4.3 中心对称 同步练习

第四章图形的平移与旋转3中心对称基础过关全练知识点1中心对称的定义及性质1.下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有()A.1组 B.2组 C.3组 D.4组2.在平面直角坐标系中，点A(a,1)与点B(-2,b)关于原点成中心对称,则a+b的值为()A.-3 B.-1 C.1 D.33如图,已知△AOB与△DOC成中心对称,△AOB的面积是6,AB=3,则△DOC中CD边上的高是____________.第3题图第4题图4.如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称,点A的对称点是点A',AB⊥a于点B,A'D⊥b于点D.若OB=4,OD=3,则阴影部分的面积之和为____________.5.如图,△ABO与△CDO关于O点中心对称,点E,F在线段AC上,且AF=CE,求证:FD=BE.知识点2中心对称作图6.如图,△ABC的顶点坐标分别为A(-3,3),B(0,1),C(-1,-1).(1)请画出△ABC关于点B成中心对称的△A₁BC₁,并写出点A₁,C₁的坐标;(2)四边形AC₁A₁C的面积为____________.知识点3中心对称图形7.北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共4506件，其中很多设计方案体现了对称之美.以下4幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()8如图，图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的，若要在①②③④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在_________处(填写区域对应的序号).能力提升全练1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P,若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，则点A'的坐标为()A.(-4,-5) B.(-5,-4) C.(-3,-4) D.(-4,-3)第1题图第2题图2.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O₁，O₂是其中两个正方形的对角线交点，若把这样的n个小正方形按如图所示方式摆放，则重叠部分的面积为___________.3.如图，在直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,0),点C的坐标为__________;若正方形ABCD和正方形A₁BC₁B₁关于点B成中心对称;正方形A₁BC₁B₁和正方形A₂B₂C₂B₁关于点B₁成中心对称;….以此规律，则点C6的坐标为__________.4.知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分.(1)如图(1)，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；(2)八个大小相同的正方形如图(2)所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).素养探究全练5.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图(1),在△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD长的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法:如图(1),延长AD到点E,使得DE=AD,再连接BE(或将△ACD绕点D旋转180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形的三边关系,可得2<AE<8,则1<AD<4.感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.解决问题：受到以上启发，请你证明下列命题：如图(2)，在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.(1)求证:BE+CF＞EF;(2)若∠A=90°,探索线段BE,CF,EF之间的等量关系，并加以证明.

第四章图形的平移与旋转3中心对称参考答案基础过关全练1.C【解析】根据中心对称的概念，可得②③④中左边的图形与右边的图形成中心对称.故选C.2.C【解析】∵点A(a,1)与点B(-2,b)关于原点成中心对称,∴a=2,b=-1,∴a+b=1,故选C.3.4【解析】根据题意，得△DOC的面积等于△AOB的面积,均为6,CD=AB=3.根据三角形的面积公式，可得CD边上的高是6×2÷3=4.故答案为4.4.12【解析】如图,过A作AE⊥b于E.∵直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点.A',AB⊥a于点B,故答案为12.5.【证明】∵△ABO与△CDO关于O点中心对称,∴BO=DO,AO=CO.∵AF=CE,∴AO-AF=CO-CE,∴FO=EO.在△FOD和△EOB中FO=EO,∠FOD=∠EOB,6.【解】(1)如图,△A₁BC₁即为所求.点A₁,C₁的坐标分别是A₁(3,-1),C₁(1,3).(2)四边形AC₁A₁C的面积为4×4=16.故答案为16.7.C【解析】A选项，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C选项，既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；D选项，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意.故选C.8.②【解析】把正方形添加在②处，则它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，故答案为②.能力提升全练1.A【解析】∵点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形，∴易得A(4，3).设直线AB的表达式为y=kx+b,则3=4k+b1=2k+b,∴直线AB的表达式为y=x-1,令x=0,则y=-1,∴P(0,-1).又∵点A与点A'关于点P成中心对称,∴点P为AA'的中点.设A'(m,n),则m+4∴A2.n-1【解析】连接O₁B,O₁C,如图.∵∠BO₁F+∠FO₁C=90°,∠FO₁C+∠CO₁G=90°,∴∠BO₁F=∠CO₁G.∵四边形ABCD是正方形,∴BO₁=CO₁,∠O₁BF=∠O₁CG=45°.在△O₁BF和△O₁CG中,∠FO∴四边形GCFO₁的面积是S△3.(3,2)(9,-16)【解析】如图所示，过点DC作DE⊥y轴,过点C作CF⊥x轴,垂足分别为E,F.∵四边形ABCD是正方形,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(2,0),根据正方形的性质可知，△OAB≌△EDA≌△FBC,∴OF=3,CF=2,∴点C的坐标为(3,2).根据图象可得，C₂ₙ与(C₂ₙ₋₁的横坐标相差4，纵坐标相差−2.C₂ₙ₊₁与C₂n的横坐标相差-2，纵坐标相差-4,∴C₁的坐标为(1,-2),当n=1时,点C₂的横坐标为1+4=5,纵坐标为-2-2=-4,故C₂的坐标为(5,-4).同理可得,点C₃的坐标为(3,-8),点C4的坐标为(7,-10),点C₅的坐标为(5,-14),故点C₆的坐标为(9,-16).故答案为(3,2),(9,-16).4.【解】(1)如图(1)所示.(2)如图(2)所示.素养探究全练5.(1)【证明】如图,延长FD到G,使得DG=DF,连接BG,EG(或把△CFD绕点D旋转180°得到F△BGD).易证△CDF≌△BDG,∴CF=BG.∵DE⊥DF,DF=