数学示范教案：第一章第二节任意角的三角函数（第一课时）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第一章第二节任意角的三角函数第一课时eq\o(\s\up7（）,\s\do5(整体设计）)教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此,与学习其他基本初等函数一样,学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数．由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性）中得到启发．三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用．利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来．所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质．激发学生对数学研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．三维目标1．通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号．2．通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等．3．正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来．4．能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题．重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示．课时安排2课时eq\o(\s\up7（），\s\do5（教学过程）)第1课时作者：范福太,上杭县明强中学教师,本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖一、复习引入、回想再认(情景1）我们在初中通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数．请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？图1学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调:sinα＝eq\f（对边，斜边)，cosα＝eq\f（邻边，斜边),tanα＝eq\f(对边，邻边）设计意图学生在初中学习了锐角的三角函数概念,现在学习任意角的三角函数,又是一种推广和拓展的过程（类似于从有理数到实数的扩展)．温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程,就要从源头上开始,从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少．二、引申铺垫、创设情景（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对个别学生作启发引导．能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答．用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1。1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数．设计意图从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突,进行必要的启发,将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程．教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义!师生共做(学生口述，教师板书图形和比值)：把锐角α安装(如何安装?角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中,在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M,构造一个Rt△OMP，则∠MOP＝α(锐角），设P（x，y)（x＞0、y＞0），α的邻边OM＝x，对边MP＝y,斜边长|OP｜＝r.图2根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数的比值：sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.？＝？＝？＝设计意图此处做法简单,思想重要．为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形．初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究,探索的结论既要满足任意角的情形，又要包容初中锐角三角函数的定义．这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础．(情景3)思考:对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长r＝1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sinα＝eq\f(MP,OP)＝y;cosα＝eq\f（OM,OP)＝x;tanα＝eq\f(MP，OM)＝eq\f(y,x).思考上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。那么，角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利于推广到任意角呢？本节课就研究这个问题——任意角的三角函数.先让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3,联系相似三角形知识,探索发现:对于锐角α的每一个确定值,三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化．图3三、探究新知1．探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了．所以,我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如图4,设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y），那么：图4（1)y叫做α的正弦(sine)，记做sinα,即sinα＝y；(2）x叫做α的余弦(cossine），记做cosα,即cosα＝x;（3）eq\f(y，x)叫做α的正切（tangent)，记做tanα，即tanα＝eq\f(y,x)（x≠0）．注意：当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边，斜边所在)；当α不是锐角时，也能够找出三角函数,因为，既然有角,就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y)，从而就必然能够最终算出三角函数值．设计意图初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次,扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系,是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键．这样做能够使学生有效地增强函数观念．四、探索定义域（情景4)1。函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域．正弦函数sinα的对应法则是什么？正弦函数sinα的对应法则，实质上就是sinα的定义:对α的每一个确定的值,有唯一确定的比值eq\f(y，r)与之对应，即α→eq\f（y,r）＝sinα。2．布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：三角函数sinαcosαtanα定义域引导学生自主探索：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指:使比值有意义的角α的取值范围．关于sinα＝eq\f(y，r）、cosα＝eq\f（x，r），对于任意角α（弧度数),r＞0，eq\f（y,r）、eq\f（x，r）恒有意义，定义域都是实数集R。对于tanα＝eq\f（y,x），α＝kπ＋eq\f(π,2）时x＝0，eq\f（y,x）无意义，tanα的定义域是｛α|α∈R,且α≠kπ＋eq\f(π，2）｝……教师指出：sinα、cosα、tanα的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟．设计意图定义域是函数三要素之一,研究函数必须明确定义域．指导学生根据定义自主探索确定三角函数的定义域,有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握．五、符号判断、形象识记（情景5）能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数的定义来分析,r＞0，三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：图5sinα＝eq\f（y,r)：上正下负横为0；cosα＝eq\f(x，r):左负右正纵为0；tanα＝eq\f（y，x)：交叉正负．设计意图判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求．要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键．六、例题讲解、理解记忆1．自学例1：求eq\f（5π,3）的正弦、余弦和正切值．2．例2：角α的终边经过点P（－3，－4），求α的正弦，余弦及正切值．活动：教师留给学生一定的时间,学生独立思考并回答．明确可以用角α终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上点的坐标来定义，既不失一般性，又简单，更容易看清对应关系．教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意α角的任意性．如图6，设α是一个任意角，P(x,y）是α终边上任意一点，点P与原点的距离r＝eq\r（x2＋y2）〉0，那么：图6①eq\f(y，r)叫做α的正弦，即sinα＝eq\f(y,r)；②eq\f（x,r）叫做α的余弦，即cosα＝eq\f（x,r）；③eq\f（y，x)叫做α的正切,即tanα＝eq\f（y，x）（x≠0)．这样定义三角函数,突出了点P的任意性，说明任意角α的三角函数值只与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关，教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点．3．例3：求下列三角函数值：（1)sin390°；(2）coseq\f(19π，6)；(3）tan(－330°)．活动：引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点，终边相同的角相差2π的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系?为什么？引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明．由三角函数的定义，可以知道:终边相同的角的同一三角函数的值相等．由此得到一组公式（公式一）：sinα＋k·2π＝sinα,cosα＋k·2π＝cosα，tanα＋k·2π＝tanα，其中k∈Z.利用公式一，可以把求任意角的三角函数值,转化为求0到2π（或0°到360°）角的三角函数值．这个公式称为三角函数的“诱导公式一"．解:（1)sin390°＝sin（360°＋30°)＝sin30°＝eq\f(1，2）；(2）coseq\f（19π，6)＝cos(2π＋eq\f（7π,6)）＝coseq\f（7π，6）＝－eq\f(\r（3），2）；（3)tan（－330°）＝tan（－360°＋30°）＝tan30°＝eq\f（\r(3)，3）。点评：本题主要是对诱导公式一的考查，利用公式一将任意角都转化到0～2π范围内求三角函数的值．七、课堂练习课本本节练习题1、2,3。处理:要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义．强调:终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、eq\f（π，2）、π、eq\f（3π，2)等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值．设计意图及时安排例题讲解,自做教材练习题，一般性与特殊性相结合,进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终．八、回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1．你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的?或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？（建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合……在终边上任意取定一点P……）．2．你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域？（根据定义……）3．你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号？(根据定义，想象坐标位置……）设计意图遗忘的规律是先快后慢，回顾再现是记忆的重要途径，在课堂内及时总结识记主要内容是上策．此处以问题的形式让学生自己归纳识记本节课的主体内容，抓住要害，人人参与，及时建构知识网络，优化知识结构，培养认知能力．布置课外作业1．书面作业：习题1.2A组第1、2题．2．认真阅读本节“阅读与思考：三角学与天文学"，了解三角学在天文学中的重要作用．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教学反思))新教材的教学理念之一是让学生去体验新知识的发生过程,这节《任意角三角函数》的教案,主要围绕这一点来设计．到底应该怎样去合理定义任意角的三角函数呢?让学生提出自己的想法，同时让学生去辩证这个想法是否是科学的？因为一个概念是严谨的,科学的,不能随心所欲地编造,必须去论证它的合理性，至少这种概念不能和锐角三角函数的定义有所冲突．在这个立—破的过程中,让学生去体验一个新的数学概念可能是如何形成的，在形成的过程中可以从哪些角度加以科学的辩思．这样也有助于学生对任意角三角函数概念的理解．再次，让学生充分体会在任意角三角函数定义的推广中，是如何将直角三角形这个“形”的问题,转换到直角坐标系下点的坐标这个“数"的过程的．培养数形结合的思想．第2课时作者：孟丽华教学背景1．教材地位分析:三角函数是中学数学的重要内容之一,而三角函数线的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又贯穿整个三角函数的教学．借助三角函数线可以推出三角函数公式，求解三角函数不等式，探索三角函数的图象和性质，可以说，三角函数线是研究三角函数的有利工具．2．学生学情分析：学习本节前，学生已经掌握任意角三角函数的定义，三角函数值在各象限的符号，以及诱导公式一，为三角函数线的寻找做好了知识准备．高一上学期研究指、对数函数图象时，已带领学生学习了几何画板的基础知识，现在他们已经具备初步的几何画板应用能力，能够制作简单的动画,开展数学实验．教学目标1．知识目标：使学生掌握如何利用单位圆中的有向线段分别表示任意角的正弦、余弦、正切函数值，并能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．2．能力目标:借助几何画板让学生经历概念的形成过程，提高学生观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力；在论坛上开展探究性学习，让学生借助所学知识自己去发现新问题，并加以解决，提高学生抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力．3．情感目标：激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境．教学重点难点1．重点:三角函数线的作法及其简单应用．2．难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用它们的几何形式表示出来．教学方法与教学手段1．教法选择：“设置问题，探索辨析，归纳应用，延伸拓展"——科研式教学．2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移;观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展．3．教学手段：本节课地点选在多媒体网络教室,学生利用几何画板软件探讨数学问题,做数学实验；借助网络论坛交流各自的观点,展示自己的才能．教学过程一、设置疑问，实验探索（17分钟)教学环节教学过程设计意图设置疑问，点明主题前面我们学习了角的弧度制，角α弧度数的绝对值|α|＝eq\f（l，r)，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径．特别地，当r＝1时，｜α|＝l，此时的圆称为单位圆，这样就可以用单位圆中弧的长度表示所对圆心角弧度数的绝对值，那么能否用几何图形来表示任意角的正弦、余弦、正切函数值呢?这就是我们今天要一起研究的问题.既可以引出单位圆，又可以使学生通过类比联想主动、快速地探索出三角函数值的几何形式.概念学习，分散难点有向线段：带有方向的线段．(1）方向：按书写顺序,前者为起点,后者为终点,由起点指向终点．如：有向线段OM，O为起点，M为终点,由O点指向M点．(动态演示)（2）数值：(只考虑在坐标轴上或与坐标轴平行的有向线段）绝对值等于线段的长度，若方向与坐标轴同向,取正值;与坐标轴反向,取负值．如：OM＝1，ON＝－1，AP＝eq\f(1，2）。相关概念的学习分散了教学难点，使学生能够更多地围绕重点展开探索和研究．

续表教学环节教学过程设计意图实验探索,辨析研讨1。（复习提问）任意角α的正弦如何定义？角α的终边上任意一点P(除端点外)的坐标是（x，y),它与原点的距离是r，比值eq\f（y，r）叫做α的正弦．思考：能否用几何图形表示出角α的正弦呢？学生联想角的弧度数与弧长的转化，类比猜测：若令r＝1,则sinα＝y.取角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线,设垂足为M，则有向线段MP＝y＝sinα.（学生分析的同时，教师用几何画板演示）请学生利用几何画板作出垂线段MP,并改变角的终边位置，观察终边在各个位置的情形,注意有向线段的方向和正弦值正负的对应．特别地,当角的终边在x轴上时,有向线段MP变成一个点,记数值为0。这条与单位圆有关的有向线段MP叫做角α的正弦线．2.思考：用哪条有向线段表示角α的余弦比较合适？并说明理由．请学生用几何画板演示说明．有向线段OM叫做角α的余弦线．3.tanα＝eq\f(y,x)如何用有向线段表示？讨论焦点：若令x＝1,则tanα＝y＝AT,但是第二、三象限角的终边上没有横坐标为1的点，若此时取x＝－1的点为T′(如图）,则tanα＝－y＝T′A′，有向线段的表示方法又不能统一．引导观察：当角的终边互为反向延长线时，它们的正切值有什么关系?统一认识:方案1：在象限角的终边或其反向延长线上取x＝1的点T，则tanα＝y＝AT；方案2：借助正弦线、余弦线以及相似三角形知识得到tanα＝eq\f（y，x)＝eq\f(MP,OM)＝eq\f(AT,OA）＝AT.几何画板演示验证：当角α的终边落在坐标轴上时，tanα与有向线段AT的对应．这条与单位圆有关的有向线段AT叫做角α的正切线.美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了；我看见了，就记住了；我做过了,就理解了．"要想让学生深刻理解三角函数线的概念，就应该让学生主动去探索，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程．教学已经不再是把教师或学生看成孤立的个体，而是把他们的教和学看成是相互影响的辩证发展过程．在和谐的氛围中，教师和学生都处在自由状态，可以不受框框的束缚，充分表达各自的意见，在自己积极思维的同时又能感受他人不同的思维方式,从而打破自己的封闭状态，进入更加广阔的领域。

二、作法总结，变式演练（13分钟）教学环节教学过程设计意图作法总结正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线．请大家总结这三种三角函数线的作法,并用几何画板演示(一学生描述，同时用电脑演示)：第一步：作出角α的终边，与单位圆交于点P；第二步:过点P作x轴的垂线，设垂足为M，得正弦线MP、余弦线OM；第三步：过点A(1，0）作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线的交点设为T，得角α的正切线AT.特别注意：三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点,书写顺序不能颠倒．余弦线以原点为起点，正弦线和正切线以此线段与坐标轴的公共点为起点，其中点A为定点(1，0）。及时归纳总结,加深知识的理解和记忆．变式演练，提高能力练习：利用几何画板画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：（1）eq\f（5π，6）；（2)－eq\f（13π，6）.学生先做，然后投影展示一学生的作品，并强调三角函数线的位置和方向．例1利用几何画板画出适合下列条件的角α的终边：（1)sinα＝eq\f(1,2)；（2)cosα＝－eq\f（1，2）；(3）tanα＝1。共同分析（1)，设角α的终边与单位圆交于P（x，y)，则sinα＝y，所以要作出满足sinα＝eq\f(1,2）的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为eq\f（1，2)的点P,则射线OP即为α的终边．（几何画板动态演示)请学生分析（2）、（3)，同时用几何画板演示．例2利用几何画板画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合:(1）sinα≥eq\f（1,2）；(2）cosα≤－eq\f(1,2）.分析:先作出满足sinα＝eq\f(1，2）,cosα＝－eq\f（1,2）的角的终边(例1已做），然后根据已知条件确定角α终边的范围．(几何画板动态演示）答案:（1)｛α｜2kπ＋eq\f（π，6）≤α≤2kπ＋eq\f（5π,6)，k∈Z｝．(2）｛α|2kπ＋eq\f(2π,3）≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3),k∈Z}．延伸：通过（1)、(2)两图形的复合又可以得出不等式组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα≥\f(1,2），，cosα≤－\f(1，2)））的解集：{α｜2kπ＋eq\f（2π，3）≤α≤2kπ＋eq\f（5π,6),k∈Z}.巩固练习,准确掌握三角函数线的作法．逆向思维，灵活运用三角函数线，并为利用三角函数线求解三角函数不等式（组）作铺垫．数形结合思想表现在由数到形和由形到数两方面．将任意角的正弦、余弦、正切值分别用有向线段表示出来体现了由数到形的转化；借助三角函数线求解三角函数方程和不等式又发挥了由形到数的巨大作用。

三、思维拓展,论坛交流（10分钟）教学环节教学过程设计意图思维拓展,论坛交流观察角的终边在各位置的情形，结合三角函数线和已学知识,你能发现什么规律，得出哪些结论?请说明你的观点和理由，并发表于学校的教育论坛上．学生得出的结论有以下几种：(1)sin2α＋cos2α＝1；(2)|sinα|＋｜cosα｜≥1；(3)－1≤sinα≤1，－1≤cosα≤1,tanα∈R；（4）若两角终边互为反向延长线，则两角的正切值相等，正弦、余弦值互为相反数；（5)当角的终边在第一象限逆时针旋转时，正弦、正切值逐渐增大,余弦值逐渐减小；(6）当角的终边在直线y＝x的右下方时，sinα＜cosα;当角的终边在直线y＝x的左上方时，sinα＞cosα；……给学生建设一个开放的、有活力、有个性的数学学习环境．论坛交流既能展示个人才华，又能照顾到各个层次的学生．来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想．这样的学习过程使学生在轻松达成一个个阶段目标之后，顺利到达数学学习的新境界.四、归纳小结,课堂延展（5分钟)教学环节教学过程设计意图归纳小结1.回顾三角函数线作法．2.三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的重要工具，自从著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系，使得对三角函数的研究大为简化