数字信号处理原理与实现第3版刘泉课后参考答案

2.1给定离散信号解(1)的波形如图2.1所示。(3)和的波形分别如图2.2和图2.3所示。图2.1图2.2图2.32.2判断下列序列是否为周期序列。若是周期的，请确定其周期。(1)，式中为常数 (2)解(1)为有理数，所以是以16为周期的周期序列。(2)因为,而为无理数，所以此序列是非周期序列。2.3已知线性非移变系统的输入为，系统的单位采样响应为，试求系统的输出并作图。(1)， (2)，(3)， (4)，解(1),输出如图2.4所示。，输出如图2.5所示。图2.4 图2.5(3)输出如图2.6所示。(4)当时，当时，，输出如图2.7所示。图2.8 图2.6 图2.72.4已知一个线性非移变系统的单位采样响应为试用直接计算卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。解(1)当时,得(2)当时,得故所求系统的单位阶跃响应为2.5图P2.8所示的是单位采样响应分别为和的两个线性非移变系统的级联，已知,,,，试求系统的输出。图P2.8题2.5图解因为2.6判断下列系统是否为：(a)线性系统；(b)非移变系统；(c)稳定系统；(d)因果系统。请予以证明。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)(a)所以是非线性系统(b)因为所以是非移变系统(c)设,则有，所以是稳定系统(d)因为n时刻的输出y(n)只取决于n时刻的输入x(n)，所以是因果系统(2)(a)所以是非移变系统(b)因为所以是非移变系统(c)设有界，则有界，所以系统稳定(d)因为时，时刻的输出时刻以后的输入有关，所以是非因果系统(3)(a)所以是线性系统(b)故为移变系统(c)设，则，所以是稳定系统(d)因为n时刻的输出y(n)只取决于n时刻输入x(n),所以是因果系统(4)(a)所以是线性系统(b)因为所以是移变系统(c)设，令g(n)=n,则(d)时刻的输出只取决于时刻的输入，所以是因果系统(5)(a)因为(b)因为所以是非移变系统(c)设，则，当时，有，所以不是稳定系统(d)n时刻的输出只取决于时刻的输入，所以是因果系统(6)(a)因为，所以是线性系统(b)因为所以是非移变系统(c)设，则，当时，有，所以不是稳定系统(d)当时，时刻的输出与时刻以后的输入有关，所以是非因果系统2.7讨论下列各非移变系统的因果性和稳定性。(1) (2) (3)(4) (5) (6)解(1)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得,所以系统稳定(2)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得，所以系统稳定(3)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得所以当时，系统稳定；当时，系统不稳定(4)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得，所以系统不稳定(5)因为时，，所以该系统为因果系统由稳定充要条件得(为有限值),则系统稳定(6)因为时，，所以该系统为非因果系统由稳定充要条件得，所以系统稳定2.8设系统的差分方程为其中为输入，为输出。当边界条件分别为时，试判断系统是否为线性系统或是否为非移变系统。解（1）当边界条件为时①设，则 由差分方程得 递推得 当时， 因而 递推得 综上可知 ②设 由差分方程得 递推得 即 当时， 因而 递推得 综上可知 由①和②的结果可知，与是移1位的关系，但与不是移1位的关系，所以在的条件下，系统是移变系统。③设 当时， 递推得 即 当时， 则 递推得 综上得 所以，该系统在条件下是线性系统。（2）当边界条件为时①设 得 ②设 得 由①和②的结果可知，与是移位的关系，但与也是移位的关系，所以在的条件下，系统是非移变系统。③设 当时， 当时， 综上得 所以该系统在的条件下是线性系统。2.9设系统的框图如图P2.9所示，试列出该系统的差分方程，并按初始条件，求输入为时的输出。图P2.9题2.9图解由图可得方程组 联立整理得到系统的差分方程为 由于时，，则通过迭代可得 归纳可得 整理化简得2.10设一因果系统的输入/输出关系由下列差分方程确定：(1)求该系统的单位采样响应；(2)利用(1)得到的结果，求输入为时系统的响应。解(1) 因为 所以⋮可以推出 即 2.11设系统的单位采样响应，系统的输入是一些观测数据。若假设系统的初始状态为零状态，且，试利用递推法求系统的输出。解当n<0时，h(n)=0，此时系统输出为0。当n>0时系统的输出为系统输入与系统单位采样响应的线性卷积，即利用递推法可求系统输出如下：当n=0时，当n=1时，当n=2时，当n=3时，⋮依此类推，可得：则系统的输出为：2.12有一连续时间信号，式中f=20Hz,φ=π/2。(1)试确定的周期；(2)若用采样间隔T=0.02s对进行采样，试写出采样信号的表达式；(3)画出对应的时域离散序列的波形，并求出的周期。解(1)的周期为(2)采样信号的表达式为(3)的数字频率为,又因为,所以的周期为。离散序列可描述为,其波形如图2.10所示。图2.102.13试用MATLAB绘出题2.2中各信号的波形。(1)%参数设置A=1;%振幅An=0:50;%n的范围，从0到50phi=pi/6;%相位偏移phi=π/6%计算cos函数y=A*cos(5*pi*n/8+phi);%绘图stem(n,y);%使用stem函数绘制离散图xlabel('n');%x轴标签ylabel('Amplitude');%y轴标签title('y=Acos(5\pin/8+\pi/6)');%图标题gridon;%显示网格(2)%定义n的范围n=0:50;%计算序列x(n)x_n=exp(1j*(n/8-pi));%分别绘制实部和虚部figure;subplot(2,1,1);stem(n,real(x_n),'filled');title('实部');xlabel('n');ylabel('实部');subplot(2,1,2);stem(n,imag(x_n),'filled');title('虚部');xlabel('n');ylabel('虚部');2.14试用MATLAB实现题2.3中的卷积运算，并绘出相应的信号波形。(1)x=[1];%h=[11111];%y=conv(x,h);stem(y,'fill');(2)n=0:10;%可以自定义范围u1=(n>=0);%第一个阶跃函数u2=(n>=0);%第二个阶跃函数result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);axis([010020]);(3)n=0:10;u1=0.5.^n.*(n>=0&n<3);%u2=(n==2);%result=conv(u1,u2);figure;stem(0:length(result)-1,result);(4)n=-10:10;%可以自定义范围u1=2.^n.*(n<0);%u2=0.5.^n.*(n>=0);%result=conv(u1,u2);figure;stem(-20:(length(result)-1)/2,result);%-20由自定义范围得出2.15试用MATLAB实现题2.12的采样过程，绘出相应的时域和频域波形。(1)时域波形closeallclearall%定义采样间隔Ta=2*pi/(40*pi);N=32;Ts=Ta/N;t=(0:N-1)*Ts;x=cos(40*pi*t+pi/2);%绘制采样后的信号stem(t,x,"filled");xlabel('时间(s)');ylabel('x(t)');title('采样后的信号');gridon;(2)频域波形%计算采样信号的FFTX=fft(x);X=fftshift(X);%计算频率轴f=((0:N-1)-N/2)/Ta;figure%计算幅度谱magnitude=abs(X)/N;%绘制频域波形stem(f,magnitude,'fill');xlabel('频率(Hz)');ylabel('幅度');title('抽样信号的频域波形');gridon;3.1设Xeiω和Yeiω分别是xn1xn−n05x解2DTFTx∗34所以DTFT5=n=−∞+∞xn=或者DTFT6dX所以DTFT(7)因（DTFT3.2已知X求Xejω的傅里叶反变换解:因为当ω0<ω<ω0时,所以x=3.3线性非移变系统的频率响应Hejω=Hejωy证明:假设输人信号xn=eiωy上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定系统的频率响应，即有xy=上式中Heiω是ω的偶函数，相位函数是ω的奇函数，即Hejωy3.4试求以下序列的傅里叶变换。13xn=解2==343.5已知xn=解:序列xDTFT=DTFTx03.6若序列ℎn是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式求序列ℎn及其傅里叶变换H解：因为

HℎH3.7若序列ℎn是实因果序列，ℎ0=1，其傅里叶变换的虚部为H1ejω解而DTFT则ℎ所以H3.8设系统的单位冲激响应ℎn=x完成下面各题：12分别求出解:(1)系统输出为

y由2DTFTDTFTDTFT=3.9已知xat=2cos2πf0t，式中f0=1写出2写出3分别求出解:X=2πδω−2π=2πδ2xxn3===800而3.10求下列序列的Z变换，指出收敛域，并画出零极点图。1an41nn≥15解:1由Z变换的定义可知X=极点为z=a,z=a−1，零点为z=0,z=∞，因为az<1，且az−1<1，即得Z变换的收敛域为aMatlab实现程序如下：cleara=0.5;b=0c=1−zplaneb,c图3.1零极点图2极点为z=12，收敛域为z>图3.2零极点图3Z极点为z=12，零点为z=0，收敛域为z<1图3.3零极点图4由Z变换的定义可知X因为则X极点为z=1,z=0，零点为z=∞，而Xz的收敛域和dXzdz的收敛域相同，所以Xz收敛域为z图3.4零极点图5Y所以X极点为z=ejω0,z=图3.5零极点图6y=cosφ⋅cos则

Y=而

x则

X极点为z=reiω0,z=re−jω图3.6零极点图3.11求序列xn=n解令再令i=nX3.12用长除法、留数定理法和部分12X3解：1长除法：由于是右边序列，所以按降幂级数排列，X所以x留数法:xn=12πjc11+当在c内有z=−12一个极点，则有x由于xn为因果序列,故n<0时，xn部分分式法：由题得，因为zx2长除法：由于极点为z=14，收敛域为z<14，所以X所以x留数法：xn=12πjc1−2当n=0x当n<0x当n>0x综上所述，有部分分式法：X则Xz=8−71−14z−1，x3长除法：因为极点为z=1a，由z>1a可知Xx留数法：xn=12πjcz−a1−azzx当n=0时，Xzzn−1在cx当n<0x部分分式法：X3.13已知一个线性非移变系统，用差分方程描述如下y求系统的系统函数Hz，求系统的单位冲激响应。可以看出系统为一个不稳定系统，求满足上述差分方程的一个稳定（但非因果）系统的冲激响应。解：(1)差分方程两边取Z变换得：Y系统函数为

H零点为z=0,极点为z1=1+52,图3.7 零极点图（2）H3H得到ℎ此时系统稳定，但非因果。3.14设一个线性非移变系统的因果系统，其系统函数为Hz23证明这个系统是一个全通系统。解：1由题意可得系统函数有一个极点z=a，若要求它是一个稳定系统，该系统函数的极点应全部在单位圆内，因此a<1，因为a为实数，所以一1<2系统函数的零点为z=a−1,极点为z=aa0a01/aRe(z)Im(z)图3.83H因此，此系统是一个全通系统。3.15设线性非移变系统的差分方程为y试求它的单位冲激响应，并判断它是否为因果系统，是否为稳定系统。解：在差分方程两边求Z变换得1所以该系统的系统函数为HH该系统的极点有z=13当|z|<1/3时，ℎ(n)=−3/8∗[因为收敛域不含∞，所以是非因果系统；收敛域不含单位圆，不是稳定系统。(2)当1/3<|z|<3因为收敛域不含∞，所以是非因果系统；收敛域含单位圆，是稳定系统。当3<|z|时，ℎ(n)=−3/8∗[因为收敛域包含∞，所以是因果系统；收敛域不含单位圆，不是稳定系统。3.16某系统的差分方程为y求输人为xn=12解:对差分方程的两边取单边Z变换，得Y将初始条件代人上式整理得YY=故零输入响应y由xY=故零状态响应为y综上所述，系统的相应为y3.17设确定性序列xn的自相关函数为

rxx=n=−∞∞xnxn+m

，试用xn解:Z令n+m=iZ所以Z由于Xeiω是单位圆上的Z变换，所以3.18已知线性因果网络用下面差分方程描述y1求网络的系统函数2写出频率响应He3设输入解:1对差分方程两边取Z变换得Y系统函数为H因为H所以ℎ2

系统的零点为z=−0.9，极点为z=0.9，如图3.9所示。将系统的幅频响应记为He①当ω=0②随ω的增大，由0变到π，B越来越小,A越来越大，则∣Hejω∣越来越小；③当④随ω的继续增大，由π变到2π,B越来越大,A越来越小，则⑤当ω=2π时，A=0.1,B=1.9,H0Re(z)0Re(z)Im(z)-110π2πHω19图3.9幅频特性图3X其中,Y所以，当输入为xny3.19研究一个线性非移变的系统，其差分方程为y判断该系统是否稳定，是否因果没有限制；研究这个差分方程的零极点图，求系统单位冲激响应的三种可能的选择方案，验证每一种方案都满足差分方程。解:对所给的差分方程的两边作Z变换得YH则系统函数为可求得极点为z1=2,z21当收敛域ℎ经验证，将以上的单位抽样响应代入原方程计算，两边相等，即满足差分方程。(2)ℎ3当收敛区域为ℎ经验证，将以上的单位抽样响应代入原方程计算，两边相等，即满足差分方程。2.20若序列ℎnH求序列ℎn及其傅里叶变换H解：因为H令z=H求上式逆Z变换，得序列ℎn的共轭对称序列ℎ则F因为ℎn是因果序列,ℎe当n≥1ℎ当n=0F所以ℎ又因为ℎ所以ℎℎ其对应的傅里叶变换为H3.21试用Matlab编程计算习题3.8和3.9。解：（1）3.8题编程。求系统输出yncloseall;clear;a=0.5;n=100;x=[102];h=a.^[0:n-1];%(a)卷积输出y=conv(x，h);figure(1)，plot(0:length(y)-1，y)图3.10卷积结果图计算x(n)，h(n)，y(n)的傅里叶变换，代码如下。%代码中，有一个可替换的参数，其中对于x(n)，BBB=1+2*exp(-2*j*w)，结果参看图3.11；%对于h(n)，BBB=1./(1-0.5*exp(-j*w))，结果参看图3.12;对于y(n)，BBB=1./(1-%0.5*exp(-j*w))+2*exp(-2*j*w)./(1-0.5*exp(-j*w))，结果参看图3.13。closeall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=BBB;%计算复数的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')%计算相位phase=angle(func);%将相位转换为度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('频率')ylabel('相位/度')图3.11x(n)的频谱图3.12h(n)的频谱图3.13y(n)的频谱（2）3.9题编程。x由奈奎斯特采样定理：XajΩcloseall;clear;figure;w=[-2000:1:2000];func=zeros(1，length(w));fori=-100:100func=func+dirac(w-800*i-200)+dirac(w-800*i+200);endfunc=800*pi*func;%计算复数的幅值magnitude=abs(func);magnitude(magnitude==inf)=3;plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')图3.14xaX(n)傅里叶变换：Xejωcloseall;clear;figure;w=[0:0.1:pi];func=zeros(1，length(w));fori=1:1000func=func+exp(j*(pi/2-w)*i)+exp(-j*(pi/2-w)*i);end%计算复数的幅值magnitude=abs(func);subplot(1，2，1)plot(w，magnitude)xlabel('频率')ylabel('幅值')%计算相位phase=angle(func);%将相位转换为度phase_in_degrees=phase*180/pi;subplot(1，2，2)plot(w，phase_in_degrees)xlabel('频率')ylabel('相位/度')图3.15x(n)的频谱3-1计算下列序列的N点DFT1x(n)=12x(n)=δ(n)

解:

123456X=7X(k)&=X(k)=9X(k)=10X(k)=再将Y=X(k)=−当k=0时，因为WX(k综上可得X(k)=3-2已知下列X(k)，求其离散傅里叶逆变换x1式中，m为整数0<m<解：3-3已知周期序列xn，其主值序列x(n)=[5,4,3,2,1,3,2]，试求xn的傅里级数系数解:根据已知条件，xnXX(0)=XXXX(4)=X(5)=XX(k)即是以N=7为周期，以{X(0),X(1),X(2),X(3),X(4),X(5),X(6)}3-4设有两个序列为{1,2,3,4,5,0,0}和它们的圆周卷积(序列长度为N=7);用圆周卷积定理求两序列的线性卷积(请用N1=7解：(1)设这两个序列分别为x1(n)和x2(n)，其周期取为N=7来计算圆周卷积。做两个同心圆，把序列yy3y4y5y综上得到两个序列的圆周卷积为y(n)={6,3,6,10,14,12,9}。(2)对x1(n)和所以x1(n)3-5设有两序列x(n)=&x(n),    &&0⩽n⩽5&0,    &&其他和y(n)=&y(n),    &&0⩽n⩽15&0,    &&解:序列x(n)长度N1=6,序列y(n)的长度N2=16,故其线性卷积的长度N=3-6设x(n)长度为N，且X令H(k)=求解：

令,，则因此，，即综上，3-7已知x(n)是长度为N的有限长序列，Xy(n)=试求Y(k)=DFT解3-8已知x(n)是长度为N的有限长序列，Xk=DFTxn,y(n)=&x(n/r),    &&n=ir,i=0,1,⋯,N−1&0,    &&其他解因为

X(k)=Y(k)=又已知n=ir,i=0,1,⋯,N−1时令

n所以

Y(k)=3-9如果xn是周期为N的周期序列，那么xn是周期为2N的周期序列。假定X1(k)表示xn以N为周期的DFS的系数,X2(k)解:依题意可得XX令n'X所以

X3-10若x1(n)与x2(n)都是长度为N的序列,X1(k)与解：

因为X(k)=上式第二项求和得X1X(k)=3-11一个有限长序列x(n)={1,1,1,1,1,1},设其Z变换为Xz。如果在Zk=ej2πk/4,k=0,1,2,3点时对解：对Xz在单位圆上等间隔采样4点将造成x(n)y(n)=[所以y(n)=2δ(n)+2δ(n−1)+δ(n−2)+δ(n−3)3-12一个长度为N1=100点的序列x(n)与长度为N2=64点的序列h(n)用解：因为线性卷积的长度为N3=N1+3-13xn表示一周期为N的周期序列,Xk表示其离散傅里叶级数的系数,Xk也是一周期为N的周期序列。试由式x解因为

X所以

DFS[因为

k=0则

DFS3-14有限时宽序列的N点离散傅里叶变换相当于其Z变换在单位圆上的N点等间隔采样;求出X(z)在半径为r的圆上的N点等间隔采样，即X试给出一种用DFT计算得到X(k)解因为

X(z)=所以。X计算方法是：先构造一个序列x(n)r−n,5.1一台通用计算机的速度为：平均每次复数乘法需要100μs，每次复数加法需要20μs，今用来计算N=1024点的DFT[x(n)]。问直接运算需要多少时间？用FFT运算需要多少时间？解直接计算DFT需要N2次复数乘法、N(N-1)次复数加法；当N=1024=210复数乘法：N2=10242复数加法：N(N-1)=1024×(1024-1)≈10242=1048576所以直接运算需要的时间为1048576×100μs+1048576×20μs=125829120μs≈125.829s而如果用DIT-FFT算法，需要的运算量如下：复数乘法：m复数加法：m所以采用DIT-FFT算法需要的时间为5120×100μs+10240×20μs=716800μs=0.7168s5.2一个线性非移变系统的单位取样响应为，已知输入信号为，请用FFT方法求，要求画出详细的运算流图，并写出计算步骤。解由题意y(n)=x(n)∗ℎ(n)，根据圆周卷积定理可知Y(k)=X(k)H(k)，又因为当N≥N1+N2−1=时，可用圆周卷积替代线性卷积。若用基-2FFT，N取4，先计算x(n)和ℎ(n)的FFT，再求X(k)和H(k)乘积得到Y(k)图5.6图5.7因此，Y(k)=X(k)H(k)={3,1求Y(k)的IFFT的方法有两种：方法一：因为y(n)=1NDFTY图5.8所以y(n)=方法二：可利用4点的DIF-IFFT计算y(n)结果，如图5.9所示。图5.9所以y(n)=1,5.3试画出为复合数时的FFT算法求的结果（采用基）。解依题意：，∴对于，有有，同样，令对于频率变量有，∴∴图5.105.4已知是一个点实序列的DFT，现在要用为求，为提高运算效率，试设计一个点IFFT运算一次完成。解将x(n)奇偶分组得{x1因为x(n)为实序列，因此构造一个复序列wn设{X{X(所以如果已知X(k)，可得令{WWk=也即wn5.5一个长度为的复序列与一个长度为的复序列卷积。(1)求直接进行卷积所需(复)乘法次数。(2)若用1024点基2按时间抽取FFT重叠相加法计算卷积，重做问题(1)。解(1)直接进行卷积所需(复)乘法次数为：K1=ML=512×8192=4194304。若用1024点按时间抽取的基-2FFT重叠相加法计算卷积，由于的长度为512点，可以将分段成16段长度为512的序列，这样与1024点的圆周卷积与线性卷积相等。根据快速卷积原理，需计算17次1024点的FFT和16次1024点的IFFT。N点的FFT的(复)乘法次数为mF=N2log2⁡NK5.6设是一个长度为的序列，且，，其中为偶数。(1)证明x(n)的N点DFT仅有奇次谐波，即X(k)=0，k为偶数(2)证明如何由一个经过适当调整的序列的N/2的DFT求得x(n)的N点DFT。证明(1)X=当k为偶数时，由于xn=−xn+N2(2)Xk因为WNXk=Xn/2(2k)表示序列的N2的DFT，从而得x5.7已知以1s为周期均匀采样得到。(1)试求频谱X(k)，并作出碟形图。(2)试进行谱分析，即求出振幅谱、相位谱和功率谱。解(1)采用图示法，4点的DIT-FFT运算蝶形图如图5.11所示。图5.11所以X(k)={5,2+j,-5,2-j}振幅谱Ak相位谱φ功率谱S(k)=A5.8用微处理机对实序列进行谱分析，要求谱分辨率F≤1Hz，信号的最高频率为，试确定以下各参数：(1)最小记录时间Tpmin；(2)最大的取样间隔Tmax；(3)最少采样点数Nmin解由F≤1Hz及Tp≥1F可得：而采样频率fsTN分辨率提高一倍，即，则5.9用重叠相加法计算一个长度为1000点的序列与长度为64点的序列的线性卷积时，共需要多少点DFT变换与DFT反变换？用重叠保留法呢？解由重叠相加法可知，需要把1000点的长序列分成每段分为L=128+1-64=65点共可得16段，这样每段65点序列与64点短序列的线性卷积恰好可以由128点的圆周卷积计算。由此可得需通过DFT转换16次，DFT转换1次，总共17次DFT，并运用DFT反变换16次就可以了。若采用重叠保留法，则分组的时候与重叠相加法有区别，第一段128点中包含64-1=63个零点，含有65个非零点，第二段中又重复第一段中最后63个点，然后依次排列后面的65个点，接着第三段依此类推，每段只有65个点是唯一的，因此1000点的序列需要分解成17段[(1000+63)/65=16余23]，最后一段需要补充40个零点，需要做17次DFT变换，加上序列的1次DFT变换，故总共有18次DFT变换，并需要17次DFT反变换。6.1已知一个离散时间系统由下列差分系统表示：y(n)−(1)画出实现该系统的框图。(2)画出实现该系统的信号流图。解（1）（2）6.2试求图P6.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。网络Ⅰ网络Ⅱ图P6.2解网络Ⅰ的系统函数H1(z)=根据梅森公式可得网络Ⅱ的系统函数H2(z)=6.3已知系统函数为H(z)=按照下列形式画出实现这个系统的信号流图：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)级联型；(4)并联型。解（1）（2）（3）H（4）H6.4已知一个时域离散线性非移变因果系统由下列差分方程描述：y试画出下列形式的信号流图（对级联和并联形式只用一阶节）：(1)直接Ⅰ型；(2)直接Ⅱ型；(3)级联型；(4)并联型。解（1）H（2）（3）H（4）H6.5设系统的系统函数为H(z)=试画出各种可能的级联结构。解6.6已知FIR滤波器的单位冲激响应为ℎ(n)=求该滤波器的直接型结构。解ℎ6.7已知FIR滤波器的单位冲激响应为ℎ0该滤波器的零点分布和级联型结构流图。解H故可以得出零点−1故可得出其零点分布图（用matlab画的零极点分布图）级联型结构流图为6.8设某FIR数字滤波器的系统函数为H(z)=试画出此滤波器的线性相位结构。解6.9已知FIR数字滤波器的单位冲激响应为ℎ(n)=δ试画出实现该滤波器的频率采样型结构（设取样点数为N=5）。解频率采样公式为H(z)=(1−由于采样点数N=5，所以有WNHk=0HH频率采样型结构为6.10一个FIR系统的系统函数为H(z)=(1−试求其格型结构。解k故其格式结构为6.11已知H(z)=试求这个零-极点IIR滤波器的格型结构。解kc故其格式结构为6.12分别以原码、反码和补码形式表示小数732和-7解732−76.13设滤波器的输入是方差为δe2的白噪声序列H(z)=试求输出序列的方差。解输出序列的方差为δ6.14一个线性非移变系统的系统函数为H(z)=设该系统用一个16位定点处理器实现，在量化之前先对乘积之和进行累加，且δe采用直接Ⅱ型结构实现该系统，求滤波器输出端舍入噪声的方差。采用并联型结构实现该系统，重复问题（1）。解（1）输出端舍入噪声的方差δ又δ故δ（2）H输出端舍入噪声的方差δ又δ故δ6.15试用MATLAB实现习题6.3中4种结构的IIR滤波器。clc;clearall;close;b=[3,3.6,0.6];a=[1,0.1,-0.2];N=30;delta=impseq(0,0,N);%直接I型(h1)和直接II型(h2)h1=filter(b,a,delta);h2=h1;%级联型(h3)[K1,B1,A1]=dir2cas(b,a);h3=casfiltr(K1,B1,A1,delta);%并联型(h4)[K2,B2,A2]=dir2par(b,a);h4=parfiltr(K2,B2,A2,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];endfunction[b0,B,A]=dir2cas(b,a);%DIRECT-formtoCASCADE-formconversion(cplxpairversion)%---------------------------------------------------------%[b0,B,A]=dir2cas(b,a)%b0=gaincoefficient%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%computegaincoefficientb0b0=b(1);b=b/b0;a0=a(1);a=a/a0;b0=b0/a0;%M=length(b);N=length(a);ifN>M b=[bzeros(1,N-M)];elseifM>N a=[azeros(1,M-N)];N=M;else NM=0;end%K=floor(N/2);B=zeros(K,3);A=zeros(K,3);ifK*2==N; b=[b0]; a=[a0];end%broots=cplxpair(roots(b));aroots=cplxpair(roots(a));fori=1:2:2*K Brow=broots(i:1:i+1,:); Brow=real(poly(Brow)); B(fix((i+1)/2),:)=Brow; Arow=aroots(i:1:i+1,:); Arow=real(poly(Arow)); A(fix((i+1)/2),:)=Arow;endendfunctiony=casfiltr(b0,B,A,x);%CASCADEformrealizationofIIRandFIRfilters%-----------------------------------------------%y=casfiltr(b0,B,A,x);%y=outputsequence%b0=gaincoefficientofCASCADEform%B=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=x;fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),w(i,:));endy=b0*w(K+1,:);endfunction[C,B,A]=dir2par(b,a);%DIRECT-formtoPARALLEL-formconversion%--------------------------------------%[C,B,A]=dir2par(b,a)%C=Polynomialpartwhenlength(b)>=length(a)%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%b=numeratorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%a=denominatorpolynomialcoefficientsofDIRECTform%M=length(b);N=length(a);[r1,p1,C]=residuez(b,a);p=cplxpair(p1,10000000*eps);I=cplxcomp(p1,p);r=r1(I);K=floor(N/2);B=zeros(K,2);A=zeros(K,3);ifK*2==N;%Neven,orderofA(z)odd,onefactorisfirstorder fori=1:2:N-2 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); end [Brow,Arow]=residuez(r(N-1),p(N-1),[]); B(K,:)=[real(Brow)0];A(K,:)=[real(Arow)0];elsefori=1:2:N-1 Brow=r(i:1:i+1,:); Arow=p(i:1:i+1,:); [Brow,Arow]=residuez(Brow,Arow,[]); B(fix((i+1)/2),:)=real(Brow); A(fix((i+1)/2),:)=real(Arow); endendendfunctionI=cplxcomp(p1,p2)%I=cplxcomp(p1,p2)%Comparestwocomplexpairswhichcontainthesamescalarelements%but(possibly)atdifferrentindices.Thisroutineshouldbe%usedafterCPLXPAIRroutineforrearrangingpolevectorandits%correspondingresiduevector.%p2=cplxpair(p1)%I=[];forj=1:1:length(p2)fori=1:1:length(p1) if(abs(p1(i)-p2(j))<0.0001) I=[I,i];endendendI=I';endfunctiony=parfiltr(C,B,A,x);%PARALLELformrealizationofIIRfilters%----------------------------------------%[y]=parfiltr(C,B,A,x);%y=outputsequence%C=polynomial(FIR)partwhenM>=N%B=Kby2matrixofrealcoefficientscontainingbk's%A=Kby3matrixofrealcoefficientscontainingak's%x=inputsequence%[K,L]=size(B);N=length(x);w=zeros(K+1,N);w(1,:)=filter(C,1,x);fori=1:1:Kw(i+1,:)=filter(B(i,:),A(i,:),x);endy=sum(w);end6.16试用MATLAB实现习题6.6中直接型结构的FIR数字滤波器。clc;clearall;close;n=0:4;b=0.5.^n;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end6.17试用MATLAB实现习题6.8中线性相位结构的FIR数字滤波器的信号流图。clc;clearall;close;n=0:4;b=[1,3,5,3,1]./5;N=30;delta=impseq(0,0,N);h=filter(b,1,delta);function[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%Generatesx(n)=delta(n-n0);n1<=n,n0<=n2%----------------------------------------------%[x,n]=impseq(n0,n1,n2)%if((n0<n1)|(n0>n2)|(n1>n2)) error('argumentsmustsatisfyn1<=n0<=n2')endn=[n1:n2];%x=[zeros(1,(n0-n1)),1,zeros(1,(n2-n0))];x=[(n-n0)==0];end7.1试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc解 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为A巴特沃斯低通滤波器的系统函数为HsH其零点都在s=∞处,它的极点为sk=−112NH其中K0由H在三阶巴特沃斯低通滤波器中,ΩcA其极点为SnS1=2则有H==因为Ha0=H7.2试导出二阶切比雪夫滤波器的系统函数，已知通带纹波为1dB，归一化截止频率为Ωc=1解 根据滤波器的指标可知:带通波纹是δ1=1dB,N=2,ε所以ε因为a=s将ε=0.50884，N=2,ΩcssssHas由左半平面的极点s3、sH7.3已知某个模拟系统的传递函数为H试根据该系统求满足下列两个条件的离散系统的系统函数Hz(1)冲激不变条件，即ℎ(2)阶跃不变条件，即s式中s解 (1)因为H得极点为s代入冲激不变法计算公式得离散系统的系统函数为H(2)因为sS所以s令t=nT,由阶跃不变条件可得sS==由于snH7.4已知某个模拟滤波器的系统函数为H 采样周期T=2，试用双线性变换法将它转换为数字滤波器的系统函数Hz解 当T=2时,系统函数为

=7.5要求用双线性变换法从二阶巴特沃斯模拟滤波器导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为100Hz，系统采样频率为解 因为采样频率fs=1KHZ,截止频率求巴特沃斯模拟滤波器的系统函数，因为二阶巴特沃斯滤波器的系统函数为H则二阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数为H使用双线性变换求得数字滤波器得的系统函数为Hz7.6已知某个模拟滤波器的传递函数为H 试分别用冲激响应不变法和双线性变换法将它转换成数字滤波器的系统函数Hz，设T=0.5解 (1)使用冲激响应不变法因为Ha对Haℎ利用冲激响应不变法条件h(n)=ℎah对h(n)求Z变换得H将s1=-0.5,sH(2)使用双线性变换法H==7.7设ℎaℎ试用冲激响应不变法将该模拟滤波器转换成数字滤波器。若把T当作参量，证明T为任何正值时，数字滤波器都是稳定的，并说明此滤波器是近似低通滤波器还是近似高通滤波器。解 令t=nT,得

求h(n)的Z变换,得数字滤波器的系统函数为H由于系统函数的极点为z=e−0.9T.,无论T为任何正值,恒有|z|=|e令z=ejωH因此,滤波器的幅度响应为H在[0,π]区间,随着ω的增加,He7.8图P7.8表示了一个数字滤波器的频率响应。(1)试用冲激响应不变法,求原型模拟滤波器的频率响应;(2)再用双线性变换法,求原型模拟滤波器的频率响应。解：（1）该滤波器的频率响应可表示为He因为ω大于折叠频率时,HeH又由Ω=ωH下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应（2）根据双线性变换公式,可得H即由ω所以,原型模拟滤波器的频率响应为H下图给出了该原型模拟滤波器的频率响应7.9用冲激响应不变法设计一个满足以下指标的巴特沃斯数字低通滤波器:幅度响应在通带截止频率ωP=0.2613π处的衰减不大于0.75dB,在阻带截止频率ωT=0.4018π处的衰减不小于20dB解（1）根据滤波器的指标得20设T=1,将数字域指标转换成模拟域指标得20lg将巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数H代人上两式得1+1+解这两个方程得N=7.2786,取整数N=8,且Ωc=0.9206。显然,按上述值设计的滤波器满足通带指标要求,且阻带指标将超过给定值。(2)把N=8,0.Ωc=0.9206代入式s求得;平面左半平面的4对极点分别为:极点对1:-0.1796士j0.9029;极点对2:-0.5115士j0.7655;极点对3:-0.7655士j0.5115;极点对4:-0.9029±j0.1796由这4对极点构成的滤波器的传递函数为H=(3)将HaH(4)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ejω代入系统函数H(z)表达式，求解幅度响应Herp=0.75;rs=20;wp=0.2613*pi;ws=0.4018*pi;Fs=1;[n,wn]=buttord(wp,ws,rp,rs,'s')[z,p,k]=buttap(n);[bp,ap]=zp2tf(z,p,k)[bs,as]=lp2lp(bp,ap,wp)Ts=1,fs=0.5;[bz,az]=impinvar(bs,as,Fs/2)[h,w]=freqz(bz,az,256,Fs);subplot(211)plot(w,abs(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('幅值')subplot(212)plot(w,180/pi*angle(h));gridon;xlabel('w/2pi')ylabel('相位(度)');由图中可以看出,设计的滤波器完全满足规定的技术指标,因为高阶模拟巴特沃斯滤波器是充分带限的,所以不会有很大的混叠失真。如果得到的滤波器不满足技术指标,可以试用更高阶的滤波器;若想保持阶数N不变,可适当调整滤波器的系数加以解决。7.10使用双线性变换法设计一个满足以下指标的巴特沃斯数字低通滤波器。假定取样频率fs=10kHz,在通带截止频率fP=1kHz处的衰减不大于1.8dB解：（1）将模拟截止频率转换成数字截止频率因为Ωp=2πfp=2000π,ΩT=2πfT=3000π,T=1/fs=0.0001s,所以ωp=T*Ωp=0.2π，ωT=T*ΩT=0.3π(2)计算N和Ωc将模拟截止频率进行预畸变,即Ω将其代入20并令T=1，得20将巴特沃斯滤波器的幅度平方函数代人以上两式得到1+1+解以上两方程得N取整数N=4,可得Ωc=0.71684。可以验算这个Ωc值所对应的阻带指标刚好满足要求,而通带指标已经超过要求(3)由N和Ωc。求模拟巴特沃斯滤波器的极点,并由左半平面的极点构成Ha(s),将N=4和Ωc=0.71684代入式s求得s平面左平面的4个极点分别为:极点1、2:−0.27432±极点3、4:−0.66227±由此得传递函数为:H(4)使用双线性变换求得数字巴特沃斯滤波器的系统函数为HH(5)验证所得到的数字滤波器是否达到设计指标。将z=ejω代入系统函数H(z)表达式，求解幅度响应Hewp=0.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1.8;As=12;Fs=1;T=1/Fs;OmegaP=(2/T)*tan(wp/2);OmegaS=(2/T)*tan(ws/2);ep=sqrt(10^(Rp/10)-1);Ripple=sqrt(1/(1+ep*ep));Attn=1/(10^(As/20));N=ceil((log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(As/10)-1)))/(2*log10(OmegaP/OmegaS)))OmegaC=OmegaP/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N)))[B,A]=butter(N,OmegaC,'s');W=(0:500)*pi/500;[H]=freqs(B,A,W);mag=abs(H);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[b,a]=bilinear(B,A,T);[h,w]=freqz(b,a,1000,'whole');h=(h(1:501))';w=(w(1:501))'m=abs(H);db2=20*log10((m+eps)/max(m));subplot(221);plot(W/pi,mag);title('幅度|dB|');ylabel('模拟滤波器')subplot(222);plot(W/pi,db1);title('幅度dB')subplot(223);plot(w/pi,m);xlabel('频率(w/pi)');ylabel('数字滤波器')subplot(224);plot(w/pi,db2);xlabel('频率(w/pi)')7.11使用双线性变换法设计一个切比雪夫数字低通滤波器，各指标与题7.10中的相同解 将数字截止频率转换成模拟截止频率因为ΩP=2πfP 所以ωP=按照双线性变换法有ΩΩ因为δ1=1.8dB，δ2所以εN≥所以取整数N=3。αa=b=因此a代入得左半平面得极点为-0.09875±j0.4732,-0.1975H因为N为奇数，HaHH7-12使用双线性变换法设计一个切比雪夫数字高通滤波器。指标要求：取样频率fs=2.4kHz，在通带截止频率fP=160Hz处的衰减不大于3dB，在阻带截止频率fT解（1）将高通数字滤波器的频率指标SKIPIF1<0和SKIPIF1<0折合成数字频率SKIPIF1<0设T=2，按照双线性变换法，将高通数字滤波器的数字域频率转换为高通模拟滤波器的频率SKIPIF1<0将高模拟滤波器的频率指标映射成模拟低同滤波器的频率指标SKIPIF1<0（2）根据模拟低同滤波器的指标求SKIPIF1<0和NSKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0取N=3。（3）求模拟低通滤波器的平方幅度函数令SKIPIF1<0，将其代入3阶切比雪夫多项式的平方中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，3阶切比雪夫模拟低通滤波器的平方幅度函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4）求模拟低通滤波器的传输函数将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0由上式求出SKIPIF1<0的极点：SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是左半s平面的3个极点，由他们构成一个稳定的3阶切比雪夫模拟低通滤波器，其传输函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0因N=3为奇数，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0最后得SKIPIF1<0SKIPIF1<0注意，模拟低通滤波器的传输函数在左半s平面的3个极点也可以用下式求出：SKIPIF1<0，k=0,1,…,2N-1其中常量a和b用下列公式计算SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值代入计算极点的公式，得左半s平面的极点如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0这里的结果与前面的数值基本相同。（5）将模拟低通滤波器转换成模拟高通滤波器用1/s代换模拟低通滤波器的传输函数中的s，得到模拟高通滤波器的传输函数SKIPIF1<0（6）用双线性变换法将模拟高通滤波器映射成数字高通滤波器设T=2。将SKIPIF1<0代入模拟高通滤波器的传输函数，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0Matlab程序如下Wp=2*pi/15;Ws=pi/30;Rp=3;Rs=48;fs=0.5;T=2;OmegaP=tan(Wp/2);OmegaS=tan(Ws/2);[N,OmegaC]=cheb1ord(OmegaP,OmegaS,Rp,Rs,'s');[b,a]=cheby1(N,Rp,OmegaC,'high','s');[h,w]=freqs(b,a);mag=abs(h);pha1=angle(h);db1=20*log10((mag+eps)/max(mag));[B,A]=bilinear(b,a,fs);[H,W]=freqz(B,A);mag=abs(H);pha2=angle(H);db2=20*log10((mag+eps)/max(mag));subplot(2,2,1);plot(w,db1);title('模拟滤波器幅频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,2);plot(w,pha1);title('模拟滤波器相频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('相位（rad）');subplot(2,2,3);plot(W,db2);title('数字滤波器幅频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('幅度（dB）');subplot(2,2,4);plot(W,pha2);title('数字滤波器相频曲线');xlabel('频率（rad）');ylabel('相位（rad）');7-13已知一阶全通系统的系统函数为H (1)写出它的两种不同形式的差分方程。 (2)画出直接Ⅱ型结构的信号流图。 (3)根据差分方程画出只有一个支路乘以a的结构的信号流图。 (4)现有一个二阶全通系统由下列系统函数定义：H 试用(3)中得到的两个一阶全通系统的级联结构实现该二阶全通系统，只允许使用3个延迟器，并画出信号流图。解 (1)由系统函数可得Hz=Yzyyy(2)（3）（4）7-14任何一个非最小相位系统均可表示成一个最小相位系统和一个全通系统的级联，即H 式中Hapz是稳定的因果全通滤波器，Φ 试证明对于所有ω，有− 此不等式说明，最小相位系统具有最小的群延迟，所以也是最小时延系统。证明 由于H令Φ根据级联系统相频特性等于各子系统相频特性之和的性质,有Φ对上式两边求导,得d因为Hapd所以d−7-15假设某模拟滤波器是一个低通滤波器，又已知H试判定数字滤波器的通带中心频率位于以下哪个频率位置：(a)ω=0（低通）；(b)ω=π（高通）；(c)除0或解 由模拟滤波器转换为数字滤波器Hs平面与z平面的映射关系为：ss式中，Ω为模拟滤波器频率，w为数字滤波器频率，带入可得。jΩ当低通模拟滤波器频率Ω为中心频率Ωc=0处为通带，此时ω为数字滤波器中心频率eω数字滤波器通带位于π处，数字滤波器为高通滤波器，故选择(b)。8.1：FIR低通滤波器的脉冲响应h(n)是由理想低通滤波器的脉冲响应ℎdh当n=ℎ对于给定的N=21,滤波器的阶数是20，即n=0,1,2,...,20，中心位置为n=10,理想脉冲响应需要乘以矩形窗,矩形窗函数ω(n)的值为1，因此滤波器的脉冲响应h(n)频率响应H(ejωStep1:计算理想低通滤波器的脉冲响应hℎ矩形窗函数：ω滤波器的脉冲响应:h(n)=Step2:计算频率响应通过傅里叶变换(DTFT)，求解H(H(8.2：与上题类似：Step1:计算理想低通滤波器的脉冲响应hℎ三角形窗函数ωh(n)=Step2:计算频率响应通过傅里叶变换(DTFT)，求解H(H(8.3:理想高通滤波器的脉冲响应hdhhStep1:N=51，αhhStep2:汉宁窗的公式为：ωh(n)=8.4:理想带通滤波器的脉冲响应hdhStep1:hStep2:海明窗的表达式为：ωh(n)=8.5：hStep1：其中，M=hStep2：布莱克曼窗ωω8.6:理想低通滤波器的频率响应为：H其对应的时域冲激响应为：ℎ凯泽窗:ω其中I0若ω8.7：通常，阻带衰减要求与过渡带宽度一起决定了窗函数的类型：1、汉明窗：阻带衰减约为44dB2、凯泽窗：通过调整窗系数β可以满足更大的阻带衰减要求为满足-45dB的阻带衰减，选择凯泽窗并根据阻带衰减和过渡带宽度来确定Step1：滤波器长度N计算：凯泽窗法中，N和过渡带宽度∆ω的的关系可通过以下公式近似：N≈其中，A是是阻带衰减的绝对值，即A=-45dB，带入得到N≈Step2：理想低通滤波器的冲激响应计算hStep3：凯泽窗ω8.8：(1)ℎ则H由上式可以看出|因为ℎ1(n)是偶对称序列，根据线性相位的定义，它是一个线性相位滤波器，其时延为N−12=3.5，令要知两个滤波器的性能,必须求出它们各自的频率响应的幅度函数,根据它们的通带起伏以及阻带衰减的情况,来加以比较。由于N=8是偶数，又是线性相位，则H(可以令ℎℎ及ℎℎ代入可得HH从阻带看,H1(ω)的阻带衰减大,而H2(ω)的阻带衰减小,这一点8.9由H(z)z其中z01和z02、z03和z04互为共轭零点。为了使新系统满足单位抽样响应为实数,必须满足新系统的零点保持共轭分布,因此在移动零点过程中应将z01和z因此总共可得到的新系统的个数为M=总共可得到的系统个数为M+1=16由系统零点分布可知,系统有3个零点分布在单位圆外,即z用全通系统将这些零点映射到单位圆内可得到最小相位系统。H(1−0.7其中最小相位系统为H(1−要获得最大相位系统,需要将原H(z)级联一个全通系统,把单位圆内的零点映射到单位圆外。满足要求的全通系统为H从而可得最大相位系统为H×(1−1.58.10由于HBP(eH且φ(H所以带阻滤波器可以表示为：H(2)ℎ考虑到φ(φℎ8.11因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即h(n)=−h(N−1−n)故当N为奇数时，有h(H(上式中n用N−12H(由于滤波器的频率响应为H(令c(n)=2h(得到H(8.12(1)H(首先计算ℎminH再计算ℎ(n)的幅频响应H(进行变量替换,令m=N−1−n,则n=N−1−m,当n=0时,m=N−1,当n=N−1时,m=0,因此幅频响应可以改写为H(利用e−jH(由于幅频响应只关注幅度，不关注相位，因此两者具有相同的幅频响应(2)一个系统是最大相位系统，当其单位冲激响应h(n)的所有非零系数的时延响应都是正的。由于h(n)=ℎmin(N−1−n)。可以看到,h(n)的系数是反向排列的，这意味着系统在频域中的相位响应为负的，因为每一个8.13题8.1的MATLAB实现：%参数设置N=21;%滤波器阶数wc=0.5*pi;%截止频率M=(N-1)/2;%中心位置%计算理想脉冲响应h_d(n)n=0:(N-1);hd=sinc((n-M)*0.5);%0.5=wc/pi%矩形窗w(n)，所有值为1w=ones(1,N);%计算加窗后的脉冲响应h(n)h=hd.*w;%计算频率响应H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT计算频率响应H=fftshift(H);%将零频率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%频率范围%绘制频率响应|H(e^jw)|的对数刻度figure;plot(w_freq,20*log10(abs(H)));title('20\log_{10}|H(e^{j\omega})|');xlabel('Frequency[radians/sample]');ylabel('Magnitude[dB]');gridon;题8.2的MATLAB实现%参数设置N=51;%滤波器阶数wc=0.5*pi;%截止频率M=(N-1)/2;%中心位置%计算理想脉冲响应h_d(n)n=0:N-1;%n从0到N-1hd=sinc((n-M)*0.5);%理想脉冲响应，0.5=wc/pi%计算三角形窗w(n)w=1-abs((2*n)/(N-1)-1);%计算加窗后的脉冲响应h(n)h=hd.*w;%计算频率响应H(e^jw)H=fft(h,1024);%使用FFT计算频率响应H=fftshift(H);%将零频率移到中心w_freq=linspace(-pi,pi,length(H));%频率轴%绘制频率响应|H(e^jw)|的对数刻度figure;p