2024-2025学年上海师大附中闵行分校高三（上）第三次半月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海师大附中闵行分校高三（上）第三次半月考数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“x>1”是“|x|>1”的(

)A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.小明在某比赛活动中已经进入前四强，他遇到其余四强的三人之一的获胜概率分别为0.3、0.4、0.65，若小明等可能遇到其他选手，获胜则进入决赛，反之被淘汰，则小明进入决赛的概率为(

)A.0.45 B.0.5 C.0.55 D.0.63.已知z是复数，z−是其共轭复数，则下列命题中正确的是(

)A.z2=|z|2

B.若|z|=1，则|z−1−i|的最大值为2+1

C.若z=(1−2i)2，则复平面内z−对应的点位于第一象限

4.已知函数f(x)=cosx+1x的定义域为(0,+∞)，将f(x)的所有零点按照由小到大的顺序排列，记为：x1，x2，…，xn…，对于正整数n有如下两个命题：

甲：(n−1)π<xnA.甲正确，乙正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 D.甲错误，乙错误二、填空题：本题共12小题，共54分。5.函数f(x)=lg(x−1)的定义域是__________．6.已知向量a=(2m,1)，b=(1,m−3)，若a⊥b，则实数m=7.已知复数z=1+ai(a∈R)，其中i是虚数单位，Re(zi)=2，则a=______．8.已知(3+ax)5的展开式中各项系数的和为32，则a=______．9.已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且右顶点与椭圆x24+10.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收.”《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365，一年后“进步”的是“退步”的1.013650.99365=(1.0111.已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式(ax+b)(bx−c)>012.若函数f(x)=2x,x≤0−x2+m,x>013.某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则X的期望为______．14.设函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图像与直线y=t相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A，B，C，若|BC|=2|AB|，则正实数15.如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道，现在从B地和C地测量得到：∠DBC=24.2°，∠DCB=35.4°，∠DBA=31.6°，∠DCA=17.5°.则∠DAB=______.(结果精确到0.1°)16.已知a,b,e是平面向量，且e是单位向量，若非零向量a在e方向上的投影向量为12|a|⋅e三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题15分)

如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面正方形ABCD的边长为2，AA1=3．

(1)求证：平面AA18.(本小题15分)

已知函数f(x)=b−a2x+1(a∈R,b∈R)．

(1)当b=2时，是否存在实数a，使得y=f(x)是奇函数；

(2)对于任意给定的非零实数b，y=f(x)与x19.(本小题15分)

如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以∠DCB和∠DAB为圆心角的两个扇形区域种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切．

(1)若AD=437,AB=337,BD=37(长度单位：米)，求种植花卉区域的面积；

(2)若扇形的半径为10米，圆心角为135°，则20.(本小题15分)

如图1，已知抛物线τ的方程为x2=y，直线l的方程为y=kx+1，直线l交抛物线τ于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点(x1<x2)，O为坐标原点．

(1)若k=0，求△AOB的面积的大小；

(2)∠AOB的大小是否是定值？证明你的结论；

(3)如图2，过点A、B分别作抛物线的切线21.(本小题16分)

定义：设y=f(x)和y=g(x)均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为f′(x)和g′(x)，若不等式[f(x)−g(x)][f′(x)−g′(x)]≤0对任意实数x恒成立，则称y=f(x)和y=g(x)为“相伴函数”．

(1)给出两组函数，①f1(x)=(1e)x和g1(x)=0②f2(x)=ex和g2(x)=x，分别判断这两组函数是否为“相伴函数”(只需直接给出结论，不需论证)；

(2)若y=f(x)、y=g(x)是定义在R上的可导函数，y=f(x)是偶函数，y=g(x)是奇函数，f(x)+g(x)=参考答案1.A

2.A

3.B

4.A

5.{x|x>1}

6.1

7.−2

8.−1

9.x210.17

11.(−212.(0,1]

13.35．14.1215.52.5°

16.1917.证明：(1)因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，

所以AA1⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

因为BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，

因为AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面AA1CC1，

所以BD⊥平面AA1CC1，又BD⊂平面A1BD，

所以平面AA1CC1⊥平面A1BD.得证．

解：(2)设点A到平面A1BD的距离为d，AC与BD相交于点O，连接A1O，

因为正方形ABCD的边长为2，AA1=3，

所以18.解：(1)根据题意，函数f(x)=b−a2x+1(a∈R,b∈R)，

当b=2时，则f(x)=2−a2x+1，可知f(x)的定义域为R，

若y=f(x)是奇函数，则f(0)=2−a2=0，解得a=4，

且当a=4时，f(x)+f(−x)=2−42x+1+2−42−x+1=4−42x+1−4×2x2x+1=0，

即f(x)=−f(−x)，y=f(x)是奇函数，

综上所述：当a=4时，y=f(x)是奇函数．

(2)令f(x)=b−a2x+1=0，可得a=b(219.解：(1)△ABD中，AD=437，AB=337，BD=37，

所以cosA=(437)2+(337)2−3722×437×337=−12，

又因为A∈(0,π)，所以A=2π3，

设扇形的半径为r，

则S△ABD=12⋅37⋅r=12⋅437⋅337⋅sin2π3，

解得r=63，

所以扇形的面积为S扇形=12×2π3×(63)2=36π，

所以两块花卉景观扇形的面积为72π平方米；

(2)连接A与切点O，设∠BDA=θ，过点B作AD的垂线交AD延长线于点E，

△AOD中，AD=OA20.解：(1)当k=0时，直线l的方程为y=1，

由x2=yy=1解得y=1，x1=−1，x2=1，

所以△AOB的面积为12×2×1=1．

(2)由(1)中发现△AOB为等腰直角三角形，猜测∠AOB=90°．

证明：OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+x12x22，

y=kx+1y=x2得x2−kx−1=0，即x1x2=−1，Δ=k2+4>0，

所以OA⋅OB=−1+1=0，所以∠AOB=90°为定值．

(3)A(x21.解：(1)第(1)组是，第(2)组不是，

①f1(x)=(1e)x和g1(x)=0，

[f1(x)−g1(x)][f1′(x)−g1′(x)]=−e−2x≤0，

所以这两组函数是“相伴函数”．

②f2(x)=ex和g2(x)=x，

[f2(x)−g2(x)][f2′(x)−g2′(x)]=(ex−x)(ex−1)不一定为非正数，

所以这两组函数不是“相伴函数”．

(2)证明：由题意得f(−x)+g(−x)=ln(ex+1)−x，f(−x