数学示范教案：频率与概率

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o(\s\up7()，\s\do5(整体设计）)教学分析教材利用例1给出了频率和概率的概念，并初步介绍了概率的意义．本小节例2根据一批种子的发芽试验结果来估计其发芽率得到的结果是一个近似值，这个值可以用全部6次试验中的总的发芽粒数与种子总粒数之比表示．本节后练习A的第2题的第（2)小题中“求这个射手射击一次击中靶心的概率”也可以用类似的方法计算．值得注意的是:在教学过程中，要让学生对比频率和概率的概念和性质，明确它们的区别与联系，尽量使用统计图或统计表来展示频率的稳定性，这样既直观易懂,又可以与第二章《统计》的内容相呼应．三维目标1．了解概率的意义，掌握频率与概率的区别．2．正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活中遇到的一些错误认识．3．加强与现实生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机事件．重点难点教学重点：频率和概率的概念．教学难点：概率的统计定义以及概率与频率的区别与联系．课时安排1课时．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教学过程))导入新课思路1.随机事件在试验中可能发生，发生的可能性有多大这一问题，我们还是从最简单的试验—-掷硬币谈起．虽然我们不能预先判断出现正面向上,还是反面向上,但是假如硬币均匀,直观上可以认为出现正面与反面的机会相等，即在大量试验中出现正面的频率应接近于0。5.教师点出课题．思路2.生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90％，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了．”这是真的吗？为此我们必须学习概率的意义．教师点出课题．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出问题）)1．把全班分成十几个小组，每个小组4～5人．各小组把一枚均匀硬币至少掷100次，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果及计算结果填入下表：小组编号抛掷次数（n）正面向上次数(m)正面向上频率(eq\f（m,n）)当全班做完这一试验后，把试验结果公布在黑板上，请大家谈谈事件“正面向上”的发生有没有什么规律可循．2．阅读教材，什么叫概率？3．举例说明频率与概率的关系．4．如果某种彩票中奖的概率为eq\f(1,1000),那么买1000张彩票一定能中奖吗？讨论结果：1．历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：试验者抛掷次数（n）正面向上次数(m）正面向上频率（eq\f（m，n))棣莫佛204810610。5181蒲丰404020480.5069费勒1000049790。4979皮尔逊1200060190。5016皮尔逊24000120120。5005我们可以设想有1000个人投掷硬币，如果每人投5次，计算每个人投出正面的频率，在这1000个频率中，一般说，0,0。2，0.4,0。6，0.8,1都会有，而且会有不少是0或1；如果要求每个人投20次,这时频率为0，0.05，0。95，1的将会变少,多数频率在0.35～0.65之间，甚至比较集中在0.4～0.6之间;如果要求每个人投掷1000次,这时绝大多数的频率会集中在0。5的附近,和0。5有较大差距的频率值也会有，但这样的频率值很少．而且随着投掷次数的增多,频率越来越明显地集中在0。5附近．当然，即使投掷的次数再多，也不能绝对排除出现与0。5差距较大的频率值，只不过这种情形极少．人们经过大量试验和实际经验的积累逐渐认识到:在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动,而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度越小，而且观察到的大偏差也越少,频率呈现一定的稳定性，频率的稳定性揭示出随机事件发生的可能性有一定的大小．事件的频率稳定在某一数值附近，我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小．2．一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq\f（m，n），当n很大时，总是在某个常数附近摆动．随着n的增大,摆动幅度越来越小．这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A)．从概率的定义中，我们可以看出随机事件A的概率P（A）满足0≤P(A)≤1.这是因为在n次试验中，事件A发生的频数m满足0≤m≤n，所以0≤eq\f(m，n)≤1。当A是必然事件时，P(A）＝1，当A是不可能事件时,P(A）＝0.3．从定义中,我们还可以看出，概率是可以通过频率来“测量"的，或者说频率是概率的一个近似．在前述掷硬币的例子中，经过前人的反复多次试验，出现正面的频率逐渐稳定到0.5，那么我们就得到出现正面的概率是0.5。这件事情其实质与测量长度一样平常，给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近．事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值．这个类比有助于我们理解频率和概率之间的内在关系．概率的这种定义叫做概率的统计定义．在实践中很多时候采用这种方法求事件的概率．有了概率的统计定义,我们就可以比较不同事件发生的可能性大小了．4．买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说,买1000张彩票有可能没有一张中奖．虽然中奖的张数是随机的,但这种随机性中,具有规律性，随着试验次数的增加，即随着买的彩票的增加，大约有eq\f（1，1000）的彩票中奖，所以没有一张中奖也是有可能的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例)）思路1例为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下：种子粒数257013070020003000发芽粒数246011663918062713发芽率(1）完成表格．(2）估计这类种子的发芽率．分析：(1）利用定义计算各个发芽率；(2）观察这6个发芽率的稳定值．解：（1)依据频率的计算公式,所填发芽率从左到右依次是0.96,0。857，0。892,0.913,0。903,0.904。（2)从以上数据可以看出，这类种子的发芽率约为0。9.变式训练一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数554496071352017190男婴数2883497069948892男婴出生的频率（1）填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位)．（2)这一地区男婴出生的概率约是多少?解：(1）0。5200。5170.5170。517（2)各个频率均稳定在常数0.517上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.517。思路2例某批乒乓球产品质量检查结果如下表：抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902频率m/n0。90.920。970.940。9540.951当试验次数很多时,出现优等品的频率值是稳定的，接近于某一个常数，并在它附近摆动，你能观察出这个常数吗？分析：大量重复试验时，任意结果(事件)A出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这一常数的偏差大的可能性越小．分析时关注当试验次数逐渐增多时数据的趋势．解：当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0。95，并在它附近摆动.变式训练某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时)进行了统计,统计结果如下表所示：分组［500，900)［900,1100）[1100,1300）［1300，1500）［1500,1700)[1700,1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率（1)将各组的频率填入表中;（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的概率．分析：(1)利用定义计算各组的频率；(2)寿命不足1500小时的频数等于［500，900),[900，1100）,[1100,1300），[1300,1500)的频数的和,用频率来估计概率．解：（1)利用频率的定义，可得[500,900)的频率是eq\f（48,1000）＝0.048；[900，1100)的频率是eq\f(121，1000）＝0.121；[1100，1300)的频率是eq\f（208,1000)＝0。208；［1300,1500)的频率是eq\f(223，1000)＝0.223；[1500,1700)的频率是eq\f(193,1000)＝0。193;[1700,1900)的频率是eq\f(165，1000）＝0.165；［1900，＋∞)的频率是eq\f（42，1000）＝0.042。所以频率依次是0.048,0.121,0。208,0.223，0.193，0.165，0。042。（2）样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1500小时的频率是eq\f(600，1000)＝0.6.所以估计灯管使用寿命不足1500小时的概率是0.6。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))1．下列结论正确的是()A．事件A的概率P(A）必有0〈P（A)<1B．事件A的概率P（A）＝0.999,则事件A是必然事件C．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效,现有某胃溃疡病人服用此药，则估计其有明显疗效的可能性为76％D．某奖券中奖率为50％，则某人购买此券10张，一定有5张中奖答案：C2．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的（)A．概率为eq\f（3,5）B．频率为eq\f（3,5）C．频率为6D．概率接近0.6解析：频率为eq\f（6，10）＝eq\f(3，5）.答案：B3．某篮球运动员，在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示．投篮次数48607510010050100进球次数m36486083804076进球频率eq\f（m，n）(1）计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？解:(1)填入表中的数据依次为0。75,0.80，0。80，0.83,0.80,0。80,0.76。(2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0。80。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升))用下面的两排数做一种游戏，游戏的方法是：甲、乙两人分别掷骰子．如果骰子上面的数是几，就从它们对应的格中的那个数后面的数开始向后数几个数，例如掷骰子得到的数是3，就从第4个数开始向后面数3个格，如果对应的数是偶数就得1分,如果是奇数不得分,这两种游戏对甲、乙两人是否公平？为什么？甲123456789101112乙132456127891011分析:观察甲、乙各自的一排数可以看到，甲投出骰子,不论上面的数是几，最终他得到的都是偶数，而乙投出骰子，所得数并非如此．解:因为甲所对应的数是从1到12从小到大依次排列，当甲第一次投出骰子上的数是奇(或偶)数时，根据两数相加的奇偶性可知：甲所对应的数一定是偶数．所以甲得分的概率是100％;对于乙而言，情况并非如此，例如乙投出骰子是1时，所得的数是3。综上所述，这两种游戏对甲、乙两人不公平．因为甲得分的概率是100%，而乙得分的概率达不到100%.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（课堂小结)）本节课学习频率与概率的概念及其意义．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业))本节练习A2、3。eq\o（\s\up7(),\s\do5（设计感想））通过学生亲自动手试验,突破学生理解“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性"的难点．同时发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后得出概率的定义，总结出频率与概率的关系．在这个过程中，加深对知识的理解，使学生养成良好的思考习惯和科学的研究方法，培养学生发现问题和解决问题的能力，运用了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法，符合新课标理念,应大力提倡．eq\o（\s\up7()，\s\do5（备课资料)）概率与法律概率论正越来越多地出现在法庭之上.1968年美国加利福尼亚州的一个案件引起了人们的广泛关注．目击证人说看到一个金发并且扎马尾样发式的白人妇女和一个有八字须和络腮胡的黑人男子在洛杉矶郊区的一个小巷跑出来，而那里正是一位老人刚刚遭受背后袭击和抢劫的地方．这对男女开着一辆部分是黄色的汽车逃跑了．因此当地警察逮捕了Jenet和Malcolm夫妇俩，他们有一辆部分是黄色的林肯轿车，她通常把她的金发扎成马尾状．他是一个黑人,尽管被捕时他的胡子刮得很干净，但仍然能看出不久前他还是满脸络腮胡的痕迹．在审判中，公诉人指控他夫妇俩有罪的证据是-—“数字证明”．以下是由证人指出的特征算出的“保守概率”：有八字胡的男人eq\f（1,4），扎马尾发型的女人eq\f(1，1