浙江省杭州市2025届高三上学期一模数学试题 含解析

2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3.考试结束，只需上交答题卡.一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果.【详解】因为，则，解得，则，所以.故选：A2.函数是（）A.奇函数 B.偶函数C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】当时，，则，当时，，则，综上可得，f−x即函数偶函数.故选：B3.已知直线y=2x是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】根据渐近线方程可得，故，即可由离心率公式求解.【详解】的渐近线方程为，因此，故，故离心率为，故选：A4.将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意，由三角函数的奇偶性，分别验证命题的充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由题意可得，由是偶函数可得，且，当时，，当时，，所以由是偶函数可得或，故充分性不满足；当时，可得为偶函数，故必要性满足；所以"是偶函数"是""的必要不充分条件.故选：B5已知向量，若，则（）A.1或 B.或C.或2 D.或1【答案】D【解析】【分析】由向量点的坐标先求出.和的坐标，再由两垂直向量数量积为0建立等式，从而求得参数的值.【详解】，∵，∴，即∴∴或.故选：D.6.设，满足.若函数存在零点，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数，由于，故，满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数，由于存在零点，故．故选：B．7.已知，则（）A.1 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解.【详解】由可得，故选：C8.对，不等式恒成立，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确.【详解】由得，对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，∴，当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，∴，∴，当时，，要使恒成立，则需，即恒成立，∴，综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误.对于选项C、D，若，∵∴，∴，要使不等式恒成立，则需，∵函数在为增函数，∴函数有相同的零点，由得，由得，，∴，即，∴，∴，选项D正确.故选D.【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下：（1）不等式变形为.（2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误.（3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得.二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.若，则B.若，则C.若，则在0,1上单调递减D.若，则在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD.【详解】对于AB，，因为，所以是的极小值点，则，解得，此时，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，故A正确，B错误；对于C，若，则，当时，，所以在上单调递减，故C正确；对于D，若，则，当时，，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD.11.已知函数的定义域为，若，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或的相应结论，再前面结论取特殊值得到BC选项的结论，借助前面的结论，先求出的值，令化简得到即可得出结论.【详解】令，，则令，则则，，∴或令，则若，则，矛盾，∴，则，∴A选项错误；令，则，∴B选项正确；令，则，则，即，C选项正确；由A、C选项中结论，令，则，则令，则，即，D选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题是已知抽象函数的关系式求相应结论，这类题目可以从特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所对的函数值，在令部分变量为特殊值，从而得出相应结论.三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线在点处的切线的斜率是_________.【答案】【解析】【分析】对函数求导，然后在导数中令可求出所求切线的斜率.【详解】对函数求导得，当时，，因此，所求切线的斜率为，故答案为.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要知系切线的斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于基础题.13.已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和）【答案】①.②.【解析】【分析】设，根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出的关系即可.【详解】设，则，，由，整理得，即，所以，可取，所以.故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可）14.已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则_____.【答案】【解析】【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解.【详解】当时，，则，当时，不妨设，则，因为双曲线经过点，所以，所以，因为，所以，则双曲线的焦点在轴上，所以，同理，因为，所以，则双曲线的焦点在轴上，所以，所以，即，综上所述，.故答案为：.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知在中，.（1）判断的形状，并说明理由;（2）若点在AB边上，且.若，求的面积.【答案】（1）三角形为直角三角形，（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状，（2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解.【小问1详解】由可得，故，进而，由于,故，又，故,化简可得,故，由于B∈0,π,故进而,故三角形为直角三角形，【小问2详解】由于，，且为直角三角形，设，则,故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得，故16.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为.（1）求的方程;（2）若点关于直线对称的点在上，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，由条件可得外接圆的半径以及圆心横坐标，结合抛物线的定义即可得到圆心到准线的距离为半径，即可得到；（2）根据题意，由点关于线对称可得点−1,1关于直线对称的点坐标，然后代入抛物线方程计算，即可得到结果.【小问1详解】因为的外接圆的面积为，则其半径为，且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上，其中焦点，准线方程为，所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为，即，所以的方程为.【小问2详解】设点−1,1关于直线对称的点为，则两点连线的中点坐标在直线上，即，化简可得①，由对称性又可知，−1,1和所在直线与垂直，则②，联立①②可得，，解得，所以，又因为在抛物线上，则，即，即，即，即，所以，其中时，，所以，所以，即.17.一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵.（1）若，求此时的信息熵;（2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义.（参考不等式:若，则）【答案】（1）（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果；（2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义.小问1详解】当时，，且，∴，∴【小问2详解】令，则，∴有题意可知当时，风险最小（最合理）决定，∴当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的.18.已知函数.（1）若，求的单调区间;（2）若，求证:;（3）若使得，求证:.【答案】（1）单调递减区间是0,+∞，无增区间.（2）证明见详解（3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导函数求得的最大值，再得到在上递减；（2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证；（3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距离等于不等式两边的值，再由线段长短得出相应结论.【小问1详解】当时，，，则令，则，令，∵，∴，∴在区间上单调递减增，在区间上单调递减，∴，∴的单调递减区间是，无增区间.【小问2详解】∵，当时，显然成立，当时，，令，∴，∴在区间上单调递减，∴，∴在区间上单调递减，∴，综上所述，当时，.【小问3详解】，∴，令，则，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵，∴.不妨设，则，，先证：，易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为，令，则，当时，，此时，∴当时，图像在下方.∴，∴，再证，设，，易知直线方程为，直线方程为，则直线，与直线交点的横坐标为，，∴，∵，同理可证：，∴，类似的可以证明，∴，即，∴【点睛】思路点睛：本题不等式证明可以分别证明两边成立，因为是与的交点，可以构造其他交点使得线段长度等于不等式两端的值，再证明点的位置，得到线段长度即可得证.19.已知正项有穷数列，设，记的元素个数为.（1）若数列，求集合，并写出的值;（2）若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”;（3）若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数.【答案】（1），；（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用集合的定义直接求解即可；（2）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合的定义分析即可；（3）通过分析可知，且，设数列此时,然后对数列分别作变换进行分析求解，即可得到答案．【小问1详解】因为，，，，故所以，；【小问2详解】充分性：若是等比数列，设公比为．不妨考虑数列是递增数列，所以．则当时，．所以，故，得证.必要性：若．因为是递增数列，所以，所以且互不相等,又，所以，又，所以，且互不相等．所以，，，．所以，所以为等比数列；若为单调递减数列，同理可证.【小问3详解】