确例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出边上的高的是（）A．

B．C． D．

【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在中，是钝角，下列图中作边上的高线，正确的是（）A． B．C． D．3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（）A．中，是边上的高 B．中，是边上的高C．中，是边上的高 D．中，是边上的高易错点2三角形中折叠时图形未定产生多解漏解易错例题：在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是__________度．【变式训练】1．如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________．

2．如图，在三角形中，，点D为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则______．3．在“妙折生平折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为________度．易错点3多边形截角后的内角和问题例题：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是__．【变式训练】1．一个多边形剪去一个角后，内角和为，则原多边形是___________边形．2．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为_____．3．（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为_____；（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是_____．易错点4求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角例题：如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则__________．

【变式训练】1．为的一个外角，、的角平分线交于点．

(1)若，，则______；(2)若，则______；(3)若，则______；(4)若，则______；(5)你能找出与之间的数量关系吗？并证明．2．问题情境：如图1，中，平分，平分．

(1)探索发现：若，则的度数为______；若，则的度数为______．(2)猜想证明：试判断与的关系，并说明理由．(3)结论应用：如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为______．过关训练一、单选题1．下列四个图中，正确画出中边上的高是（）A． B．C． D．2．如图，在中，边上的高作法正确的是（）A． B．C． D．

二、填空题3．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数可能是________．4．一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是______．5．如图，直角三角形中，，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的度数为____．6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到，当的边与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是_____．7．如图，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线……以此类推，若，则______．

三、解答题8．（1）如图1，在中，的平分线和的外角平分线交于点，若，求的度数．

（2）如图2，在四边形中，的平分线和的外角平分线交于点，求的度数．（3）如图3，若将（2）中“”改为“”，其余条件不变，直接写出与之间的数量关系．9．【结论探究】如图1，在中，的平分线与外角的平分线相交于点P，则有结论：．请完成上述结论的证明过程：∵平分，∴___________．∵平分，∴．∵___________，∴，∵，∴___________．请直接应用上面的结论解决下面问题：【结论应用】如图2，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点E，外角的平分线与的延长线相交于点F，求的度数．【拓展应用】如图3，已知四边形与四边形，平分，平分外角．①若，则___________；②若，则___________（用含β的代数式表示）．

第十一章三角形单元复习提升（易错点）答案全解全析易错点1判断钝角三角形某边上的高线是否正确例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出边上的高的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据三角形高的定义判断即可得到答案．【详解】解：中边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．【变式训练】1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据三角形的高的定义逐项分析即可解答．【详解】解：A．线段是的高，选项不符合题意；B．线段是的高，选项不符合题意；C．线段是的高，选项不符合题意；D．线段是的高，选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查三角形的高的定义，从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．2．（2023秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在中，是钝角，下列图中作边上的高线，正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据三角形的高的定义判断即可．【详解】解：在中，是钝角，边上的高线就是过点A作边的垂线得到的线段，如图，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．掌握定义是解题的关键．3．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，，，，点，，是垂足，下列说法错误的是（）A．中，是边上的高 B．中，是边上的高C．中，是边上的高 D．中，是边上的高【答案】B【分析】根据三角形高的定义依次判断即可．【详解】解：A、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意；B、中，不是边上的高，故此选项错误，符合题意；C、中，是边上的高故此选项正确，不符合题意；D、中，是边上的高，故此选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形高的概念，应熟记三角形的高应具备的两个条件：①经过三角形的一个顶点，②垂直于这个顶点的对边．易错点2三角形中折叠时图形未定产生多解漏解易错例题：在中，，，点D是边上一动点，将沿直线翻折，使点A落在点E处，连接交于点F．当是直角三角形时，度数是__________度．【答案】或【分析】分和，两种情况进行求解即可．【详解】解：当时，如图，则：∵折叠，∴，∴；当时，如图，则：，∵，，∴，∴，∴，∵折叠，∴，综上：的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理．熟练掌握折痕是角平分线，是解题的关键．【变式训练】1．如图，在三角形纸片中，，点是边上的动点，将三角形纸片沿对折，使点落在点处，当时，的度数为___________．

【答案】或【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．【详解】解：由折叠的性质得：；∵，∴；①当在下方时，如图，∵，∴，∴；

②当在上方时，如图，∵，∴，∴；

综上，的度数为或；故答案为：或．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．2．如图，在三角形中，，点D为边上一个动点，连接，把三角形沿着折叠，当时，则______．【答案】或【分析】根据题意分在三角形外部和在三角形内部两种情况讨论，分别根据折叠的性质和角的和差求解即可．【详解】解：当在三角形外部，如图：∵，，∴，∵三角形沿着折叠，∴∴当在三角形内部，如图：∵，，∴，∵三角形沿着折叠，∴，∵．故答案为：或．【点睛】此题考查了折叠的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．在“妙折生平折纸与平行”的拓展课上，小潘老师布置了一个任务：如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点，请在上找一点，将纸片沿折叠为折痕），点落在点处，使与三角形的一边平行，则为________度．【答案】35或75或125【分析】分三种情况：①当时，②当时，根据折叠性质、平行线的性质得答案．【详解】解：①当时，由折叠可知，，，，，，，．②当时，，，，，③当时，，，，，综上所述，或或．故答案为：35或75或125．【点睛】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键．易错点3多边形截角后的内角和问题例题：一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是__．【答案】17，18或19【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可．【详解】解：设新多边形的边数为，则，解得：，若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19，若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18，则多边形的边数是17，18或19，故答案为：17，18或19．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解．【变式训练】1．一个多边形剪去一个角后，内角和为，则原多边形是___________边形．【答案】或或【分析】先求出新多边形的边数，再根据截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多，少三种情况进行讨论．【详解】解：设新多边形的边数是，则，解得，截去一个角后的多边形与原多边形的边数可以相等，多或少，原多边形的边数是或或．故答案是：或或．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，难点在于截去一个角后的多边形与原多边形的边数相等，多，少，有这么三种情况．2．一个多边形剪去一个内角后，得到一个内角和为2700°的新多边形，则原多边形的边数为_____．【答案】16或17或18【分析】根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．【详解】解：设新多边形的边数为，则，解得，①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为16，②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为17，③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为18，所以多边形的边数可以为16或17或18．故答案为：16或17或18．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．解题的关键是掌握多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．3．（1）每个内角都相等的十边形的一个外角的度数为_____；（2）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是_____．【答案】36°/36度6或7【分析】（1）根据正多边形的每一个外角相等且所有的外角的度数和为360度求解即可．（2）求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：（1）一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10＝36°．故答案为：36°；（2）设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）×180＝720，解得：n＝6．∵多边形过顶点截去一个角后边数不变或减少1，∴原多边形的边数为6或7．故答案为：6或7．【点睛】此题考查了正多边形外角和多边形的内角和；解题的关键是熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系，熟知正多边形外角与边数的关系式．易错点4求一内角平分线与不相邻外角平分线的夹角例题：如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则__________．

【答案】【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数．【详解】和分别是的内角平分线和外角平分线，，，又，，，，同理可得：，，则，，，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键．【变式训练】1．为的一个外角，、的角平分线交于点．

(1)若，，则______；(2)若，则______；(3)若，则______；(4)若，则______；(5)你能找出与之间的数量关系吗？并证明．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)，证明见解析【分析】（1）由角平分线定义得到，，再由三角形外角的性质即可得到答案；（2）由角平分线定义得到，，再由三角形外角的性质即可得到答案；（3）由角平分线定义得到，,由三角形外角的性质得到，则，再由三角形外角的性质得到；（4）由角平分线定义得到，,由三角形外角的性质得到，则，再由三角形外角的性质得到，即可得到；（5）由角平分线定义得到，,由三角形外角的性质得到，则，再由三角形外角的性质得到，即可得到．【详解】（1）解：∵、的角平分线交于点．，，∴，，∵为的一个外角，∴，故答案为：（2）∵、的角平分线交于点．∴，，∵为的一个外角，，∴；故答案为：（3）∵、的角平分线交于点．∴，，∵，∴，∵为的一个外角，∴；故答案为：（4）∵、的角平分线交于点．∴，，∵，∴，∵为的一个外角，∴，∵，∴,故答案为：（5），证明如下：∵、的角平分线交于点．∴，，∵，∴，∵为的一个外角，∴，∴．【点睛】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．2．问题情境：如图1，中，平分，平分．

(1)探索发现：若，则的度数为______；若，则的度数为______．(2)猜想证明：试判断与的关系，并说明理由．(3)结论应用：如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点D．若，，则的度数为______．【答案】(1)，(2)，理由见解析.(3)【分析】（1）利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可求解；（2）利用三角形外角的性质及角平分线的定义即可证明；（3）延长交于点P，在中，求得，利用（2）的结论即可解决问题.【详解】（1）解：平分，平分，，，若，则若，则故答案为：；（2）解：理由如下：平分，平分，，（3）解：延长交于点P，

，，，，在中，，由（1）结论得：故答案为：【点睛】此题考查了三角形外角的性质及角平分线的定义，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键.过关训练一、单选题1．下列四个图中，正确画出中边上的高是（）A．

B．

C．D．

【答案】C【分析】从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，根据三角形的高的定义逐一判断，即可得到答案．【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点A向作垂线，垂足为D，纵观各图形，选项A、B、D都不符合题意，只有选项C符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高，正确理解三角形的高的定义是解题关键．2．如图，在中，边上的高作法正确的是（）A．

B．C．

D．

【答案】D【分析】中边上的高线是过C点作的垂线，据此判断即可．【详解】解：中边上的高线是过C点作的垂线，四个选项中只有D选项正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形高线的作法，正确把握相关定义是解题关键，经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高．二、填空题3．如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数可能是________．【答案】、、【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即可得解．【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和为：（3−2）•180°＝180°，若边数不变，则内角和为：（4−2）•180°＝360°，若边数增加1，则内角和为：（5−2）•180°＝540°，综上分析可知，四边形剪去一个角，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°．故答案为：180°，360°，540°．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，解题的关键是要注意剪去一个角有三种情况．4．一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是______．【答案】13或14或15【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：（n﹣2）•180°=2160°解得：n=14．∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，∴原多边形的边数是13或14或15．故答案为13或14或15．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．5．如图，直角三角形中，，点是边上的一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的度数为____．【答案】或/或【分析】分两种情况：当时，根据直角三角形的性质可得，当时，即在外时，由折叠可得：，，，平分，即．【详解】解：分两种情况：如图，①当时，由折叠得，，∴，∴A、E、D三点在同一条直线上，点在上时，②当时，即在外时，如图，由折叠可得：，,，，由折叠的性质可知：平分，，不可能为直角．故答案为或．【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和等基本知识点．6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到，当的边与△ABC的一边平行时，∠AEF的度数是_____．【答案】30°或75°或120°【分析】分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质可求∠AEF的度数．【详解】解：如图1，若时，∴，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴，∵将△AEF沿EF折叠，得到，∴，∴∠BFE＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE，∴∠AFE＝120°，∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°；如图2，设与AB交于点H，若时，∴∠BCA＝∠FHA＝90°，∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∵将△AEF沿着EF折叠，∴；∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°；如图3，若时，∴，∴，∵将△AEF沿着EF折叠，∴；综上所述：30°或75°或120°．【点睛】本题是翻折变换，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．7．如图，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线，，分别是的内角平分线和外角平分线……以此类推，若，则______．

【答案】【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质和三角形内角可得，，然后等量代换即可．【详解】解：由题意可得：，，∵，，∴，∴，同理可得，……∵，∴，，……,故答案为：．【点睛】本题考查了几何规律，涉及到角平分线的性质、三角形外角的性质等，灵活运用所学知识是关键．三、解答题8．（1）如图1，在中，的平分线和的外角平分线交于点，若，求的度数．

（2）如图2，在四边形中，的平分线和的外角平分线交于点，求的度数．（3）如图3，若将（2）中“”改为“”，其余条件不变，直接写出与之间的数量关系．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，，则由三角