2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市浦东新区洋泾中学高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共14分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设a、b均为非零实数且a>b，则下列结论中正确的是(

)A.a−2>b−2 B.a−1>2.设α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，则“对β内的任意直线l，都有m⊥l”是“α⊥β”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA.5.5 B.6 C.6.5 D.74.若三棱锥A−BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是(

)A. B.

C. D.二、填空题：本题共10小题，共34分。5.已知集合A={−1,1,2,4}，B={x|2x−3≤0}，则A∩B=______．6.若复数z=1+i(i为虚数单位)，则z−=______．7.已知函数f(x)=sin(x+φ)(φ>0)是偶函数，则φ的最小值是______．8.在△ABC中，角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，已知A=π6,B=π4,a=9.已知a>0,b>0,1a+1b10.已知数列{an}为等比数列，a1=1，a811.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为π3，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为______．12.把一个表面积为16π平方厘米的实心铁球铸成一个底面半径与球的半径一样的圆柱(假设没有任何损耗)，则圆柱的高是______厘米．13.已知函数f(x)满足：f(x)=xx+1,x≥0−f(−x),x<0，则不等式14.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=1，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则下列说法中，正确的有______.(请填入所有正确说法的序号)

①当λ=1时，△AB1P的周长为定值；

②当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值；三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

已知空间中三点A(2,0,−2)、B(1,−1,−2)、C(3,0,−4)，设a=AB，b=AC．

(1)若|c|=3，且c//BC，求向量c；

(2)16.(本小题8分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥BC，BA=BC=BB1=2．

(1)求异面直线AB117.(本小题8分)

如图所示，圆锥的顶点为P，底面中心为O，母线PB=4，∠AOB=120°，且OB=2．

(1)求圆锥的体积；

(2)求二面角P−AB−O的大小(结果用反三角表示)．18.(本小题14分)

如图，在等腰梯形ABCD中，BC//AD，BC=12AD=2,∠A=60°，E为AD中点，点O，F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面ABE⊥平面BCDE(如图)．

(1)求证：BE⊥平面A1OC．

(2)求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值；

(3)侧棱19.(本小题14分)

已知函数f(x)，g(x)在区间D上都有定义，对于任意的x1，x2∈D，当x1<x2时，g(x1)≤f(x1)−f(x2)x1−x2≤g(x2)或g(x2)≤f(x1)−f(x2)x1−x2≤g(x1)成立，则称g(x)是区间D上f(x)的限制函数．参考答案1.D

2.A

3.C

4.D

5.{−1,1}

6.1−i

7.π28.29.2

10.−2

11.6π

12.8313.[−1,+∞)

14.②④

15.解：(1)根据题意，B(1,−1,−2)、C(3,0,−4)，则BC=(2,1,−2)，

若c//BC，设c=tBC=(2t,t,−2t)，

又由|c|=3，则4t2+t2+4t2=9t2=9，解可得t=±1，

故c=(2,1,−2)或(−2,−1,2)；

(2)根据题意，a=AB=(−1,−1,0)16.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BA⊥BC，

所以BA，BB1.，BC两两互相垂直，

以B为原点，BA，BB1.，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,0,2)，A1(2,2,0)，B1(0,2,0)，C1(0,2,2)，

所以AB1=(−2,2,0)，A1C1=(−2,0,2)，

设异面直线AB1与A1C1所成角为θ，θ∈[0,π2]，

所以cosθ=|cos<AB1,A1C1>|=|AB1⋅A17.解：(1)圆锥的高OP=PB2−OB2=16−4=23，

则圆锥的体积为V=13π⋅OB2⋅OP=13π×4×23=833π；

(2)取AB的中点G，连接PG，OG，

因为OA=OB，PA=PB，所以OG⊥AB，PG⊥AB，

由图可知，二面角P−AB−O为锐角，

18.解：(1)证明：因为BC/​/DE，且BC=DE，则四边形BCDE是平行四边形，

则BE=CD，又四边形ABCD为等腰梯形，则AB=BE，

结合∠A=60°可得△A1BE是等边三角形，

又O为BE中点，则A1O⊥BE，

如图连接CE，注意到BC/​/AE，BC=AE，则四边形BCEA是平行四边形，

结合△A1BE是等边三角形，可得四边形BCEA是菱形，

则△BCE是等边三角形，又O为BE中点，则CO⊥BE，

因为A1OCO⊂平面A1OC，A1O∩CO=O，

所以BE⊥平面A1OC；

(2)因为平面A1BE⊥平面BCDE，平面A1BE∩平面BCDE=BE，

A1O⊂平面A1BE，A1O⊥BE，

则A1O⊥平面BCDE，

又由(1)可得CO⊥BE，则如图建立以O为原点的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,3,0)，A1(0,0,3)，E(−1,0,0)，

则A1B=(1,0,−3)，A1C=(0,3,−3)，A1E=(−1,0,−3)，

设平面A1CE的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅A1C=3y−3z=0n⋅A1E=−x−3z=0，

取y=1，则x=−3,z=1，

所以n=(−3,1,1)为平面A1CE的一个法向量，

设直线A1B与平面A1CE所成角为θ，

则sinθ=|19.解：(1)g(x)=1x2是f(x)=−1x在D=(0,+∞)上的限制函数，

不妨设0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)x1−x2=−1x1+1x2x1−x2=1x1x2；

由于任意性：1x22≤1x1x2≤1x12，

即g(x2)=1x22≤f(x1)−f(x2)x1−x2