苏科版九年级数学上学期期中考点大串讲专题03圆【考题猜想压轴25题4种题型】(原卷版+解析)

专题03圆（压轴25题4种题型）一、判断点与圆的位置关系（共4小题）1．（2020秋·西藏林芝·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，．(1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标；(2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系．2．（2020秋·江西南昌·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．3．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）在矩形中，，．(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是．4．（2021秋·福建漳州·九年级校联考期中）如图，一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且海里．若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间．二、已知点与圆的位置关系求半径（共3小题）5．（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．6．（2022秋·四川自贡·九年级统考期末）对于平面直角坐标系中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离．例如：点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为，所以点P的最大距离为4．(1)①点的最大距离为______；②若点的最大距离为3，则a的值为______；③若点的最大距离为2，则a的值为______；(2)若点C在直线上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；(3)若上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出的半径r的取值范围．7．（2019秋·北京西城·九年级北京师大附中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.

（1）当⊙O的半径r=2时，在点D（2，-2），E（-1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是；（2）若直线上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标t的取值范围.三、利用垂径定理求值（共4小题）8．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：；（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．9．（2022秋·新疆吐鲁番·九年级校考期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．(1)求证：AC＝BD；(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．10．（2015秋·江苏扬州·九年级统考期中）已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．（1）点O到弦AB的距离为；．（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．11．（2022秋·天津和平·九年级统考期末）（1）如图①，AB，CD是⊙O的两条平行弦，OE⊥CD交⊙O于点E，则弧AC弧BD（填“>”，“<”或“=”）；（2）如图②，△PAB是⊙O的内接三角形，OE⊥AB交⊙O于点E，则∠APE∠BPE（填“>”，“<”或“=”）；（3）如图③，△PAB是⊙O的内接三角形，∠QPA是它的外角，在弧AP上有一点G，满足PG平分∠QPA，请用无刻度的直尺，画出线段PG．（不要求证明）四、利用垂径定理解决实际生活问题（共14小题）12．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．13．（2023·北京海淀·九年级期末）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．(1)求的长：(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？15．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是：．经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝cm；用含r的代数式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：，解得r＝75通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．16．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米．(1)求主桥拱所在圆的半径；(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度．17．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?18．（2020秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校联考期中）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？19．（2023·北京海淀·九年级期末）已知吃刀深度h为时，能在直径是d（）的轴上铣出宽的一块平面（如图）．(1)求d的值．(2)若吃刀深度增加到，求轴上铣出平面的宽度．20．（2023秋·湖北荆门·九年级校考期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径；(2)在（1）的条件下，小明把一只宽12的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13，问此小船能顺利通过这个管道吗？21．（2021秋·广西河池·九年级统考期末）如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．22．（2019秋·浙江温州·九年级校考期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径.23．（2022秋·河北唐山·九年级统考期中）一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量．如图，把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘，测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm．求这个孔道的直径AB．24．（2019秋·浙江台州·九年级校考期中）我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭(图1)，图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m，FH=2.4m，点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？

25．（2022·江西南昌·九年级校联考期末）如图，单行隧道的截面是由拱形和矩形组成，矩形ABCD的长为，宽为，圆拱形的拱高h=1m，（1）求所在的半径R；（2）现有一辆大型卡车（截面视为矩形），卡车的宽为，车高，问这辆大型卡车从单行隧道正中间MN能否通过？通过计算说明理由．

专题03圆（压轴25题4种题型）一、判断点与圆的位置关系（共4小题）1．（2020秋·西藏林芝·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，其中，．(1)请写出方程表示的圆的半径和圆心的坐标；(2)判断原点和第（1）问中圆的位置关系．【答案】(1)半径为5，圆心(2)在圆上【分析】（1）根据题目所给的“在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆”即可直接得出答案；（2）将原点的坐标代入，即可判断出点与圆的位置关系．【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，方程表示圆心是，半径是的圆，将化成，表示的圆的半径为5，圆心的坐标为；（2）解：将原点代入，左边右边，原点在表示的圆上．【点睛】此题主要考查对未学知识以新定义形式出现的题型，读懂题意，根据新定义解决问题是本题的关键．2．（2020秋·江西南昌·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点D在⊙M内；【详解】试题分析：（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M；（2）根据图形即可得出点M的坐标；（3）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．试题解析：解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（3）圆的半径AM==．线段MD==＜，所以点D在⊙M内．点睛：本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M的坐标是解题的关键．3．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）在矩形中，，．(1)若以为圆心，8长为半径作，则、、与圆的位置关系是什么？(2)若作，使、、三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径的取值范围是．【答案】(1)点在内，点在外，点在上(2)【分析】（1）根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解；（2）根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解．【详解】（1）解：连接，，，，的半径为8，点在内，点在外，点在上；（2）解：，，，又以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，的半径的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，判断点与圆的位置关系，是解题的关键．4．（2021秋·福建漳州·九年级校联考期中）如图，一艘轮船以30海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以60海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移动到位于点A正南方向的B处，且海里．若轮船以原方向、原速度继续航行，求轮船从A点出发到最初遇到台风的时间．【答案】轮船从点出发小时后最初遇到台风【分析】根据题意可得轮船正好在以台风中心为圆心、20海里长为半径的圆上即为轮船最初遇到台风的时间，设小时后最初遇到台风，画出图形（见解析），先求出的长，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得．【详解】解：由题意可知，轮船正好在以台风中心为圆心、20海里长为半径的圆上即为轮船最初遇到台风的时间，因为海里，所以当台风中心到达点时，轮船恰好在台风区的边界，所以轮船从点出发到最初遇到台风时，台风中心位于点的下方，画出图形如下：其中点为台风中心，点为轮船，则海里，设小时后最初遇到台风，则海里，海里，海里，海里，由勾股定理得：，即，解得或，当时，，不符题意，舍去，答：轮船从点出发小时后最初遇到台风．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、一元二次方程的应用、勾股定理的应用，画出图形，正确建立方程是解题关键．二、已知点与圆的位置关系求半径（共3小题）5．（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在中，，D是的中点，以A为圆心，r为半径作，若点B，D，C均在外，求r的取值范围．【答案】0＜r＜5【分析】先根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质求得AB、AD，再根据点与圆的位置关系即可求解．【详解】解：∵在中，，∴，∵D是的中点，∴，∵5＜6＜8，∴AD＜AB＜AC，∵A为圆心，r为半径，点B，D，C均在外，∴0＜r＜5．【点睛】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质、点与圆的位置关系，解题关键是熟练掌握点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外．6．（2022秋·四川自贡·九年级统考期末）对于平面直角坐标系中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若，则称为点P的最大距离；若，则称为点P的最大距离．例如：点到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为，所以点P的最大距离为4．(1)①点的最大距离为______；②若点的最大距离为3，则a的值为______；③若点的最大距离为2，则a的值为______；(2)若点C在直线上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；(3)若上存在点M，使点M的最大距离为，直接写出的半径r的取值范围．【答案】(1)①5；②；③(2)点或(3)【分析】（1）①直接根据最大距离的定义，其最小距离为最大距离；②由点的最大距离为3，可得a为最大距离，即可打得答案；③由的最大距离为2可得，2或者为最大距离，故，求解即可；（2）由C的最大距离为5，可得或，代入可得结果；（3）当与直线有交点时，上存在点M，使点M的最大距离为．【详解】（1）①点到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，，点A的最大距离5②点的最大距离为3③点到x轴的距离为2，到y轴的距离为a，若，则，此时，最大距离为2若，则此时，最大距离为点的最大距离为2（2）∵点C的最大距离为5，∴当时，，或者当时，．分别把，代入得：当时，，当时，，当时，，当时，，∴点或（3）如图，观察图象可知：当与直线有交点时，上存在点M，使点M的最大距离为，【点睛】本题考查了一次函数的综合题目，圆的相关知识、及新定义最大距离，解题的关键是正确理解题意，灵活引用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于压轴题型．7．（2019秋·北京西城·九年级北京师大附中校考期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，给出如下定义：若点P的横、纵坐标均为整数，且到圆心C的距离d≤r，则称P为⊙C的关联整点.

（1）当⊙O的半径r=2时，在点D（2，-2），E（-1，0），F（0，2）中，为⊙O的关联整点的是；（2）若直线上存在⊙O的关联整点，且不超过7个，求r的取值范围；（3）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，若直线上存在⊙C的关联整点，求圆心C的横坐标t的取值范围.【答案】（1）E、F；（2）≤r＜；（3）≤t≤.【分析】（1）根据关联整点的定义进行判断即可.（2）首先求出直线上有一个⊙O的关联整点时，即⊙O过点G（2,2）时，半径r的值，再求出直线上有9个⊙O的关联整点时，即⊙O过点L（-2,6）时，半径r的值，即可求解.（3）分别求出当⊙C过点M（3,1）和⊙C过点N（5,-1）时，圆心C的横坐标即可.【详解】（1）点D,E,F的横、纵坐标均为整数，点D到圆心的距离为不满足关联整点的定义.点E到圆心的距离为满足关联整点的定义.点F到圆心的距离为满足关联整点的定义.则E,F为⊙O的关联整点故答案为E、F；（2）当⊙O过点G（2,2）时，r=，⊙O过点L（-2,6）时，r=，∴≤r＜（3）如图所示：当⊙C过点M（3,1）时，CM=2，MH=1，则CH=，此时点C的横坐标t=，当⊙C过点N（5,-1）时，点C的横坐标t=，∴≤t≤.【点睛】属于圆的综合题，读懂题目中关联整点的定义是解题的关键.三、利用垂径定理求值（共4小题）8．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．（1）求证：；（2）若，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂径定理可得AD垂直平分BC，即可证明结论；（2）连接OB，根据勾股定理可得，得出，利用三角形面积公式求解即可．【详解】证明：（1）在⊙O中，∵OD⊥BC于D，∴BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC；（2）连接OB，如图所示：∵BC=8，由（1）得BD=CD，∴，∵，∴，

∴，∴△ABC的面积：，∴△ABC的面积为32．【点睛】题目主要考查垂径定理的应用，垂直平分线的性质，勾股定理等，理解题意，综合运用各个定理性质是解题关键．9．（2022秋·新疆吐鲁番·九年级校考期中）如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．(1)求证：AC＝BD；(2)连接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过O作OH⊥CD于H，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，即可得出结论；（2）过O作OH⊥CD于H，连接OD，由垂径定理得CH＝DH＝CD，再证△OCD是等边三角形，得CD＝OC＝4，则CH＝2，然后由勾股定理即可解决问题．【详解】（1）证明：过O作OH⊥CD于H，如图1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：过O作OH⊥CD于H，连接OD，如图2所示：则CH＝DH＝CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH＝＝＝2，∴AH＝＝＝2，∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．10．（2015秋·江苏扬州·九年级统考期中）已知⊙O的半径为2，∠AOB=120°．（1）点O到弦AB的距离为；．（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设∠ABP=α，将△ABP沿BP折叠，得到A点的对称点为A′；①若∠α=30°，试判断点A′与⊙O的位置关系；②若BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；③若线段BA′与优弧APB只有一个公共点，直接写出α的取值范围．【答案】（1）1；（2）①点A′在⊙O上；②；③0°＜α＜30°或60°≤α＜120°【分析】（1）如图，作辅助线；证明∠AOC=60°，得到OC=1．（2）①证明∠PAB=90°，得到PB是⊙O的直径；证明∠PA′B=90°，即可解决问题．②证明∠A′BP=∠ABP=60°；借助∠APB=60°，得到△PAB为正三角形，求出AB的长即可解决问题．③直接写出α的取值范围即可解决问题．【详解】解：（1）如图，过点O作OC⊥AB于点C；∵OA=OB，则∠AOC=∠BOC=×120°=60°，∵OA=2，∴OC=1．故答案为1．（2）①∵∠AOB=120°∴∠APB=∠AOB=60°，∵∠PBA=30°，∴∠PAB=90°，∴PB是⊙O的直径，由翻折可知：∠PA′B=90°，∴点A′在⊙O上．②由翻折可知∠A′BP=∠ABP，∵BA′与⊙O相切，∴∠OBA′=90°，∴∠ABA′=120°，∴∠A′BP=∠ABP=60°；∵∠APB=60°，∴△PAB为正三角形，∴BP=AB；∵OC⊥AB，∴AC=BC；而OA=2，OC=1，∴AC=，∴BP=AB=2．③α的取值范围为0°＜α＜30°或60°≤α＜120°．【点睛】该题主要考查了翻折变换、垂径定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换、垂径定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．11．（2022秋·天津和平·九年级统考期末）（1）如图①，AB，CD是⊙O的两条平行弦，OE⊥CD交⊙O于点E，则弧AC弧BD（填“>”，“<”或“=”）；（2）如图②，△PAB是⊙O的内接三角形，OE⊥AB交⊙O于点E，则∠APE∠BPE（填“>”，“<”或“=”）；（3）如图③，△PAB是⊙O的内接三角形，∠QPA是它的外角，在弧AP上有一点G，满足PG平分∠QPA，请用无刻度的直尺，画出线段PG．（不要求证明）【答案】（1）=；（2）=；（3）作图见详解．【分析】（1）连接AO，BO，CO，DO，根据平行线及垂直的性质可得，由垂径定理可得OE平分，，得出，，利用各角之间的关系可得，由圆心角相等，即可得出弧相等；（2）连接OA、OB，由及垂径定理可得，，利用圆周角是圆心角的一半即可得；（3）连接AD、CB交于点H，连接HO并延长交于点G，连接PG，由，可得，由垂径定理可得：点H在线段AB、CD的垂直平分线上，连接HO并延长交于点G，得出点G恰好平分，即点G恰好平分与所对的圆周角的和，由此即可得出．【详解】解（1）如图所示：连接AO，BO，CO，DO，∵，，∴，∴OE平分，，∴，，∴，即，∴，故答案为：=；（2）如图所示：连接OA、OB，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案为：=；（3）如图所示：连接AD、CB交于点H，连接HO并延长交于点G，连接PG，即为所求，∵，根据图可得：即，由垂径定理可得：点H在线段AB、CD的垂直平分线上，连接HO并延长交于点G，则点G恰好平分，即点G恰好平分与所对的圆周角的和，∴PG即为所求．【点睛】题目主要考查垂径定理的应用及圆周角定理，角平分线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，结合垂径定理是解题关键．四、利用垂径定理解决实际生活问题（共14小题）12．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【答案】（1）2米；（2）0.4米【分析】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【详解】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC＝AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF＝（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．【点睛】此题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．13．（2023·北京海淀·九年级期末）图1是某种型号圆形车载手机支架，由圆形钢轨、滑动杆、支撑杆组成．图2是它的正面示意图，滑动杆的两端都在圆O上，A、B两端可沿圆形钢轨滑动，支撑杆的底端C固定在圆O上，另一端D是滑动杆的中点，（即当支架水平放置时直线平行于水平线，支撑杆垂直于水平线），通过滑动A、B可以调节的高度．当经过圆心O时，它的宽度达到最大值，在支架水平放置的状态下：(1)当滑动杆的宽度从10厘米向上升高调整到6厘米时，求此时支撑杆的高度．(2)如图3，当某手机被支架锁住时，锁住高度与手机宽度恰好相等（），求该手机的宽度．【答案】(1)支撑杆的高度为9cm．(2)手机的宽度为8cm．【分析】（1）如图，连结OA，由题意可得：的直径为10，由先求解从而可得答案；（2）如图，记圆心为O，连结OA，证明设则则再利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】（1）解：如图，连结OA，由题意可得：的直径为10，即所以此时支撑杆的高度为9cm．（2）解：如图，记圆心为O，连结OA，由题意可得：∴四边形为正方形，设则由勾股定理可得：解得经检验不符合题意，舍去，取（cm），即手机的宽度为8cm．【点睛】本题考查的是正方形的判定与性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，建立方程解题是关键．14．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，米，于点，此时测得．(1)求的长：(2)如果水位以0.4米/小时的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】(1)米(2)经过5小时桥洞会刚刚被灌满【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，勾股定理求得，进而求得；（2）延长交于点，由（1）求得，进而求得，根据题意即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，∵，∴，∵，∴，设，在中，，∴，∵直径是河底线，，∴，解得，∴，，∴米，（2）如图，延长交于点，由（1）可得，∴∵水位以0.4米小时的速度上升，∴（小时），即经过5小时桥洞会刚刚被灌满．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．15．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理的依据是：．经测量，AB＝90cm，CD＝15cm，则AD＝cm；用含r的代数式表示OD，OD＝cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：，解得r＝75通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．【答案】垂直于弦的直径平分弦；45；；【分析】根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．【详解】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设所在圆的圆心为O，半径为rcm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦（非直径）的直径平分弦．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；用含r的代数式表示OD，OD=（r-15）cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=452+（r-15）2，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45,（r-15），452+（r-15）2．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．16．（2023秋·云南临沧·九年级统考期末）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为6米，拱高（弧的中点到水面的距离）为1米．(1)求主桥拱所在圆的半径；(2)若水面下降1米，求此时水面的宽度．【答案】(1)主桥拱所在圆的半径(2)此时水面的宽度【分析】（1）以O为圆心，连接，根据三线合一定理可得，设，则，再根据勾股定理即可求出半径；（2）由题意得，水面下降为，连接，根据水面下降1米，可得，再根据勾股定理即可求得答案．【详解】（1）如图，以O为圆心，连接，由题意可得，D为弧的中点，∴，∵，∴，设，则，在中，，，∴，解得：，∴主桥拱所在圆的半径；（2）由题意得，水面下降为，连接，∵水面下降1米，∴，则，∴，即水面的宽度为．【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．17．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）如图所示,某地有一座圆弧形的拱桥,桥下的水面宽度为7.2米,拱顶高出水面2.4米,现有一宽3米,船顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?【答案】能通过【分析】先求出弧形所在圆的半径；根据船宽，在Rt△OCH中，利用勾股定理可以求出此拱桥可以通过的船的高度，与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．【详解】解：AB=7.2米,CD=2.4米,EF=3米．D为AB、EF的中点,且CD,ME,NF均垂直于AB,MN交CD于H．弧AB所在的圆心为O,连接OA,ON．设OA=r,则OD=OC-DC=r-2.4,AD=AB=3.6有OA2=AD2+OD2即在Rt△OAD中，r2=3.62+（r-2.4）2∴r=3.9（米）在Rt△ONH中，有OH=（米）．所以FN=DH=OH-OD=3.6-（3.9-2.4）=2.1（米）这里2米＜2.1米,故可以通过该桥．但是余量较小,要非常小心才好．故答案为能通过.【点睛】本题考查垂径定理的应用,勾股定理，解本题的关键是求出此拱桥可以通过的船的高度，再与船的实际高度比较一下就可以知道能否通过．18．（2020秋·河北邯郸·九年级邯郸市第二十三中学校联考期中）如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10cm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8cm，则这个小圆孔的宽口AB的长度为多少？【答案】．【分析】过点作于点，并延长交于点，先计算出，再由，根据垂径定理得，然后根据勾股定理计算出，再利用进行计算即可．【详解】解：过点作于点，并延长交于点，如图，则由题意得，又，，在中，，．【点睛】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理的应用很广泛，常见的有：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．19．（2023·北京海淀·九年级期末）已知吃刀深度h为时，能在直径是d（）的轴上铣出宽的一块平面（如图）．(1)求d的值．(2)若吃刀深度增加到，求轴上铣出平面的宽度．【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆心为O，过点O作于点C，的延长线交于点D，连接，在中，利用勾股定理列出方程求出半径，即可解答；（2）在中，利用勾股定理先求出，即可求出．【详解】（1）设圆心为O，过点O作于点C，的延长线交于点D，连接，如图，∵，，∴，∵，设，∴，在中，根据勾股定理得，，即，解得，∴直径，即直径d的值为；（2）根据（1）中的结果有：，当时，则，∵，∴，根据勾股定理得，，即，解得，∴，∴轴上铣出平面的宽度为．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形利用勾股定理解决问题．20．（2023秋·湖北荆门·九年级校考期末）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深地方的高度为4，求这个圆形截面的半径；(2)在（1）的条件下，小明把一只宽12的方形小木船放在修好后的圆柱形水管里，已知船高出水面13，问此小船能顺利通过这个管道吗？【答案】(1)(2)能顺利通过【分析】（1）过作于，交弧于，连接，根据垂径定理得到，然后根据勾股定理列出关于圆形截面半径的方程求解．（2）连接，设，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时小船能顺利通过这个管道．【详解】（1）解：过作于，交弧于，连接．，，由题意可知，，设半径为，则，在中，由勾股定理得：解得．即这个圆形截面的半径为．（2）如图，小船能顺利通过这个管道．理由：连接，设．，，在中，，小船能顺利通过这个管道．【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．21．（2021秋·广西河池·九年级统考期末）如图1，点表示我国古代水车的一个盛水筒．如图2，当水车工作时，盛水筒的运行路径是以轴心为圆心，为半径的圆．若被水面截得的弦长为，求水车工作时，盛水筒在水面以下的最大深度．【答案】水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为．【分析】如图：过点作半径于，则，由垂径定理得，在利用勾股定理可求得，水深，即可求解．【详解】如图：过点作半径于在中，水车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为【点睛】本题考查了垂径定理的，解题关键在于作辅助线利用勾股定理计算．22．（2019秋·浙江温州·九年级校考期中）把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，求这个球的直径.【答案】.【分析】设圆心为O，过点作于交优弧EF于，可得，设半径为，则，根据勾股定理得，解方程即可.【详解】解：设圆心为O，过点作于交优弧EF于，∴，设半径为，则，根据勾股定理得解得，所以这个球的直径为.【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形．23．（2022秋·河北唐山·九年级